1、立体几何,第八章,第5讲 直线、平面垂直的判定与性质,【考纲导学】 1以立体几何的有关定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直、面面垂直的有关性质与判定定理，并能够证明相关性质定理 2能运用线面垂直、面面垂直的判定及性质定理证明一些空间图形的垂直关系的简单命题,栏目导航,课前 基础诊断,1直线与平面垂直 (1)直线和平面垂直的定义： 如果一条直线l与平面内的_直线都垂直，就说直线l与平面互相垂直,任意,(2)判定定理与性质定理：,两条相交直线,a，b,abO,la,lb,平行,a,b,2平面与平面垂直 (1)平面与平面垂直的定义： 两个平面相交，如果它们所成的二面角是_，就说这两个平
2、面互相垂直,直二面角,(2)判定定理和性质定理：,垂线,l,l,交线,l,a,la,1下列命题中错误的是( ) A如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C如果平面平面，平面平面，l，那么l平面 D如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 【答案】D,2如图所示，在三棱锥DABC中，若ABCB，ADCD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是( ) A平面ABC平面ABD B平面ABD平面BCD C平面ABC平面BDE，且平面ACD平面BDE D平面ABC平面ACD，且平面ACD平面BDE 【答案】C,3(2017年湖南六校
3、联考)已知m和n是两条不同的直线，和是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m的是( ) A且m B且m Cmn且n Dmn且n 【答案】C 4在三棱锥PABC中，点P在平面ABC中的射影为点O. (1)若PAPBPC，则点O是ABC的_心 (2)若PAPB，PBPC，PCPA，则点O是ABC的_心 【答案】(1)外 (2)垂,在用线面垂直的判定定理证明线面垂直时，考生易忽视说明平面内的两条直线相交，而导致被扣分，这一点在证明中要注意口诀：线不在多，重在相交,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)： (1)直线l与平面内的无数条直线都垂直，则l.( ) (2)垂直于同一个平面的两
4、平面平行( ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面( ) (4)若平面内的一条直线垂直于平面内的无数条直线，则.( ) 【答案】(1) (2) (3) (4),课堂 考点突破,直线与平面垂直的判定与性质,【规律方法】(1)证明直线和平面垂直的常用方法：判定定理；垂直于平面的传递性(ab，ab)；面面平行的性质(a，a)；面面垂直的性质 (2)证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想 (3)线面垂直的性质，常用来证明线线垂直,【跟踪训练】 1(2017年深圳模拟)如图所示，在四棱
5、锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PB平面ABCD(1)若AC6，BD8，PB3，求三棱锥APBC的体积； (2)若点E是DP的中点，证明：BD平面ACE.,(2)证明：如图所示，设BD与AC相交于点O，连接OE. O为BD的中点，E是DP的中点，OEPB 又PB平面ABCD， OE平面ABCD BD平面ABCD，OEBD 由(1)知ACBD， 又ACOEO，BD平面ACE.,平面与平面垂直的判定与性质,【规律方法】面面垂直的性质应用技巧： (1)两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面这是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线” (2)两个相交平面同时
6、垂直于第三个平面，那么它们的交线也垂直于第三个平面，此性质在不是很复杂的题目中，要对此进行证明,【跟踪训练】 2(2017年云南统测)如图所示，在三棱锥ABCD中，CDBD，ABAD，E为BC的中点 (1)求证：AEBD； (2)设平面ABD平面BCD，ADCD2，BC4，求三棱锥DABC的体积,【解析】(1)证明：设BD的中点为O，连接AO，EO. ABAD，AOBD 又E为BC的中点，EOCD CDBD，EOBD 又OAOEO， BD平面AOE. 又AE平面AOE，AEBD,平行垂直中探索性问题,如图所示，平面ABCD平面BCE，四边形ABCD为矩形，BCCE，点F为CE的中点 (1)证明
7、：AE平面BDF； (2)点M为CD上任意一点，在线段AE上是否存在点P，使得PMBE？若存在，确定点P的位置，并加以证明；若不存在，请说明理由,【解析】(1)证明：连接AC交BD于O，连接OF，如图. 四边形ABCD是矩形，O为AC的中点又F为EC的中点，OF为ACE的中位线，OFAE. 又OF平面BDF，AE平面BDF， AE平面BDF.,(2)当P为AE中点时，有PMBE. 证明如下： 取BE中点H，连接DP，PH，CH，如图. P为AE的中点，H为BE的中点，PHAB 又ABCD，PHCD，P，H，C，D四点共面 平面ABCD平面BCE，平面ABCD平面BCEBC，CD平面ABCD，C
8、DBC， CD平面BCE.,又BE平面BCE，CDBE. BCCE，H为BE的中点，CHBE. 又CDCHC，BE平面DPHC 又PM平面DPHC，BEPM，即PMBE.,【规律方法】(1)求条件探索性问题的主要途径：先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性 (2)涉及点的位置探索性问题一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点,(3)线段AC上存在点M，且点M为AC中点时，有EA平面FDM. 证明如下： 连接CE，与DF交于点N，取AC的中点M，连接MN. 因为四边形C
9、DEF是正方形，所以点N为CE的中点 所以EAMN. 因为MN平面FDM，EA平面FDM， 所以EA平面FDM. 所以线段AC上存在点M，且M为AC的中点，使得EA平面FDM成立,课后 感悟提升,1个转化三种垂直关系的转化在证明两平面垂直时一般先从现有的直线中寻找平面的垂线，若图中不存在这样的直线，则可通过作辅助线来解决如有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直,3种方法三种垂直关系的证明 (1)判定线线垂直的方法： 定义：两条直线所成的角为90； 平面几何中证明线线垂直的方法； 线面垂直的性质：a，bab； 线面垂直的性质：a，b
10、ab.,(2)判定线面垂直的常用方法： 利用线面垂直的判定定理； 利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”； 利用“一条直线垂直于两平行平面中的一个，则与另一个平面也垂直”； 利用面面垂直的性质 (3)判定面面垂直的方法： 利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角； 判定定理：a，a.,【解析】(1)证明：BAPCDP90， PAAB，PDCD ABCD，ABPD 又PAPDP且PA平面PAD，PD平面PAD，AB平面PAD 又AB平面PAB，平面PAB平面PAD (2)分别取AD，BC中点E，F，连接EF. 则PEAD 由(1)得AB平面PAD，又PE平面PAD， ABPE.,2(2017年新课标)如图所示，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ADCD(1)求证：ACBD； (2)已知ACD是直角三角形，ABBD若E为棱BD上与D不重合的点，且AEEC，求四面体ABCE与四面体ACDE的体积比,【解析】(1)证明：取AC的中点O，连接DO，BO. ADCD，ACDO. 又ABC是正三角形，ACBO. 又DOBOO，AC平面DOB BD平面DOB，ACBD (2)连接EO.由(1)及题设知ADC90，DOAO. 在RtAOB中， AO2BO2AB2.,配 套 训 练,完,谢 谢 观 看,
