1、不等式、推理与证明,第七章,第6讲 数学归纳法,【考纲导学】 1了解数学归纳法的原理 2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题,栏目导航,课前 基础诊断,1数学归纳法 证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取_时命题成立； (2)(归纳递推)假设nk(kn0，kN*)时命题成立，证明当_时命题也成立 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立,nk1,4用数学归纳法证明“当n为正奇数时，xnyn能被xy整除”，当第二步假设n2k1(kN*)命题为真时，进而需证n_时，命题亦真 【答案】2k1 5(教材习题改编)已知an满足an1ana
2、n1，nN*，且a12，则a2_，a3_，a4_，猜想an_. 【答案】3 4 5 n1,1数学归纳法证题时初始值n0不一定是1. 2推证nk1时一定要用上nk时的假设，否则不是数学归纳法 3解“归纳猜想证明”题的关键是准确计算出前若干具体项，这是归纳、猜想的基础否则将会做大量无用功,判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)： (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n1时结论成立( ) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明( ) (3)用数学归纳法证明问题时，归纳假设可以不用( ) (4)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由nk到nk1时，项数都增加了一项
3、( ),(5)用数学归纳法证明等式“12222n22n31”，验证n1时，左边式子应为122223.( ) (6)用数学归纳法证明凸n边形的内角和公式时，n03.( ) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6),课堂 考点突破,用数学归纳法证明等式,【规律方法】(1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少 (2)由nk时等式成立，推出nk1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程，不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法,【跟踪训练】 1求证：(n1)
4、(n2)(nn)2n135(2n1)(nN*) 【证明】(1)当n1时，等式左边2，右边2，故等式成立 (2)假设当nk(kN*)时等式成立， 即(k1)(k2)(kk)2k135(2k1)， 那么当nk1时，,左边(k11)(k12)(k1k1) (k2)(k3)(kk)(2k1)(2k2) 2k135(2k1)(2k1)2 2k1135(2k1)(2k1)， 所以当nk1时等式也成立 由(1)(2)可知，对所有nN*等式成立,用数学归纳法证明不等式,【规律方法】应用数学归纳法证明不等式应注意的问题： (1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时，应用其他办法不容易证，则可考虑应用数学归纳法 (
5、2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立，推证nk1时也成立，证明时用上归纳假设后，可采用分析法、综合法、求差(求商)比较法、放缩法等证明方法,整除问题,(2017年镇江一模)证明：对一切正整数n,5n23n11能被8整除 【证明】(1)当n1时，5n23n118，显然能被8整除，即n1时，结论成立 (2)假设当nk(k2，kN*)时结论成立， 即5k23k11能被8整除，设5k23k118m，mN*， 当nk1时，5k123k15(5k23k11)43k145(5k23k11)4(3k11),【规律方法】在用数学归纳法证明问题时，对于归纳假设要注意以下两点： (1)归纳假设就是已知条件；
6、(2)在推证nk1时，必须用上归纳假设,【跟踪训练】 3用数学归纳法证明：1(3x)n(nN*，xZ)能被x2整除 【证明】当n1时，1(3x)n1(3x)2x(2x)， 1(3x)能被x2整除 假设当nk时，1(3x)k能被x2整除，即1(3x)km(x2)，mZ. 则nk1时，1(3x)k11(3x)k(3x)33(3x)kx(3x)kxx2 31(3x)kx(3x)k1(x2) 3m(x2)mx(x2)(x2)(x2)(3mmx1) 当nk1时，1(3x)k1能被x2整除 综上，1(3x)n(nN*，xZ)能被x2整除,归纳猜想证明,【考向分析】数学归纳法是证明数学命题的一种重要方法，此
7、类问题经常是利用归纳猜想证明的思路进行解决，考查学生的归纳猜想及论证能力 常见的考向有： (1)与函数关系式有关的证明； (2)与数列通项公式、前n项和公式有关的证明； (3)存在性问题的证明,与函数关系式有关的证明,与数列通项公式、前n项和公式有关的证明,存在性问题的证明,【规律方法】(1)利用数学归纳法可以探索与正整数n有关的未知问题、存在性问题，其基本模式是“归纳猜想证明”，即先由合情推理发现结论，然后经逻辑推理即演绎推理论证结论的正确性(2)“归纳猜想证明”的基本步骤是“试验归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题,课后 感悟提升,1种方法寻找递推关系的方法 (1)在第一步验证时，不妨多计算几项，并争取正确写出来，这样对发现递推关系是有帮助的 (2)探求数列通项公式要善于观察式子或命题的变化规律，观察n处在哪个位置 (3)在书写f(k1)时，一定要把包含f(k)的式子写出来，尤其是f(k)中的最后一项，除此之外，多了哪些项，少了哪些项都要分析清楚,3个注意点运用数学归纳法应注意的三个问题 (1)第一步验证nn0时，n0不一定为1，要根据题目要求选择合适的起始值 (2)由nk成立证nk1时，要推导详实，并且一定要运用nk成立的结论 (3)要注意nk到nk1时增加的项数,配 套 训 练,完,谢 谢 观 看,
