1、葫芦岛市第一高级中学课外拓展训练（八）高二年级下 数学文科 一、单选题（共 12 题；共 24 分）1.在复平面内，复数 z=3+4i 则 z 的共轭复数的模为（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 252.函数 f （ x）=sin x+e x ， 则 f（0）的值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 03.已知 a 为函数 f（x）=x 33x 的极小值点，则 a=（ ） A. 1 B. 2 C. 2 D. 14.函数 f （ x）= （ x1）单调递减区间是（ ） A. （1，+） B. （1，e 2）C. （e，+） D. （1，e）5.为了解某社区居民的家庭年收入与年支出
2、的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 x （万元） 8.28.610.011.311.9支出 y （万元） 6.27.58.0 8.5 9.8根据上表可得回归直线方程 = x+ ，其中 =0.76， =y x，据此估计，该社区一户收入为 14 万元家庭年支出为（ ） A. 11.04 万元 B. 11.08 万元C. 12.12 万元 D. 12.02 万元6.函数 f（x）= +cosx，x 0， 的最大值是（ ） A. 1 B. C. + D. + 7.若对任意的 x0，恒有 lnxpx1（p0），则 p 的取值范围是（ ） A. （0，1 B. （1，+）C.
3、 （0，1） D. 1，+）8.若直线 mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆（x+3） 2+（y+1） 2=1 的弦长为 2，则 的最小值为（ ） A. 4 B. 12 C. 16 D. 69.若函数 f（x）=kxlnx 在区间（1，+）单调递增，则 k 的取值范围是（ ） A. （，2 B. （，1 C. 2，+） D. 1，+）10.在极坐标系中，点(1，0)到直线 ( R)的距离是( ) A. B. C. 1 D. 11.在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为（ ） A. 2 B. C. D. 12.已知函数 f（x）=|x2|+|5x|，则函数 f（x）的最小值为（ ） A. 7
4、B. 2 C. 5 D. 3三、填空题（共 4 题；共 4 分）19.存在 x0 使得不等式 x22|xt|成立，则实数 t 的取值范围是_ 20.若不等式|x+1|x4|a+ ，对任意的 xR 恒成立，则实数 a 的取值范围是_ 21.不等式|x+3|x2|3 的解集为_ 22.（2012山东）若不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，则实数 k=_ 二、解答题（共 6 题；共 35 分）13.已知函数 f（x）=x 2+2alnx （）若函数 f（x）的图象在（2，f（2）处的切线斜率为 1，求实数 a 的值；（）求函数 f（x）的单调区间；（）若函数 在1，2上是减函数，求实数 a 的取
5、值范围 14.已知函数 g（ x）=e x+ x2 ， 其中 a R，e=2.71828为自然对数的 底数，f （ x）是 g（x）的导函数 （）求 f（ x） 的极值；（）若 a=1，证明：当 x 1x 2 ， 且 f （ x 1 ）=f （ x 2） 时，x 1+x20 15.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，C 的极坐标方程为 =2 sin （）写出C 的直角坐标方程；（）P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求 P 的直角坐标 16.在直角坐标系 xOy 中，直线 C1：x=2，圆 C2
6、：（x1） 2+（y2） 2=1，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 （）求 C1 ， C 2的极坐标方程；（）若直线 C3的极坐标方程为 = （ R），设 C2与 C3的交点为 M，N，求 C2MN 的面积 17.在平面直角坐标系中，直线 l 的参数方程为 （其中 t 为参数），现以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为=4cos （）写出直线 l 和曲线 C 的普通方程；（）已知点 P 为曲线 C 上的动点，求 P 到直线 l 的距离的最小值 18.在平面直角坐标系中圆 C 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点，x 轴正半轴为
7、极轴建立极坐标系，点 D 的极坐标为（ 1 ， ） （1）求圆 C 的极坐标方程； （2）过点 D 作圆 C 的切线，切点分别为 A，B，且ADB=60，求 1 答案解析部分一、单选题1.【答案】C 【考点】复数的基本概念 【解析】【解答】解：复数 z=3+4i 则 z 的共轭复数 34i 的模= =5 故选：C【分析】利用共轭复数的定义或模的计算公式即可得出2.【答案】B 【考点】导数的运算 【解析】【解答】解：f （ x）=sinx+e x ， f（ x）=cosx+e x ， f（0）=cos0+e 0=1+1=2，故选：B.【分析】先求导，再代值计算即可3.【答案】D 【考点】利用导数
8、研究函数的极值 【解析】【解答】解：f（x）=3x 23， 令 f（x）0，解得：x1 或 x1，令 f（x）0，解得：1x1，故 f（x）在（，1）递增，在（1，1）递减，在（1，+）递增，故 1 是极小值点，故 a=1，故选：D【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，求出函数的极值点即可4.【答案】D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：f（x）= ， 令 f（x）0，解得：1xe，故 f（x）在（1，e）递减，故选：D【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可5.【答案】A 【考点】线性回归方程 【解析】【解答】解：由
9、题意可得 = （8.2+8.6+10.0+11.3+11.9）=10， = （6.2+7.5+8.0+8.5+9.8）=8，代入回归方程可得 =80.7610=0.4，回归方程为 =.76x+0.4，把 x=14 代入方程可得 y=0.7614+0.4=11.04，故选：A【分析】由题意可得 和 ，可得回归方程，把 x=14 代入方程求得 y 值即可6.【答案】C 【考点】利用导数求闭区间上函数的最值 【解析】【解答】解：f（x）= sinx， 令 f（x）=0，得 x= ，当 0x 时，f（x）0，f（x）递增；当 x 时，f（x）0，f（x）递减；当 x= 时，f（x）取得极大值，也是最大
10、值，即 f（ ）= ，故选 C【分析】求导数，利用导数求得函数在定义域内的极值，可判断该极值即为函数的最值7.【答案】D 【考点】函数恒成立问题 【解析】【解答】解：因为对任意的 x0，恒有 lnxpx1p 恒成立， 设f（x）= 只须求其最大值，因为 f（x）= ，令 f（x）=0x=1，当 0x1 时，f（x）0，当 x1 时，f（x）0，故 f（x）在 x=1 处取最大值且 f（1）=1故 p 的取值范围是1，+）故选 D【分析】先把 lnxpx1 转化为 p 恒成立，再利用导函数求函数 f（x）= 的最大值，让 p 与其最大值比较即可8.【答案】D 【考点】基本不等式在最值问题中的应用
11、，直线与圆的位置关系 【解析】【解答】解：圆（x+3） 2+（y+1） 2=1 的半径为 1，圆心（3，1） 直线mx+ny+2=0（m0，n0）截得圆（x+3） 2+（y+1） 2=1 的弦长为 2，直线经过圆的圆心可得：3m+n=2则 = （ ）（3m+n）= （3+3+ + ）3+ =6当且仅当 m= ，n=1 时取等号故选：D【分析】利用已知条件求出 m，n 的关系式，然后利用基本不等式求解最值即可9.【答案】D 【考点】利用导数研究函数的单调性 【解析】【解答】解：f（x）=k ， 函数 f（x）=kxlnx 在区间（1，+）单调递增，f（x）0 在区间（1，+）上恒成立 ，而 y=
12、 在区间（1，+）上单调递减，k1k 的取值范围是1，+）故选：D【分析】f（x）=k ，由于函数 f（x）=kxlnx 在区间（1，+）单调递增，可得f（x）0 在区间（1，+）上恒成立解出即可10.【答案】B 【考点】简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】【解答】点 到直线 的距离 ，故选 B.【分析】把极坐标方程化为直角坐标方程，里哦也难怪点到直线的距离公式求得点 F 到直线的距离定义：如果曲线 C 上的点与方程 f（，）=0 有如下关系（1）曲线 C 上任一点的坐标（所有坐标中至少有一个）符合方程 f（，）=0；（2）以方程 f（，）=0 的所有解为坐标的点都在曲线
13、 C 上 则曲线 C 的方程是f（，）=011.【答案】D 【考点】简单曲线的极坐标方程，点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】【解答】点 的直角坐标为 ，圆 的直角坐标方程为 ，所以点到圆心的距离为 ，故 D 符合题意故答案为 D.【分析】根据坐标与直角坐标的互化方法及极坐标方程与普通方程的化解得出答案；即：1. sin = y ， cos = x，2. 2=x 2 + y 23.点到圆心的距离为12.【答案】D 【考点】函数的最值及其几何意义，绝对值不等式 【解析】【解答】解：函数 f（x）=|x2|+|5x|（x2）+（5x）|=3， 故选 D【分析】由条件利用绝对值三角不等式）|xa|+
14、|xb|（xa）（xb）|求解二、解答题13.【答案】解：（） 由已知 f（2）=1，解得 a=3（II）函数 f（x）的定义域为（0，+）当 a0 时，f（x）0，f（x）的单调递增区间为（0，+）； 当 a0 时 当 x 变化时，f（x），f（x）的变化情况如下：xf（x） 0 +f（x） 极小值由上表可知，函数 f（x）的单调递减区间是 ；单调递增区间是 （III）由 得 ， 由已知函数 g（x）为1，2上的单调减函数，则 g（x）0 在1，2上恒成立，即 在1，2上恒成立即 在1，2上恒成立 令 ，在1，2上 ，所以 h（x）在1，2为减函数. ，所以 【考点】利用导数研究函数的单调性
15、，利用导数研究曲线上某点切线方程 【解析】【分析】（）先对函数求导，然后由由已知 f（2）=1，可求 a （II）先求函数 f（x）的定义域为（0，+），要判断函数的单调区间，需要判断导数 的正负，分类讨论：分当 a0 时，当 a0 时两种情况分别求解（II）由 g（x）可求得 g（x），由已知函数 g（x）为1，2上的单调减函数，可知g（x）0 在1，2上恒成立，即 在1，2上恒成立，要求 a 的范围，只要求解 ，在1，2上的最小值即可14.【答案】解：（）f（x）=e x+ax 的定义域为（，+），f（x）=e x+a， 当a0 时，f（x）0 在 x（，+）时成立，f（x）在（，+）上单
16、调递增，f（x）无极值；当 a0 时，f（x）=e x+a=0 解得 x=ln（a），f（x）在（，ln（a）上单调递减，f（x）在（ln（a），+）上单调递增，f（x）有极小值 （）证明：当 a=1 时，f（x）=e xx 的定义域为（，+），f（x）=e x1，由 f（x）=e x1=0，解得 x=0当 x 变化时，f（x），f（x）变化情况如下表：x （，0） 0 （0，+）f（x） 0 +f（x） 单调递减 极小值 单调递增x 1x 2 ， 且 f（x 1）=f（x 2），则 x10x 2（不妨设 x1x 2）设函数 ， 当 x0 时，0e x1， ，当 x0 时，F（x）0函数 F（
17、x）在（，0）上单调递增，F（x）F（0）=0，即当 x0 时，f（x）f（x），x 10，f（x 1）f（x 1），又 f（x 1）=f（x 2），f（x 2）f（x 1），f（x）在（0，+）上单调递增，0x 2 ， 且 0x 1 ， 又 f（x 2）f（x 1），x 2x 1 ， x 1+x20 【考点】利用导数研究函数的极值 【解析】【分析】（）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；（）求出函数 f（x）的导数，设函数 F（x）=f（x）f（x），求出函数的导数，根据函数的单调性证明即可15.【答案】解：（I）由C 的极坐标方程为 =2 si
18、n 2=2 ，化为x2+y2= ，配方为 =3（II）设 P ，又 C |PC|= = 2 ，因此当 t=0 时，|PC|取得最小值 2 此时 P（3，0） 【考点】点的极坐标和直角坐标的互化 【解析】【分析】（I）由C 的极坐标方程为 =2 sin化为 2=2 ，把 代入即可得出；（II）设 P ，又 C 利用两点之间的距离公式可得|PC|= ，再利用二次函数的性质即可得出16.【答案】解：（）由于 x=cos，y=sin，C 1：x=2 的 极坐标方程为 cos=2，故 C2：（x1） 2+（y2） 2=1 的极坐标方程为：（cos1） 2+（sin2） 2=1，化简可得 2（2cos+4
19、sin）+4=0（）把直线 C3的极坐标方程 = （R）代入圆 C2：（x1） 2+（y2） 2=1，可得 2（2cos+4sin）+4=0，求得 1=2 ， 2= ，|MN|=| 1 2|= ，由于圆 C2的半径为 1，C 2MC 2N，C 2MN 的面积为 C2MC2N= 11= 【考点】简单曲线的极坐标方程 【解析】【分析】（）由条件根据 x=cos，y=sin 求得 C1 ， C 2的极坐标方程 （）把直线 C3的极坐标方程代入 23 +4=0，求得 1和 2的值，结合圆的半径可得 C2MC 2N，从而求得C 2MN 的面积 C2MC2N 的值17.【答案】解：（）直线 l： （其中
20、t 为参数），消去参数 t 得普通方程 y=x4 由 =4cos 得 2=4cos由 x=cos，y=sin 以及 x2+y2= 2 ， 得y2+（x2） 2=4；（）由 y2+（x2） 2=4 得圆心坐标为（2，0），半径 R=2，则圆心到直线的距离为：d= =3 ，而点 P 在圆上，即 OP+PQ=d（Q 为圆心到直线 l 的垂足），所以点 P 到直线 l 的距离最小值为 322=22【考点】简单曲线的极坐标方程，直线的参数方程 【解析】【分析】（）消去参数 t 即可得到直线 l 的普通方程；利用x=cos，y=sin 将曲线 C 转化为普通方程；（）利用点到直线的距离公式，求出 P到直线
21、 l 的距离的最小值，再根据函数取最值的情况求出 P 点的坐标，得到本题结论18.【答案】（1）解：由 ，得 ， 两式平方相加得x2+（y3） 2=4即 x2+y26y+5=0， 26sin+5=0即圆 C 的极坐标方程为 26sin+5=0（2）解：如图，D（ 1 ， ）的直角坐标为（ 1 ， 0）， |AC|=2，CAD=30，则|CD|=4， 【考点】简单曲线的极坐标方程，参数方程化成普通方程 【解析】【分析】（1）利用平方关系消去参数 ，可得圆的直角坐标方程，结合公式 2=x2+y2 ， y=sin 可得圆的极坐标方程；（2）画出图形，由 D 的极坐标得其直角坐标，数形结合得答案三、填
22、空题19.【答案】（ ，2） 【考点】绝对值不等式 【解析】【解答】解：不等式 x22|xt|，即|xt|2x 2 ， 令 y1=|xt|，y 1的图象是关于 x=t 对称的一个 V 字形图形，其象位于第一、二象限；y2=2x 2 ， 是一个开口向下，关于 y 轴对称，最大值为 2 的抛物线；要存在 x0，使不等式|xt|2x 2成立，则 y1的图象应该在第二象限和 y2的图象有交点，两种临界情况，当 t0 时，y 1的右半部分和 y2在第二象限相切：y1的右半部分即 y1=xt，联列方程 y=xt，y=2x 2 ， 只有一个解；即 xt=2x 2 ， 即 x2+xt2=0，=1+4t+8=0
23、，得：t= ；此时 y1恒大于等于 y2 ， 所以 t= 取不到；所以 t0；当 t0 时，要使 y1和 y2在第二象限有交点，即 y1的左半部分和 y2的交点的位于第二象限；无需联列方程，只要 y1与 y 轴的交点小于 2 即可；y1=tx 与 y 轴的交点为（0，t），所以 t2，又因为 t0，所以 0t2；综上，实数 t 的取值范围是： t2；故答案为：（ ，2）【分析】本题利用纯代数讨论是很繁琐的，要用数形结合原不等式 x22|xt|，即|xt|2x 2 ， 分别画出函数 y1=|xt|，y 2=2x 2 ， 这个很明确，是一个开口向下，关于 y 轴对称，最大值为 2 的抛物线；要存在
24、 x0 使不等式|xt|2x 2成立，则 y1的图象应该在第二象限（x0）和 y2的图象有交点，再分两种临界讲座情况，当 t0 时，y 1的右半部分和 y2在第二象限相切；当 t0 时，要使 y1和 y2在第二象限有交点，最后综上得出实数 t 的取值范围20.【答案】（，41，0） 【考点】绝对值不等式 【解析】【解答】解：令 y=|x+1|x4|， 则由|x+1|x4|（x+1）（x4）|=5，即有5y5，当 x=1 时，取得最小值5由题意得，5a+ ，即有 或 ，解得 a或 a4 或1a0则实数 a 的取值范围是（，41，0）故答案为：（，41，0）【分析】令 y=|x+1|x4|，则由|
25、x+1|x4|（x+1）（x4）|=5，求得 y 的最小值，再由题意得5a+ ，解出不等式即可21.【答案】x?x1 【考点】绝对值不等式 【解析】【解答】解：当 x3 时，因为原不等式|x+3|x2|3 去绝对值号得：（x+3）+（x2）3 可推出53，这显然不可能， 当3x2 时，因为原不等式|x+3|x2|3 去绝对值号得：（x+3）+（x2）3 可推出，x1，故当 1x2 不等式成立当 x2 时，因为原不等式|x+3|x2|3 去绝对值号得：（x+3）（x2）3 可推出53，这显然恒成立故综上所述，不等式的解集为 x|x1，故答案为x|x1【分析】首先分析不等式|x+3|x2|3，含有两个绝对值号，故不能直接去绝对值需要分类讨论，当 x3 时，当3x2 时，当 x2 时，三种的情况综合起来即可得到答案22.【答案】2 【考点】绝对值不等式 【解析】【解答】解：|kx4|2， （kx4） 24，即 k2x28kx+120，不等式|kx4|2 的解集为x|1x3，1 和 3 是方程 k2x28kx+12=0 的两根，1+3= ，k=2故答案为 2【分析】|kx4|2（kx4） 24，由题意可知 1 和 3 是方程 k2x28kx+12=0 的两根，有韦达定理即可求得 k 的值
