1、第二节 参 数 方 程,【教材基础回顾】 1.曲线的参数方程 在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标x,y 都是某个变数t的函数_,并且对于t的每一个,允许值,由这个方程组所确定的点M(x,y)都在这条曲线 上,那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程,联系 变数x,y的变数t叫做_,简称_. 相对于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程 F(x,y)=0叫_方程.,参变数,参数,普通,2.参数方程和普通方程的互化 (1)参数方程化普通方程:利用两个方程相加、减、 乘、除或者代入法消去参数. (2)普通方程化参数方程:如果x=f(t),把它代入普通方 程,求出另一个变数与参数的关系y=
2、g(t),则得曲线的 参数方程,3.直线、圆与椭圆的普通方程和参数方程,【金榜状元笔记】 1.参数方程化普通方程 (1)常用技巧:代入消元、加减消元、平方后加减 消元等. (2)常用公式:cos 2+sin 2=1,1+tan 2=,2.直线参数方程的标准形式的应用 过点M0(x0,y0),倾斜角为的直线l的参数方程是若M1,M2是l上的两点,其对应参数分别 为t1,t2,则,(1)|M1M2|=|t1-t2|. (2)若线段M1M2的中点M所对应的参数为t,则t= 中点M到定点M0的距离|MM0|=|t|= (3)若M0为线段M1M2的中点,则t1+t2=0.,【教材母题变式】 1.把下列参
3、数方程化为普通方程,并说明它们各表示 什么曲线? (1) (t为参数) (2) (为参数),【解析】(1)由y=t-1得t=y+1,代入x=3t+2得 x=3(y+1)+2,故所求普通方程为x-3y-5=0, 这是一条直线. (2)曲线方程化为 所以 这是椭圆.,2.已知曲线C的参数方程是 (t为参数, aR),点M(-3,4)在曲线C上. (1)求常数a的值. (2)判断点P(1,0),Q(3,-1)是否在曲线C上?,【解析】(1)将M(-3,4)的坐标代入曲线C的参数方程消去参数t,得a=1.,(2)由(1)可得,曲线C的参数方程是 把点P的坐标(1,0)代入方程组,解得t=0,因此P在曲
4、线C 上,把点Q的坐标(3,-1)代入方程组,得到 这个方程组无解,因此点Q不在曲线C上.,3.已知点P是椭圆 +y2=1上任意一点,求点P到 直线l:x+2y=0的距离的最大值.,【解析】因为椭圆 +y2=1的参数方程为 (为参数), 故可设点P的坐标为(2cos ,sin ), 又直线l:x+2y=0. 因此点P到直线l的距离d=,又0,2),所以dmax= 即点P到直线l:x+2y=0的距离的最大值为,【母题变式溯源】,考向一 参数方程与普通方程的互化 【典例1】将下列参数方程化为普通方程.,【解析】(1)由t2-10t1或t-1 0x1或-1x0.由 式代入式得x2+y2=1.,(2)
5、由x=2+sin 2,0sin 21 22+sin 232x3,【误区警示】将参数方程化为普通方程时,要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小,必须根据参数的取值范围,确定函数f(t)和g(t)的值域,即x和y的取值范围.,【一题多变】将本例(1)的参数方程改为(t为参数),如何化为普通方程?,【解析】因为x= 所以y= =4-3 =4-3x. 又因为x= =2- 0,2),所以x0,2), 所以所求的普通方程为3x+y-4=0(x0,2).,【技法点拨】 消去参数的方法一般有三种 (1)利用解方程的技巧求出参数的表示式,然后代入消去参数. (2)利用三角恒等式消去参数.,(3)根据参数方程本
6、身的结构特征,灵活地选用一些方法从整体上消去参数.,【同源异考金榜原创】 1.设 =cos ,为参数,求椭圆 的参数方程. 世纪金榜导学号37680334,【解析】把 cos 代入椭圆方程, 得到cos 2+ =1, 于是(y+2)2=5(1-cos 2)=5sin 2, 即y+2= sin ,由参数的任意性, 可取y=-2+ sin ,因此椭圆 的参数方程为(为参数).,2.将下列参数方程化为普通方程.,【解析】(1)由参数方程得et=x+y,e-t=x-y, 所以(x+y)(x-y)=1,即x2-y2=1. (2)因为曲线的参数方程为由y=2tan , 得tan = 代入得y2=2x.,考
7、向二 参数方程的应用 【典例2】(1)(2017全国卷)在直角坐标系xOy中, 曲线C的参数方程为 (为参数),直线l的参 数方程为 (t为参数).,若a=-1,求C与l的交点坐标; 若C上的点到l的距离的最大值为 求a.,(2)已知直线l:x+y-1=0与抛物线y=x2相交于A,B两点, 求线段AB的长度和点M(-1,2)到A,B两点的距离之积.世纪金榜导学号37680335,【解析】(1)当a=-1时,直线l的方程为x+4y-3=0. 曲线C的标准方程是 联立方程 解得: 则C与l的交点坐标是(3,0)和,直线l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 设曲线C上点P(3cos ,sin ).
8、 则P到l的距离d= 其中tan = 依题意得:dmax= 解得a=-16或a=8.,(2)因为直线l过定点M,且l的倾斜角为 所以它的参数方程为 (t为参数),即 (t为参数),把它代入抛物线的方程,得t2+ t-2=0, 解得 由参数t的几何意义可知 |AB|=|t1-t2|= |MA|MB|=|t1t2|=2.,【答题模板微课】本例(1)的求解过程可模板化为: 建模板:当a=-1时,直线l的方程为x+4y-3=0. 曲线C的标准方程是 +y2=1,化方程 联立方程组,解得: 则C与l的交点坐标是(3,0)和 求坐标,直线l的一般式方程是x+4y-4-a=0. 设曲线C上点P(3cos ,
9、sin ).设坐标 则P到l的距离d= 其中tan = 建模型,依题意得:dmax= 解得a=-16或a=8. 求最值,套模板:已知曲线C1: (t为参数), C2: (为参数).,若曲线C1上的点P对应的参数为t= Q为曲线C2上的 动点,求PQ中点M到直线C3: (t为参数)距离的 最小值.,【解析】直线C3的普通方程为x-2y-7=0,化方程 当t= 时,P(-4,4), 设Q(8cos ,3sin ), 故 设坐标,则点M到直线C3的距离d= |4cos -3sin -13|. 建模型 从而当 时,d取得最小值 求最值,【技法点拨】 1.应用直线参数方程的注意点 在使用直线参数方程的几
10、何意义时,要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值,否则参数不具备该几何含义.,2.圆和圆锥曲线参数方程的应用 有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题,通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解.,【同源异考金榜原创】 1.已知直线l的参数方程为 (t为参数), 圆C的参数方程为 (为参数). (1)求直线l和圆C的普通方程. (2)若直线l与圆C有公共点,求实数a的取值范围.,【解析】(1)直线l的普通方程为2x-y-2a=0, 圆C的普通方程为x2+y2=20. (2)因为直线l与圆C有公共点, 故圆C的圆心到直线l的距离d= 解得-5a5.
11、,2.在平面直角坐标系xOy中,圆C的参数方程为 ( 为参数),直线l经过点P(1,2),倾斜角 = (1)写出圆C的标准方程和直线l的参数方程. (2)设直线l与圆C相交于A,B两点,求|PA|PB|的值.,【解析】(1)消去,得圆的标准方程为x2+y2=16.直线l的参数方程为(t为参数).,(2)把直线l的方程 代入x2+y2=16, 得 即t2+(2+ )t-11=0,易知0, 所以t1t2=-11,即|PA|PB|=11.,考向三 极坐标方程和参数方程的综合应用高频考点,【典例3】(1)(2017全国卷)在直角坐标系xOy中, 直线l1的参数方程为 (t为参数),直线l2的参 数方程
12、为 (m为参数).设l1与l2的交点为P,当 k变化时,P的轨迹为曲线C. 世纪金榜导学号37680336,写出C的普通方程; 以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 设l3:(cos +sin )- =0,M为l3与C的交点,求M 的极径.,(2)(2018衡水模拟)已知曲线C的极坐标方程是 2=4cos +6sin -12. 以极点为原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标 系,直线l的参数方程为 (t为参数).,写出直线l的普通方程与曲线C的直角坐标方程,并判 断它们的位置关系; 将曲线C向左平移两个单位,再向下平移三个单位得 到曲线D,设曲线D经过伸缩变换 得到曲线E, 设曲
13、线E上任一点为M(x,y),求 的取值范围.,(3)在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的方程为 (为参数). 求过椭圆的右焦点,且与直线 (t为参数) 垂直的直线l的普通方程; 求椭圆C的内接矩形ABCD面积的最大值.,【解析】(1)直线l1的普通方程为y=k(x-2), 直线l2的普通方程为x=-2+ky, 消去k得x2-y2=4, 即C的普通方程为x2-y2=4.,l3的直角坐标方程为x+y= 联立 所以2=x2+y2= 所以l3与C的交点M的极径为,(2)直线l的普通方程为 曲线C的 直角坐标方程为(x-2)2+(y-3)2=1. 因为 所以直线l和曲线C相切.,曲线D为x2+y2=1,
14、曲线D经过伸缩变换 得到曲线E的方程为 x2+ =1. 则其参数方程为 (为参数),代入 得,所以 的取值范围为-2,2.,(3)椭圆方程为 椭圆的右焦点为(3,0), 已知直线的斜率k= ,于是所求直线l的方程可设为 y=-2x+b,又直线过(3,0) 所以所求直线方程为:y=-2x+6.,设A(4cos , sin ),则椭圆C的内接矩形ABCD 面积S=4|xy|=16 |sin cos |=8 |sin 2|, 面积最大为8 .,【技法点拨】 极坐标方程与参数方程综合问题的解题策略 (1)求交点坐标、距离、线段长.可先求出直角坐标系方程,然后求解.,(2)判断位置关系.先转化为平面直角
15、坐标方程,然后再作出判断. (3)求参数方程与极坐标方程综合的问题.一般是先将方程化为直角坐标方程,利用直角坐标方程来研究问题.,【同源异考金榜原创】 命题点1 求交点坐标、距离、线段长 1.在直角坐标系xOy中,以坐标原点O为极点,x轴正 半轴为极轴建立极坐标系,曲线C1:2-4cos +3 =0,0,2,曲线C2:= 0,2.,(1)求曲线C1的一个参数方程. (2)若曲线C1和曲线C2相交于A,B两点,求|AB|的值.,【解析】(1)由2-4cos +3=0可知:x2+y2-4x+3=0, 所以(x-2)2+y2=1. 令x-2=cos ,y=sin ; 所以C1的一个参数方程为 (R)
16、.,(2)C2: 所以 即2x- -3=0, 因为直线2x- -3=0 与圆(x-2)2+y2=1相交于A,B两点, 所以圆心到直线的距离为d= 所以,命题点2 判断位置关系 2.在极坐标系中,已知三点O(0,0), (1)求经过O,A,B的圆C1的极坐标方程. (2)以极点为坐标原点,极轴为x轴的正半轴建立平面直 角坐标系,圆C2的参数方程为 (是参 数),若圆C1与圆C2外切,求实数a的值.,【解析】(1)O(0,0), 对应的直 角坐标分别为O(0,0),A(0,2),B(2,2),则过O,A,B 的圆的普通方程为x2+y2-2x-2y=0,又因为代入可求得经过O,A,B的圆C1的 极坐
17、标方程为=,(2)圆C2: (是参数)对应的普通方程 为(x+1)2+(y+1)2=a2, 当圆C1与圆C2外切时,有 +|a|=2 ,解得a= .,命题点3 求最值和取值范围问题 3.(2018唐山模拟)在直角坐标系xOy中,曲线 C1:x+y=4,曲线C2: (为参数),以坐标原 点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.,(1)求曲线C1,C2的极坐标方程. (2)若射线l:=(0)分别交C1,C2于A,B两点,求的最大值.,【解析】(1)因为在直角坐标系xOy中,曲线C1:x+y=4,曲线C1的极坐标方程为(cos +sin )=4, C2的普通方程为(x-1)2+y2=1, 所以曲
18、线C2的极坐标方程为=2cos .,(2)设A(1,),B(2,), 则1= 2=2cos ,2cos (cos +sin )当= 时, 取得最大值,核心素养系列（六十一） 数学建模参数方程中的核心素养建立有关曲线的参数方程,研究解析几何中位置关系、交点坐标、弦长和最值问题.,【典例】(2016全国卷)在直角坐标系xOy中,曲线 C1的参数方程为 (t为参数,a0).在以坐标 原点为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C2: =4cos .,(1)说明C1是哪一种曲线,并将C1的方程化为极坐标 方程. (2)直线C3的极坐标方程为=0,其中0满足 tan 0=2,若曲线C1与C2的公共点都在C3上,求a.,【解析】(1)消去参数t得到C1的普通方程为x2+(y-1)2 =a2.C1是以(0,1)为圆心,a为半径的圆. 将x=cos ,y=sin 代入C1的普通方程中,得到C1的极坐标方程为2-2sin +1-a2=0.,(2)C2:=4cos ,两边同乘,得2=4cos , 因为2=x2+y2,cos =x, 所以x2+y2=4x. 即(x-2)2+y2=4. C3:化为直角坐标方程为y=2x,由题意:C1和C2的公共弦所在直线即为C3. -得:4x-2y+1-a2=0,即为C3, 所以1-a2=0, 所以a=1.,
