1、行程问题一、弄清行程问题中基本的量和它们之间的关系。行程问题中有三个基本量：速度、时间、路程。这三个量之间的关系是：路程时间速度 ：速度路程/时间 时间 路程/速度 二、行程问题常见类型 1、普通相遇问题。2、追及（急）问题。3 顺（逆）水航行问题。4、跑道上的相遇（追急）问题 三、行程问题中的等量关系 所谓等量关系就是意义相同的量能用等量连接的关系。若路程已知，则应找时间的等量关系和速度的等量关系；若速度已知，则应找时间的等量关系和路程的等量关系；若时间已知，则找路程的等量关系和速度的等量关系。在航行问题中还有两个固定的等量关系，就是： 顺水速度静水速度水流速度 逆水速度静水速度水流速度 【
2、通讯员问题】牢牢把握住关键隐含条件时间相等。【火车过桥问题】桥长车长=路程速度过桥时间= 路程【火车错车或超车问题】A 车长B 车长= 路程速度和错车时间= 错车路程速度差超车时间= 超车路程【流水行船】船速：在静水中的速度水速：河流中水流动的速度顺水船速：船在顺水航行时的速度逆水速度：船在逆水航行时的速度相遇问题1、甲乙两人在一条长 400 米的环形跑道上跑步，甲的速度是每分钟跑 360 米，乙的速度是每分钟跑 240 米。两人同时同地同向跑，几秒后两人第一次相遇？分析：本题属于环形跑道上的追及问题，两人同时同地同向而行，第一次相遇时，速度快者比速度慢者恰好多跑一圈，即等量关系为：甲走的路程
3、-乙走的路程=4002.为了迎接 2008 年北京奥运会，小区倡导大家锻炼身体，聪聪和明明兄弟两人决定每天早起跑步，明明每秒跑 4 米，聪聪每秒跑 6 米，如果他们站在百米跑道的两端同时相向起跑，那么几秒后两人相遇？分析：用线段图表示为： 聪聪 x 秒跑的路程： 明明 x 秒跑的路程：用符号语言表示为（即列方程）： 3.甲乙两人在环形跑道上练习跑步。已知环形跑道一圈长 400 米，乙每秒跑 6 米，甲的速度是乙的 4/3 倍。 若甲、乙两人在跑道上相距 8 米处同时相向出发，经过几秒两人相遇？ 若甲在乙前 8 米处同时同向出发，那么经过多长时间两人首次相遇？ 分析：此题甲乙两人的速度均已告诉，
4、因此我们只能在时间中找等量关系，在路程中找等量关系。第问是一个在环形跑道上的相遇问题。由于两人反向同时出发，最后相遇。故相遇时两人跑的时间是相等。得到第一个等量关系：甲时间乙时间 由于两人出发时相距 8 米，所以当两人第一次相遇时，共跑了（4008）米。故可以得到第二个路程的等量关系 甲路程乙路程4008 设 x 秒后两人相遇，则相遇时乙跑了 6x 米，甲跑了 6 x 米，代入第二个等量关系中可得方程 6 x6x4008 第二问是一个环形跑道上的追急问题。因两人同时出发，故当甲追上乙时，两人用时相同。可得第一个时间等量关系 甲时间乙时间 由于两人同向出发时相距 8 米，且速度较快的甲在前，故当
5、两人第一次相遇时甲必须比乙多跑（4008）米，可得第二个行程的等量关系甲路程=乙路程+400-8 设 X 秒后甲与乙首次相遇，此时甲跑了 6 x 米，乙跑了 6x 米，代入第二个等量关系可得方程：6 x6x4008 4.两块手表走时一快一慢，快表每 9 小时比标准表快 3 分钟，慢表每 7 小时比标准表慢 3分钟。现在把快表指示时间调成是 8:15，慢表指示时间调成 8:31，那么两表第一次指示的相同时刻是_:_；答案：5：225.在一圈 300 米的跑道上，甲、乙、丙 3 人同时从起跑线出发，按同一方向跑步，甲的速度是 6 千米/小时，乙的速度是 千米/ 小时，丙的速度是 3.6 千米/小时
6、，_分钟后 307人跑到一起，_小时后三人同时回到出发点；分析：我们注意到，3 人跑到一起的意思是快者比慢者跑的路程差应是 300 的整数倍；如果都同时回到出发点，那么每人跑的路程都是 300 的整数倍。同时注意到本题的单位不统一，首先换算单位，然后利用求两个分数的最小公倍数的方法可以解决问题。解：（1）先换算单位：甲的速度是 米/分钟；乙的速度是 米/ 分钟；60130576丙的速度是 米/分钟。8065（2）设 t 分钟 3 人第一次跑到一起，那么 3 人跑的路程分别是 米、 米、 米。10t57t0t路程差 都是 300 的整数倍。而 084,7tt，所以第一次 3 人跑到一起的时间是1
7、57105,2242t分钟。15（3）设 k 分钟 3 人同时回到起点，那么 3 人跑的路程分别是 米、 米、 米。10t57t60t每个路程都是 300 的整数倍。而 ，所以 3 人同时回到3073021,50156t起点的时间是 105 分钟。评注：求几个分数的最小公倍数的方法是：所有分子的最小公倍数作分子，所有分母的最大公约数作分母得到的分数。6.男、女两名运动员同时同向从环形跑道上 A 点出发跑步，每人每跑完一圈后到达 A 点会立即调头跑下一圈。跑第一圈时，男运动员平均每秒跑 5 米，女运动员平均每秒跑 3 米。此后男运动员平均每秒跑 3 米，女运动员平均每秒跑 2 米。已知二人前两次
8、相遇点相距 88米（按跑道上最短距离） ，那么这条跑道长_米；解：因为第一圈时男运动员的速度是女运动员的 倍，所以男运动员跑完第一圈后，女运3动员刚刚跑到 全长的位置。这时男运动员调头和女运动员以相同的速度相向而行，所以35第一次相遇点在距 A 点 全长处。1下面讨论第二次相遇点的位置，在第二次相遇前，男运动员已经跑完第二圈，男运动员跑第二圈的速度与女运动员第一圈的速度相同，所以在男运动员跑完第二圈时，女运动员跑第二圈的时间恰好等于男运动员跑第一圈的时间，而女运动员跑第二圈的速度是男运动员跑第一圈速度的 ，所以女运动员刚好跑到距 A 点 的位置，此时男女运动员相向运动，2525男运动员的速度为
9、 3m/s，女运动员的速度为 2m/s。这样第二次相遇点距 A 点 。两次相925遇点间的距离为总全长的 。所以两点在跑道上的最短距离为全长的 。19452 14而这段距离又为 88 米。所以 88 200 米。7.某人骑摩托车以 300 米/分的速度从始发站沿公交线出发，在行驶 2400 米时，恰好有一辆公共汽车总始发站出发，公交速度 500 米/分，每站停靠 3 分钟，两站之间要行驶 5 分钟，那么一路上摩托车会与公共汽车遇见_次；解：摩托车与总站相距 2400 米的时候，遇见 10 次。8.A、B 两地相距 105 千米，甲、乙两人分别骑车从 A、B 两地同时出发，甲速度为每小时40 千
10、米，出发后 1 小时 45 分钟相遇，然后甲、乙两人继续沿各自方向往前骑。在他们相遇 3 分钟后，甲与迎面骑车而来的丙相遇，而丙在 C 地追上乙。若甲以每小时 20 千米的速度，乙以每小时比原速快 2 千米的车速，两人同时分别从 A、B 出发相向而行，则甲、乙二人在 C 点相遇。则丙的车速是每小时 _米；解：乙原来车速是每小时（105 ）40=20 千米，乙加速后与甲在 C 相遇，CA 距离是4516020 =50 千米，乙原来速度到 C 点时间是 小时。甲、乙原来相遇地点1052 10524与 C 点的距离是 千米，丙走这 22 千米用的时间是 小时。丙4815026 4819602车速是每
11、小时 千米。9329.如图表示甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程 y(千米) 随时间 x(分)变化的图象.根据图象回答问题；图 9(1)求比赛开始多少分钟时，两人第一次相遇。(2)求这次比赛全程是多少千米。(3)求比赛开始多少分钟时，两人第二次相遇.分析：本题将行程问题与正比例函数、一次函数有机地结合在一起，而其数据信息完全由图象给出，突出了数形结合的特点。解题的关键是从图象获取数据信息，建立起关于一次函数和二元一次方程组的数学模型，这种“审读获取信息 建立数学模型解释、解决问题”的方式是信息性问题的基本解题方式。追及问题1. 甲乙两人相距 40 千米，甲先出发 1.5 小时乙再出发，甲
12、在后乙在前，二人同向而行，甲的速度是每小时 8 千米，乙的速度是每小时 6 千米，甲出发几小时后追上乙？分析：由于甲乙二人相距 40 千米，同向而行，甲先出发 1.5 小时（此时乙未出发） ，经过 1.5小时后乙才出发和甲同向而行，后来甲追上了乙，所以有等量关系：甲走的路程-乙走的路程=两人原来的距离。如果设甲出发 x 小时后追上乙，则乙运动的时间为（x-1.5）小时，所以甲走的路程为 8x 千米，乙走的路程为 6（x-1.5）千米。2. 甲乙两人相距 100 米，甲在前每秒跑 3 米，乙在后每秒跑 5 米。两人同时出发，同向而行，几秒后乙能追上甲？分析：在这个直线型追及问题中，两人速度不同，
13、跑的路程也不同，后面的人要追上前面的人，就要比前面的人多跑 100 米，而两人跑步所用的时间是相同的。所以有等量关系：乙走的路程-甲走的路程=100解：设 x 秒后乙能追上甲根据题意 得 5x-3x=100x=50答：50 秒后乙能追上甲3.小明每天早上要在 7：50 之前赶到距家 1000 米的学校上学。一天，小明以 80 米/分的速度出发，5 分后，小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。（1）爸爸追上小明用了多长时间？（2）追上小明时，距离学校还有多远？分析：用线段图表示为： 用符号语言表示为（即列方程）设：爸爸追上小明用了 x
14、分钟，则可列方程为： 4.某校新生列队去学校实习基地锻炼，他们以每小时 4 千米的速度行进，走了 小时时，一学生回校取东西，他以每小时 5 千米的速度返回学校，取东西后又以同样速度追赶队伍，结果在距学校实习基地 1500 米的地方追上队伍，求学校到实习基地的路程 分析：用线段图表示为：用符号语言表示为（即列方程）5.在一环行轨道上有三枚弹子同时沿逆时针方向运动。已知甲于第 10 秒钟时追上乙，在第30 秒时追上丙，第 60 秒时甲再次追上乙，并且在第 70 秒时再次追上丙，问乙追上丙用了多少时间？(第 11 届希望杯竞赛培训题 )解：设甲的运动速度是 乙的运动速度是 ，丙的运动速度是 设环形轨
15、道长为甲 ，V乙V丙VL。甲比乙多运动一圈用时 50 秒，故有 甲 乙 50L甲比丙多运动一圈用时 40 秒，故有 甲 丙 4可得到 乙V丙 40L52丙乙 乙甲 丙乙 丙甲 甲、乙、丙初始位置时，乙、丙之间的距离甲、丙之间距离甲、乙之间距离（ ）30（ ）10； 乙追上丙所用时间甲V丙 甲V乙 丙乙 乙 、 丙 之 间 距 离V 秒所以第 110 秒时，乙追上丙 丙乙 丙甲 30104510丙乙 乙甲 评注：相遇问题的关系式是：路程和=速度和时间；追及问题的关系式是：追及路程=速度差时间。6.小明每天早上要在 7：50 之前赶到距离家 1000 米的学校去上学。小明以 80 米/分的速度出发
16、，5 分钟后小明的爸爸发现他忘了带语文书。于是，爸爸立即以 180 米/分的速度去追小明，并且在途中追上了他。爸爸追小明用了多长时间？ 分析：此题中小明的速度，爸爸的速度均已告诉。因此速度之间不存在等量关系。我们只能在父子二人的时间和父子二人的路程上找等量关系。由于小明比爸爸早出发 5 分钟，且相遇时在同一个时刻，因此相遇时爸爸比小明少用 5 分钟，可得时间的等量关系：爸爸的时间5 分钟小明的时间 当爸爸追上小明时，父子二人都是从家走到相遇的地点，故爸爸行的路程与小明行的路程相等。得路程相等关系。 爸爸路程小明路程 如果爸爸追上小明用了 x 分钟，则第一个相等关系得：小明用了（x5）分钟，带入
17、第二个等量关系，可得方程 180x80（x5） 7.甲、乙两人同时同地同向出发，沿环行跑道匀速跑步，如果出发时乙的速度是甲的 2.5 倍，当乙第一次追上甲时，甲的速度立即提高 ，而乙的速度立即减少 ，并且乙第一次追上1415甲的地点与第二次追上甲的地点相距（较短距离）100 米，那么这条环行跑道的周长是_米；解：设甲原来的速度是 1 个单位，则乙原来的速度是 2.5 个单位，甲后来的速度是1.25 个单位，乙后来的速度是 2 个单位。设第一次甲跑了 x 圈时被乙追上，则此时乙跑了(x+1)圈；被追上后甲又跑了 y 圈再次被乙追上，则乙又跑了 (y+1)圈。利用两次甲乙跑的时间相等列方程： 5.
18、21xy解得： 321,x如图，若两人从 A 出发逆时针跑，则第一次乙在 B 点追上甲，第二次在 C 点追上甲（A、B、C 是圆周的三等分点） 。因为 B、C 相距 100 米，所以环形跑道的周长为米。3018.某体育馆有两条周长分别为 150 米和 250 米的圆形跑道如图 ，甲、乙俩个运动员分别从两条跑道相距最远的两个端点 A、B 两点同时出发，当跑到两圆的交汇点 C 时，就会转入到另一个圆形跑道，且在小跑道上必须顺时针跑，在大跑道上必须逆时针跑。甲每秒跑4 米，乙每秒跑 5 米，当乙第 5 次与甲相遇时，所用时间是_秒。AC BA C B BA分析：本题如果按原来的图形思考，会是非常麻烦
19、的事，需要分段计算，然后找到周期，这样没有细心的计算是很难解决问题的。现在我们注意到在小圆上是顺时针，在大圆上是逆时针，如果这两个圆能“拧开”就是一个在周长 400 米的大圆上的不同起点同时的追及问题，题目一下子变得非常简单了。解：根据分析，甲在 A 处，乙在 B 处，相距 200 米同时同向而行，乙速较快，第一次追上甲要多跑 200 米，以后每追上一次乙都要比甲多跑 400 米，那么第五次乙追上甲时，比甲多跑 4004+2001800 米，需要的时间是 1800（54） 1800 秒。评注：当一个问题按试题指引的方向比较复杂时，有时可以换一个角度得以使试题简化，而题目本身并没有实质上的变化，
20、这是解决数学问题经常用到的“转化”的数学思想。9.某路公交线共有 30 站（含始发站和终点站） ，车站间隔 2.5 千米，某人骑摩托车以 300 米/分的速度从始发站沿公交线出发，差 100 米到下一站时，公交总站开始发车，每 2 分钟一辆，公交速度 500 米/分，每站停靠 3 分钟，那么一路上摩托车会被公共汽车从后追上并超过_次；（摩托车从始至终不停，公交车到终点即停）解：摩托车与总站相距 2400 米的时候，第一辆车开始发车，它与摩托车超过 9 次，第二辆超过 8 次，第三辆超过 2 次，共计 19 次；队伍中的行程问题1.某队伍 450 米长，以每分钟 90 米速度前进，某人从排尾到排
21、头取东西后，立即返回排尾，速度为 3 米/秒。问往返共需多少时间？讲评：这一问题实际上分为两个过程：从排尾到排头的过程是一个追及过程，相当于最后一个人追上最前面的人；从排头回到排尾的过程则是一个相遇过程，相当于从排头走到与排尾的人相遇。解：在追及过程中，设追及的时间为 x 秒，队伍行进（即排头）速度为 90 米/分=1.5 米/ 秒，则排头行驶的路程为 1.5x 米；追及者的速度为 3 米/秒，则追及者行驶的路程为 3x 米。由追及问题中的相等关系“追赶者的路程被追者的路程=原来相隔的路程”，有：3x1.5x=450 x=300 在相遇过程中，设相遇的时间为 y 秒，队伍和返回的人速度未变，故
22、排尾人行驶的路程为1.5y 米，返回者行驶的路程为 3y 米，由相遇问题中的相等关系“甲行驶的路程+乙行驶的路程=总路程”有： 3y+1.5y=450 y=100故往返共需的时间为 x+y=300+100=400（秒）2.某行军总队以 8 千米/时的速度前进。队末的通信员以 12 千米/ 时的速度赶到排头送一封信，送到后立即返回队尾，共用时 14.4 分钟。求这支队伍的长度。 分析：此题在通信员追上排头以前是一个追急问题。从排头回到排尾是一个相遇问题。我们应分着两种情形去考虑问题。由时间共用 14.4 分钟可得一个等量关系：通信员追上排头的时间 +通信员回到排尾的时间=14.4 分钟 再由两个
23、固定关系 相遇路程/速度和=相遇时间 追急路程 /速度差=追击时间 可得两个等量关系：相遇路程/8+12=相遇时间 追急路程/12-8=追急时间 设队伍长 x 千米，则追急时间为 小时，相遇时间为 小时，代入第个等量关系中可得方程 + = . 总之，利用列方程来解决问题的方法是数学里面一个重要思想，就是方程思想。具体做法是从题中找出反映题中全部意义的所有等量关系，然后根据等量关系用字母代替未知数列出方程。 路程与时间问题（路途上有坡坎等）1.从甲地到乙地的公路，只有上坡路和下坡路，没有平路。一辆汽车上坡时每小时行驶 20千米，下坡时每小时行驶 35 千米。车从甲地开往乙地需 9 小时，乙地开往
24、甲地需 小时，217问：甲、乙两地间的公路有多少千米？从甲地到乙地须行驶多少千米的上坡路？(第五届华杯赛复赛题)分析 本题用方程来解简单自然。解 设从甲地到乙地的上坡路为 x 千米，下坡路为 y 千米，根据题意得方程组(2) 21703519yx解这个方程组有很多种方法。例如代入消元法、加减消元法等。由于方程组系数比较特殊(第一个方程中 x 的系数 恰好是第二个方程中 y 的系数，而 y 的系数 也恰好是第二351个方程中 x 的系数)，也可以采用如下的解法：(1)+(2)得(x+y)( + )=9+20135217所以 x+y= (3)9(1)-(2)得 (x-y)( - )=9-20135
25、27所以 x-y= (4)9由(3)、(4)得 x= 14027所以甲、乙两地间的公路长 210 千米，从甲地到乙地须行驶 140 千米的上坡路。2. 摄制组从 A 市到 B 市有一天的路程，计划上午比下午多走 100 千米到 C 市吃午饭。由于堵车，中午才赶到一个小镇，只行驶了原计划的三分之一，过了小镇，汽车赶了 400 千米，傍晚才停下来休息。司机说，再走从 C 市到这里路程的二分之一就到达目的地了。问A、B 两市相距多少千米？(第五届华杯赛决赛试题 )分析：本题条件中只有路程，没有时间和速度，因而应当仔细分析各段路程之间的关系。解：如图，设小镇为 D，傍晚汽车在 E 休息 A D C E
26、 B由已知， AD 是 AC 的三分之一，也就是 AD = DC 又由已知，EB= CE2121两式相加得：AD+ EB= DE21因为 DE=400 千米，所以 AD+ EB= 400=200 千米，从而 A、B 两市相距 400+200=600 千米评注：行程问题常通过画行程示意图来帮助我们思考。3.小明早上从家步行到学校，走完一半路程时，爸爸发现小明的数学课本丢在家里，随即骑车去给小明送书，追上时，小明还有 的路程未走完，小明随即上了爸爸的车，由爸爸310送往学校。这样，小明就比独自步行提早了 5 分钟到学校，小明从家到学校全部步行需要_分钟；解：小明走 ，与小明的爸爸走 的时间相同，所
27、以他们的速度比是 ：7120710 7107：2，接下来如果小明步行，爸爸骑车都走 的路程，那么小明就多用 5 分钟，设1 3速度的一份为 x，则 ，所以小明的速度是 ，从家到3275,10140xx321407学校的路程是 1，所用时间是 分钟。320汽车发车问题1.公共汽车每隔 x 分钟发车一次，小宏在大街上行走，发现从背后每隔 6 分钟开过来一辆公共汽车，而每隔 分钟迎面开来一辆公共汽车。如果公共汽车与小宏行进的速度都是724均匀的，则 x 等于 分钟。(第六届迎春杯初赛试题)分析：此题包括了行程问题中的相遇与追及两种情况。若设汽车速度为 a 米/每秒，小宏速度为 b 米/每秒，则当一辆
28、汽车追上小宏时，另一辆汽车在小宏后面 ax 米处，它用 6 分钟追上小宏。另一方面，当一辆汽车与小宏相遇时，另一辆汽车在小宏前面 ax 米处，它经过分钟与小宏相遇。由此可列出两个方程。724解：设汽车速度为 a 米/每秒，小宏速度为 b 米/每秒，根据题意得)(6bx两式相减得 12a=72b 即 a=6b 代入可得 x=5评注：行程问题常分为同向运动和相向运动两种，相遇问题就是相向运动，而追及问题就是同向运动。解这类问题分析时往往要结合题意画出示意图，以便帮助我们直观、形象地理解题意。有河流的行程问题1 有编号为、的 3 条赛艇，其在静水中的速度依次为每小时 v1、v2、v3 千米，且满足
29、v1 v2 v3 v 0，其中 v 为河流的水流速度。它们在河流上进行追逐赛，规则如下：(1) 3 条赛艇在同一起跑线上同时出发，逆流而上，在出发的同时，有一浮标顺流而下；(2) 经过 1 小时，、号赛艇同时掉头，追赶浮标，谁先追上谁为冠军。在整个比赛期间各艇的速度保持不变，则比赛的冠军 解：经过 1 小时，、号赛艇同时掉头，掉头时，各艇与浮标的距离为：S i=(vi-v)1+v1= vi 1(i=1、2、3)第 i 号赛艇追上浮标的时间为： (小时)1iii vvSt由此可见，掉头后各走 1 小时，同时追上浮标，所以 3 条赛艇并列冠军。评注：顺流速度=静水速度+ 水流速度；逆流速度= 静水
30、速度-水流速度。2.一货轮航行于 A、B 两个码头之间，水流速度为 3km/小时，顺水需 2.5 小时，逆水需 3小时，求两码头之间的距离。 分析：此题是一个航行问题，由于顺水所需时间，逆水所需时间均已告诉，所以我们只找速度等量关系，路程等量关系，而其速度的两个等量关系时固有的，即：顺水速度=静水速度+水速、逆水速度= 静水速度- 水速。对此提来讲就是顺水速度=静水速度+3；逆水速度=静水速度-3.路程关系是比较明显的，即：顺水路程=逆水路程 我们用来列方程，那就是需要顺水时间、顺水速度、逆水时间、逆水速度，两个时间已知，只要放出静水速度为 xkm/h,由、就可以分别列出表示出顺水速度 =（x
31、+3）km/h,逆水速度= （x+3 ）km/h, 代入可得方程：2.5（x+3）=3(x-3) 我们看到设出来的未知数不是题中要问的，这就是间接设元。若设出来的未知数正好是题中所要求的，那就是直接设元。好多题都是间接设元比较简单。此题若是直接设元会比较难。 3.一艘船在一条河里 5 个小时往返 2 次，第一小时比第二小时多行 4 千米，水速为 2 千米小时，那么第三小时船行了_千米；解：首先判断出开始是顺流。在第 1 小时和第 2 小时这两个相等的时间内，速差是 4，路程差也是 4，那么得到第 1 小时正好是走一个顺流的长度。由于第 1 个小时在顺水时走的才是一个全长，那么第 4 小时肯定是
32、逆水。具体行驶情况如图。再者，第 2 小时和第 3 小时逆行的路程都是 4，那么它们顺行的路程也必须相等，故第 3 小时的最终时刻到全长的中点。最后，比较第 3 小时和第 3 小时行驶的情况：设全长为 2a 千米，船在静水中的速度为每小时 x 千米。，422aax解得 a10 千米。4.一架飞机带的燃料最多用 6 小时，顺风去，每小时 1500 公里，逆风回，每小时 1200 公里，飞机最多飞出_小时返回；解：我们知道去时顺风，每小时 1500 公里，也就是去时每走 1 公里用 小时，回来时50逆风，每小时 1200 公里，也就是回来时每走 1 公里用 小时。这样，每公里的路程来20回共需要
33、小时。135020燃料最多能用 6 小时，所以飞机最多可飞行 =4000(公里)3620顺风时飞行 4000 公里需要 40001500= 小时。8所以最多飞出 小时。8344火车问题1.一列火车匀速前进，从开进入 300 米长的隧道到完全驶出隧道共用了 20 秒，隧道顶部一盏固定的聚关灯照射火车 10 秒，这列火车的长度是多少？ 分析：此题的关键是把题意理解清楚。 “开始进入隧道到完全驶出隧道”的意思是火车进入隧道到火车完全离开隧道。此过程火车行驶的路程应为隧道的长度与火车长度的和。故可得第一个等量关系 火车路程=火车长度+300 “聚光灯照射火车 10 秒”的意思是火车以它的速度 10 秒
34、行进的路程是火车的长度。故可得第二个等量关系火车长度=火车速度10 设该火车的速度为 x 米/秒，则由得火车长度为 10x 米。代入第一个等量关系中，可得方程 20x=10x+300 时钟问题1.早上 8 点多的时候上课铃响了，这时小明看了一下手表。过了大约 1 小时下课铃响了，这时小明又看了一下手表，发觉此时时针和分针的位置正好与上课铃响时对调，那么上课时间是_时_分。分析：8 点多上课，下课是 9 点多，两次的时针应是在 89 与 910 之间，这样可以初步判断出上课时间是 8：点 45 分到 8：50，下课时间是 9：40 到 9：45 之间。再利用分针与时针速度的关系即可转化成环形上的
35、行程问题。解：有分析可以知道，分针和时针走的总路程是整个圆周，设分针速度为 1，那么时针速度为 ，分针每小时走 60 个小格，设 8 与时针的夹角为 x 格，9 与分针的夹角为 y 格，12根据时间相同列方程组：。所以上课的时间为 40+ 分钟。45182,4013xyx 84132.一只旧钟的分针和时针每 65 分钟(标准时间的 65 分钟）重合一次,这只钟在标准时间的 1天（快或慢）_分钟；分析：我们标准钟每 65 标准分钟时针、分针重合一次。旧钟每 65 分钟重合一次。显然15旧钟快。本题的难点在于从旧钟两针的重合所耗用的 65 标准分钟推算出旧钟时针或分针的旋转速度(每标准分钟旋转多少
36、格 )进而推算出旧钟的针 24 标准小时旋转多少格，它与标准钟的针用 24 标准小时所走的格数的差就是旧钟钟面上显示的比标准钟快的时间读数。解：设旧钟分针每标准分钟走 x 格。那么，每走 1 格用 标准分钟。如用复合单位表示：x旧钟分针速度为 x (格/标准分 )。旧钟分针走 60 格时针走 5 格，时针速度总是分针的 ，12所以旧钟时针速度为 x (格/ 标准分) 。每次重合耗用 65 标准分钟，而且两次重合之间分12针赶超了时针 60 格，列方程： .112650,23x标准时间一天有 60241440 标准分，一天内旧钟分针走的格数为：6024。但是我们只须求出旧钟分针比标准钟分针多走了
37、多少格，即减去 1440 个132(标准钟的 )格，所以有 60246024( 1)6024 60241313213410 (旧钟格)460这里一定要明白，这 10 只是旧钟上显示的多走的格数，也是旧钟的非标准分钟数，40并非标准的分钟数。答：这只旧钟在标准时间一天内快 10 分钟。(按旧钟上的时间)133.一个特殊的圆形钟表只有一根指针，指针每秒转动的角度为成差数列递增。现在可以设定指针第一秒转动的角度 a（a 为整数） ，以及相邻两秒转动的角度差 1 度，如果指针在第一圈内曾经指向过 180 度的位置，那么 a 最小可以被设成_，这种情况下指针第一次恰好回到出发点是从开始起第_秒。解 ：
38、对 于 满 足 条 件 的 a， 即 存 在 1 个 自 然 数 n， 使 得 a+(a+1)+(a+2)+ +(a+n1)=180，即 (2a+n1)n=360。 显 然 a 越 小 时 ， 2a+n1 与 n 的 差 越 小 。 又 2a+n1 与 n 的 奇 偶 性 不同 ， 于 是 可 推 出 n=15， a=5。 故 a 最 小 可 以 被 设 成 5。 在 这 种 情 况 下 指 针 第 一 次 恰 好 回到 出 发 点 时 ， 即 5+6+7+n=360k（ k 是 整 数 ， n 5） ， 所 以 n+5(n4)能 被 720 整 除 。注 意 到 n4 n+5(mod3)，
39、所 以 n4 和 n+5 是 3 的 倍 数 。 又 n+5 与 n4 的 奇 偶 性 不 同 ，故 有 一 个 是 16 的 倍 数 。 且 n+5 与 n4 中 有 1 个 是 5 的 倍 数 。 于 是 得 出 满 足 条 件 的 最 小的 n 是 100。 时 间 为 96 秒 。流水行船问题：1.某人乘坐观光游船沿河流方向从 A 港到 B 港前行。发现每隔 40 分钟就有一艘货船从后面追上游船,每隔 20 分钟就会有一艘货船迎面开过。已知 A、B 两港之间货船发出的间隔时间相同，且船在静水中的速度相同，均是水速的 7 倍。那么货船的发出间隔是_分钟；分析：对于直线上汽车与行人的迎面相
40、遇和背后追及这个类型的问题是多见的，这里要注意顺水与逆水的不同。解：设货车在静水中的速度为 6，那么水速为 1，游船的速度为 x，时间间隔为 t，那么在追及的情况下的间隔为 30(6+1)(x+1)(6+1)t，迎面相遇情况下的间隔为 20(61)+(x+1)(61)t，解得 t720/29 分钟。评注：这里要注意与路面上的情况不同的是发车的时间间隔相同时候，在顺水与逆水的间隔路程就不同了，就是这样出错的。2.有一地区，从 A 到 B 为河流，从 B 到 C 为湖。正常情况下，A 到 B 有水流，B 到 C 为静水。有一人游泳，他从 A 游到 B，再从 B 游到 C 用 3 小时；回来时，从
41、C 游到 B，再从 B 到 A 用 6 小时。特殊情况下，从 A 到 B、从 B 到 C 水速一样，他从 A 到 B，再到 C用 2.5 小时，在在这种情况下，从 C 到 B 再到 A 用_小时；解：设 BC 为 1 份，AB 为 x 份，则 AB 占总体的 ，BC 占总体的 ，根据特殊情况1x1x下，从 A 到 B、从 B 到 C 水速一样，他从 A 到 B，再到 C 用 2.5 小时，速度相同，时间的比等于路程的比，得到关于时间的等式 .2.5.25x这样得到其它两个条件的等式： .0.30.53, 6,11x而要求的算式是5.3.?1x这样知道在 BC 上逆水时的时间为 ，静水时所用时间
42、为 ，顺水时所用.1x0.531x时间为 ，所以在 BC 上逆水、静水、顺水时的速度比为 ： ： ，由2.51x 2.5于三者是公差为水速的等差数列，所以得到等式： ， .20.53x3x所以 .5.3.4.751xx答：在特殊情况下，从 C 到 B 再到 A 用 7.5 小时。评注：本题的关系十分复杂，把四个条件都用时间表示出来，然后寻找在 BC 上的三种速度是一个等差数列。3.A 地位于河流的上游， 地位于河流的下游，每天早上，甲船从 地、乙船从 地同时AB出发相向而行。从 12 月 1 号开始，两船都装上了新的发动机，在静水中的速度变为原来的1.5 倍，这时两船的相遇地点与平时相比变化了
43、 1 千米。由于天气的原因，今天（12 月 6号）的水速变为平时的 2 倍，那么今天两船的相遇地点与 12 月 2 号相比，将变化_千米；分析：对于流水行船问题，注意水速的影响，水中相遇时，速度的和不变；解：设开始甲船在静水中中速度为 V 甲 ，乙船在静水中速度为 V 乙 ，水速为 V 水 ，相遇时间为 t。（1）开始时相遇时间为 t，而速度均增加 1.5 倍时，行驶路程不变，故时间缩小 1.5 倍时间即为 t1.5= ，根据两次相遇点相距 1 千米，甲两次的路程差为 1 千米，列方程，23t，tV 水 =3，从而(.51.5tVtV甲 甲 水 水） （ ） =（千米） ；2221 3233t
44、tt甲 甲 水 水 水） （ ）评注：从题目结论可以看出，路程的变化与甲、乙速度无关，只与水速的变化有关；1. 司机每天按规定时间开车从工厂到厂长家接厂长。一天厂长提前了 1 小时出门，沿路先步行，而司机晚出发了 4 分钟，途中接到厂长，结果厂长早到厂 8 分钟，那么开车速度与厂长步行速度的比是_；分析：本题给的是时间的关系。要知道，相同的路程下，路程比等于时间的反比。解：司机晚出发 4 分钟，又早到 8 分钟，那么相当于少用 4812 分钟时间接厂长到厂，又知道司机来回的时间是相等的，故司机去的时候少用 1226 分钟。而司机这 6 分钟走的路程是厂长步行的路程，厂长走这段路的时间应该是早出
45、发的 1 小时加上司机遇到厂长时少用的 6 分钟，共 66 分钟。根据分析，相同的路程情况下，司机的速度与厂长步行的速度比是 66：611：1。评注：不要认为司机 6 分钟的路程是厂长 1 小时的路程，而是要加上司机去的时候少用的6 分钟，想一想，为什么？2. 甲、乙两人分别从 A、B 两地同时出发，4 小时后在某处相遇；如果甲每小时多走 1.5千米，而乙比甲提前 24 分钟出发，则相遇时仍在此处。如果甲比乙晚 48 分钟出发，乙每小时少走 2.5 千米，也能在此相遇，那么 A、B 两地之间的相距_千米；分析：本题的关键是三次相遇的地点相同，然后考虑各自的时间和速度的变化。解：假设甲乙 4 小
46、时相遇在 C 处，当甲每小时多行 1.5 千米时，要走相同的路程，则时间就少用 小时，实际所用时间是 40.43.6 小时，那么甲原来的速度是20.6千米/小时；当乙每小时少走 2.5 千米，则走相同的路程要多用 小1.536.04 480.6时，实际所用的时间是 4+0.84.8 小时，那么乙原来的速度是 千米/小时。所2.510以 A、B 两地的距离是（13.5+15）4114 千米。解法二：设甲的速度是 x 千米/小时，乙的速度是 y 千米/小时，则甲乙的路程分别是 4x 千米、4y 千米。那么 424913.51.5601.5082xyxy所以 A、B 两地的距离是（13.5+15）4
47、114 千米。评注：这里注意到乙多走的 24 分钟，相当于甲少走了 24 分钟，速度增加，时间减少，路程不变的情况。3. 已知猫跑 5 步的路程与狗跑 3 步的路程相同。猫跑 7 步的路程与兔跑 5 步的路程相同。而猫跑 3 步的时间与狗跑 5 步的时间相同。猫跑 5 步的时间与兔跑 7 步的时间相同。猫、狗、兔沿着周长为 300 米的圆形跑道,同时同向同地出发。当它们出发后第 1 次相遇时各跑了_、_、_米；分析：从所给的路程和时间的关系得到它们三者的速度比是很重要的，猫跑一步的时间为，跑 5 步的时间是 ，同样得到狗跑 3 步的时间是 ，这时路程相同，速度比是时间的135335反比，为 9：25，同样求猫与兔子的速度比。:解：由题意,猫与狗的速度之比为 925,猫与兔的速度之比为 2549。设单位时间内猫跑 1米,则狗跑 米,兔跑 米。狗追上猫一圈需 300 ；兔追上猫一圈需2541925467300 。1496猫、狗、兔再次相遇的时间,应既是 的整数倍,又是 整数倍。 与 的最小公467526546752倍数等于两个分数中,分子的最小公倍数除
