1、河南省洛阳市 2018-2019 学年上学期尖子生第二次联考高三数学试题文科第卷（共 60 分）一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 ，集合 ，则 等于（ |10AxNx2|60AxRAB）A B C D0,12,21,1,32.已知复数 ， ，则下列命题中错误的是（ ）13zi23ziA B C D ， 互为共轭复数21312z1z23.已知数列 的前 项和为 ， ， ，则 （ ）nanS1ananSA B C D 12n13213124.经过点 ，且渐近线与圆 相切的双曲线的标准方程为（ ）, 2
2、2xyA B C. D213xy21213yx213yx5.运行下边的程序框图，如果输出的数是 13，那么输入的正整数 的值是（ ）nA5 B6 C.7 D86.在平行四边形 中， ， ，则 等于（ ）C10ABABCA B C. D41494947.已知定义在 上的函数 满足 ， ，且当 时，Rfxfxffxf0,1x，则 （ ）2log1fx3A-1 B0 C.1 D28.已知正三角形 三个顶点都在半径为 2 的球面上，球心 到平面 的距离为 1，点COABC是线段 的中点，过点 作球 的截面，则截面面积的最小值是（ ）EEOA B C. D7429439.某同学同时掷两颗均匀正方形骰子，
3、得到的点数分别为 ， ，则椭圆 的离心ab21xyab率 的概率是（ ）32eA B C. D18161310.已知实数 ， 满足： ， ，则 的取值范围是（ ）xy20,1xy2zxyzA B C. D5,30,50,55,311.已知定义域为 的奇 的导函数为 ，当 时，Ryfxyfx0，若 ， ， ，则 ， ， 的大小关0xffaeln2fb3fcabc系正确的是（ ）A B C. Dacbcacc12.已知函数 在区间 上单调递增，则 的取值范围sin06fx2,43为（ ）A B C. D80,310,218,23,28第卷（共 90 分）二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将
4、答案填在答题纸上）13.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的体积为 14.已知关于 的方程 在 上有两个不同的实数根，则x23sin10sixm,2的取值范围是 m15.过抛物线 的焦点 的直线与抛物线 交于 ， 两点，且2:0CypxFCAB，抛物线 的准线与 轴交于 ， 于点，若四边形 的面积为3AFBE1Al1EF，则 6P16.已知函数 ， ，1xef1gfx，则数列 的通项公式为 12321n naggNnna三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. 如图，在平面四边形 中， 为锐角
5、， ， 平分 ，ABCDADBCBAD， ， 的面积为 .23BC32S（1）求 ；CD（2）求 .AB18. 某港口有一个泊位，现统计了某 100 艘轮船在该泊位停靠的时间（单位：小时） ，如果停靠时间不足半小时按半小时计时，超过半小时不足 1 小时按 1 小时计时，以此类推，统计结果如下表：（1）设该月 100 艘轮船在该泊位的平均停靠时间为 小时，求 的值；a（2）假定某天只有甲、乙两艘轮船需要在该泊位停靠 小时，且在一昼夜的时间段中随机到达，求这两艘轮船至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率.19.如图，已知在四棱锥 中，底面 是边长为 4 的正方形， 是正三PABCDABPAD角形，
6、平面 平面 ， ， ， 分别是 ， ， 的中点. EFGPDCB（1）求证：平面 平面 ；EFGPAD（2）若 是线段 上一点，求三棱锥 的体积.MCMEFG20. 如图，椭圆 的左焦点为 ，过点 的直线交椭圆于 ， 两点，210xyab AB的最大值为 ， 的最小值为 ，满足 .AFBFm234a（1）若线段 垂直于轴时， ，求椭圆的方程；AB32AB（2）设线段 的中点为 ， 的垂直平分线与 轴和 轴分别交于 ， 两点， 是GxyDEO坐标原点，记 的面积为 ， 的面积为 ，求 的取值范围.FD1SOED2S121. 已知函数 ， .lnmxfR（1）若函数 在 处的切线与直线 平行，求实
7、数 的值；2,f 0xyn（2）试讨论函数 在区间 上的最大值；x1,（3）若 时，函数 恰有两个零点 ，求证： .nf 1212,xx12x请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极x坐标系，曲线 的极坐标方程为： .1C2cos（1）若曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，求曲线 的直角坐标方程和曲21inxty1C线 的普通方程；2（2）若曲线 的参数方程为 （ 为参数） ， ，且曲线 与曲线 的2Ccos1inxtyt0,1A12C交点分别为
8、 、 ，求 的取值范围.PQA23.选修 4-5：不等式选讲已知 ， （其中 ）.3fxgxk2（1）若 ，求 的解集；4k9f（2）若 ，不等式 恒成立，求实数 的值.,2fxkxk试卷答案一、选择题1-5: 6-10: 11、12：ACBDACDB二、填空题13. 14. 15.2 16.1632,121na三、解答题17.解：（1）在 中， ，BCD3sin22SBCD， ，236.sin为锐角，ABC.30CBD在 中，由余弦定理得：22cosCDBCBD.22 336369.CD（2）在 中，由正弦定理得 ，BsinsiBCDB即 ，解得 .3sinsi03，CD也为锐角.B.6co
9、s3在 中，由正弦定理得 ，ACDsinsiACDA即 .sinsiB在 中，由正弦定理得 ，sisiB即 .23sinsiAC平分 ，BD.由得 ，解得 .sin32AC2sinABC因为 为锐角，所以 .B4518.解：（1）. 2.5312.12.513.86340a（2）设甲船到达的时间为 ，乙船到达的时间为 ，xy则 024,xy若这两艘轮船在停靠该泊位时至少有一艘需要等待，则 ，4x符合题意的区域为阴影部分（不包括 ， 轴） ，xy记“这两艘船在停靠该泊位时至少有一艘船需要等待”为事件 ，A则 .12420136PA答：这两艘轮船中至少有一艘在停靠该泊位时必须等待的概率为 .136
10、19.（1）证明： 平面 平面 ，PADBC平面 平面 ， 平面 ，且 ，PADBCDABCDA平面 .C又 在 中， ， 分别是 ， 的中点，EFP，/EF平面 .PAD平面 .G平面 平面 .（2）解： ， 平面 ， 平面 ，/EFCDEFGCDEF平面 ./G因此上的点到平面的距离等于点到平面 的距离，=MEFDEFV三 棱 锥 三 棱 锥取 的中点 ，连接 ， ， ，则 .AHH/EFG.DEFGDEFFDV三 棱 锥 三 棱 锥 三 棱 锥 11232sin6033DS20.解：（1）设 ，则椭圆性质得：,0c， ，而 ，Mam24Ma有 ，即 ， ， 2234c2ac又 且 ，得
11、， ，ba22=b1234b因此椭圆的方程为： .243yx（2）由（1）可知 ， ，椭圆的方程为 .ac23bac2143xyc由题意知直线 的斜率一定存在不为零，设直线 的方程为 ， ，ABABk1,Axy，则由 消去 并整理得 .2,xy2143ykxcy22243840kxcc， ，2128ck 121226+=43cykxk.2243,Gk，DAB，2431Dckx.243Dckx由 与 相似得RtFGtEO.22221 223+4349=+ckckS 故 的取值范围为 .12S9,21.解：（1）由 ， ，2nxf24nf由于函数 在 处的切线与直线 平行，x, 0xy，解得 .2
12、4n 6n（2） ， 由 ，得 ；由 ，得 .20fx fxn0fxn当 时，函数 在 上单调递减，1nfx1,；maxfn当 时，函数 在 上单调递增，在 上单调递减.fx,n.max1lf若 时， 恰有两个零点 ， ，1nf1x2120x由 ， ，111ln0xf222ln0mf得 ，12llmxx，212ln设 ， ， ，故 ，21tx1ltxlnt21211lntxt，2121lnttx记函数 ，因 ，1th210th在 递增， ， ，t ,tth又 ， ，故 成立.21xtln0t12x22.解：（1） ，则 .coscos又 ， ，22xy曲线 的直角坐标方程为： . 1C20xy
13、又消参可得曲线 的普通方程为： .221t（2）将 的参数方程： （ 为参数）代入 的方程： 得：2cos1inxty1C20xy，2sincos0tt，22i48sin40， .21sin4 i,1， .12i2cos2sin4t 12t120t， ， 同号， . 1212tt由 的几何意义可得：t，12121212 sin2,4tttPABt .12,PAB23.解：（1）若 ，则 ，即为 ，4k9fxg349x等价为 或39x34或 43x解得： 或 或 ，14x8原不等式的解集为： . |（2） ，且 ， ， ，k1,2x30x k， ，3fx gx则 ，不等式 恒成立，1,fxk等价于： ， 恒成立，2x，即 ，又 ， .4k k2
