1、第三节 几 何 概 型,【教材基础回顾】 1.几何概型的定义 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的 _成比例,则称这样的概率模型为几 何概率模型,简称几何概型.,长度(面积或体积),2.几何概型的特点 (1)无限性:试验中所有可能出现的结果(基本事件)有 _个. (2)等可能性:试验结果在每一个区域内_分布.,无限多,均匀,3.几何概型的概率公式 P(A)=_.,【金榜状元笔记】 1.一个概念测度 几何概型的概率公式中的“测度(即构成事件的区域)”只与大小有关,而与形状和位置无关.,2.两种方法 判断几何概型几何度量形式的两种方法 (1)当题干是双重变量问题,一般与面积有关系.,(2)当
2、题干是单变量问题,要看变量可以等可能到达的区域:若变量在线段上移动,则几何度量是长度;若变量在平面区域(空间区域)内移动,则几何度量是面积(体积),即一个几何度量的形式取决于该度量可以等可能变化的区域.,【教材母题变式】 1.某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台整点报时,则他等待的时间少于20分钟的概率为_.,【解析】因为电台整点报时,所以事件总数包含的时间 长度是60,因为满足他等待的时间少于20分钟的事件 包含的时间长度是20,由几何概型公式得到P= . 答案:,2.取一个正方形及其外接圆,随机向圆内抛一粒豆子,则豆子落入正方形外的概率为_.,【解析】设正方形的边长为1,由已知
3、易得:S正方形=1, S外接圆= ,故豆子落入正方形外的概率P= 答案:,3.某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现,红灯持续时间为40秒.若一名行人来到该路口遇到红灯,则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为_.,【解析】记“至少需要等待15秒才出现绿灯”为事件A, 则P(A)= . 答案:,4.假设某人订了一份牛奶,送奶人在早上6:00-7:00之间随机地把牛奶送到他家,而他在早上6:30-7:30之间随机地离家上学,则他在离开家前能收到牛奶的概率是_.,【解析】设送奶人到达的时间为x,订奶人离家的时间为y,以横坐标表示奶送到时间, 以纵坐标表示订奶人离家时间, 建立平面直角坐标系(如图
4、),则订奶人离开家前能收到牛奶的事件构成区域如图所 示. 所以所求概率 . 答案:,【母题变式溯源】,考向一 与面积有关的几何概型及模拟试验 【典例1】 (1)(2017全国卷)如图,正方形ABCD 内的图形来自中国古代的太极图.正方形 内切圆中的黑色部分和白色,部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点,则此点取自黑色部分的概率是 ( ) 世纪金榜导学号37680324,(2)在可行域内任取一点,其规则如流程图所示,则能输出数对(x,y)的概率是 ( ),(3)(2016全国卷)从区间0,1内随机抽取2n个数 x1,x2,xn,y1,y2,yn,构成n个数对(x1,y1), (x2
5、,y2),(xn,yn),其中两数的平方和小于1的数对共 有m个,则用随机模拟的方法得到的圆周率 的近似值 为 世纪金榜导学号37680325( ),【解析】(1)选B.设正方形边长为2,则圆半径为1,则正 方形的面积为22=4,圆的面积为12=,图中黑色 部分的面积为 ,则此点取自黑色部分的概率为,(2)选B.依题意可行域为正方形ABCD,输出数对(x,y)形成的图形为图中阴影部分,故所求概率为:,(3)选C.由题意得:(xi,yi)(i=1,2,n)在 如图所示的正方形中(含边界),而平方和小 于1的点均在如图所示的阴影中(不含圆的边界), 由几何概型概率计算公式知 又P= ,所以 ,所以
6、= .,【技法点拨】 1.与面积有关的几何概型的求解策略 (1)先确定基本事件对应区域的形状. (2)再选择恰当的方法和公式,计算出其面积. (3)进而代入公式求概率.,2.与线性规划交汇问题的解题思路 先根据约束条件作出可行域,再确定形状,求面积大小,进而代入公式求概率.,【拓展】古典概型与几何概型的异同点 几何概型是与古典概型最为接近的一种概率模型,两者的共同点是基本事件是等可能的,不同点是基本事件数一个是有限的,一个是无限的.对于几何概型,基本事件可以抽象为点,这些点尽管是无限的,但它们所占据的,区域是有限的,根据等可能性,一个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比,而与该区域的位置和
7、形状无关.,【同源异考金榜原创】 1.已知正六边形ABCDEF内接于圆O,连接AD,BE,现在往 圆O内投掷2 000粒小米,则可以估计落在阴影区域内的 小米的粒数大致是 ( ) (参考数据: 1.81, 0.55) A.550 B.600 C.650 D.700,【解析】选A.由题意,设落在阴影区域内的小米的粒数 大致是x,则 ,所以x550.,2.在区间0,1上任取两个数,则这两个数之和小于 的概率是 世纪金榜导学号37680326( ),【解析】选C.设这两个数分别是x,y,则总的基本事件 构成的区域是 确定的平面区域,所求事件包含 的基本事件构成的区域是 确定的平面区域, 如图所示(阴
8、影部分),阴影部分的面积是 ,所以这两个数之和小于 的概率是 .,考向二 与体积有关的几何概型 【典例2】(1)(2018马鞍山模拟)在边长为2的正方体内部随机取一点,则该点到正方体8个顶点的距离都不小于1的概率为 ( ),(2)(2018哈尔滨模拟)在体积为V的三棱锥S-ABC的棱 AB上任取一点P,则三棱锥S-APC的体积大于 的概率 是_.,【解析】(1)选D.符合条件的点P落在棱长为2的正方体 内,且以正方体的每一个顶点为球心,半径为1的 球 体外;根据几何概型的1111概率计算公式得,(2)由题意可知 ,三棱锥S-ABC的高与三棱锥 S-APC的高相同. 如图所示,作PMAC于点M,
9、BNAC于点N, 则PM,BN分别为APC与ABC的高,所以 所以 ,故所求的概率为 (即为长度之比). 答案:,【一题多变】记本例(1)中正方体为ABCD-A1B1C1D1,点M是该正方体内部随机一点,求点M到顶点A的距离超过1的概率.,【解析】由题意可得正方体的体积为23=8,与点A距离等于1的点的轨迹是半径为1的一个八分之一球面,体积为 则点M到点A的距离超过1的概率为:,【技法点拨】 与体积有关的几何概型问题 如果试验的结果所构成的区域的几何度量可用空间几 何体的体积表示,则其概率的计算公式为: P(A)= 求解的关键是计算事件的总体积以及事件A的体积.,【同源异考金榜原创】 1.如图
10、某个四面体的三视图,若在该四面体的外接球内任取一点,则点落在四面体内的概率为 ( ),【解析】选C.由三视图可知该立体图形为三棱锥,其底 面是一个直角边长为3 的等腰直角三角形,高为4,所 以该三棱锥的体积为12,又外接球的直径2r为以三棱锥 的三个两两垂直的棱为长方体的对角线,即,2r= 所以球的体积为 , 所以点落在四面体内的概率为,2.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,有一动点在此长方体内随机运动,则此动点在三棱锥A-A1BD内的概率为_. 世纪金榜导学号37680327,【解析】 故所求概率为 答案:,考向三 与长度、角度有关的几何概型,【典例3】(1)某公司的班车在7:30
11、,8:00,8:30发车,小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车,且到达发车站的时刻是随机的,则他等车时间不超过10分钟的概率是 ( ),(2)如图,在等腰直角ABC中,过直角顶点C作射线CM交AB于点M,则使得AM小于AC的概率为_.,(3)(2017江苏高考)记函数f(x)= 的定义域为D.在区间-4,5上随机取一个数x,则xD的概率是_. 世纪金榜导学号37680328,【解析】(1)选B.如图所示,画出时间轴:小明到达的时间会随机地落在图中线段AB中,而当他到 达时间落在线段AC或DB时,才能保证他等车的时间不超 过10分钟,根据几何概型,所求概率P= .,(2)当AM=AC时
12、,ACM为以A为顶点的等腰三角 形,ACM= =67.5.当ACM67.5时,AMAC, 所以AM小于AC的概率P= 答案:,(3)由6+x-x20,即x2-x-60,得-2x3,根据几何 概型的概率计算公式得xD的概率是 . 答案:,【技法点拨】 长度、角度等测度的区分方法 (1)如果试验的结果构成的区域的几何度量可用长度表示,则把题中所表示的几何模型转化为长度,然后求解.解题的关键是构建事件的区域(长度).,(2)当涉及射线的转动、扇形中有关落点区域问题时,应以角度的大小作为区域度量来计算概率,且不可用线段的长度代替,这是两种不同的度量手段.,【同源异考金榜原创】 命题点1 以时间为载体,
13、与长度有关的几何概型 1.假设某公共汽车站每隔15分钟发一班车,并且发出前在车站停靠3分钟,则随机到达的乘客等车时间不超过10分钟的概率是_.,【解析】因为公共汽车站每隔15分钟有一辆汽车到达, 所以事件总数包含的时间为15分钟,又因为乘客到达车 站的时刻是任意的,且出发前在车站停靠3分钟,所以满 足一个乘客候车时间大于10分钟的事件包含的时间为 15-13=2分钟,故所求概率为 . 答案:,命题点2 与角度有关的几何概型 2.如图,四边形ABCD为矩形,AB= ,BC=1,以A为圆心,1 为半径作四分之一个圆弧DE,在DAB内任作射线AP,则 射线AP与线段BC有公共点的概率为_. 世纪金
14、榜导学号37680329,【解析】因为在DAB内任作射线AP,则等可能基本事 件为“DAB内作射线AP”,所以它的所有等可能事件 所在的区域是DAB,当射线AP与线段BC有公共点时,射 线AP落在CAB内,区域为CAB,所以射线AP与线段BC 有公共点的概率为 答案:,命题点3 以不等式的解集为载体,与长度有关的几何 概型 3.在0,a(a0)上随机抽取一个实数x,若x满足 0 的概率为 ,则实数a的值为_. 世纪金榜导学号37680330,【解析】由 0,得-1x2. 又x0,所以0x2. 所以满足0x2的概率为 ,得a=4. 答案:4,核心素养系列（五十九） 数学建模几何概型问题中的数学素
15、养以实际问题为背景,用一个或两个变量表示有关事件,进而转化为数轴上的点或平面内的点,用几何概型解决问题.,【典例】每个航班都有一个最早降落时间和最晚降落时间,在这个时间窗口内,飞机均有可能降落.甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点,如果它准点降落时间为上午10点40分,那么甲航班晚点的概率是_;,若甲乙两个航班在上午10点到11点之间共用一条跑道降落,如果两架飞机降落时间间隔不超过15分钟,则需要人工调度,在不考虑其他飞机起降的影响下,这两架飞机需要人工调度的概率是_.,【解析】甲航班降落的时间窗口为上午10点到11点,如 果它准点降落时间为上午10点40分,那么甲航班晚点的 概率是 ;,设甲乙两个航班到达的时间分别为(10+x)时、(10+y) 时,则0x1,0y1,若两架飞机降落时间间隔不超 过15分钟,则|x-y| ,正方形的面积为1,所求区域,为两直线x-y= ,x-y=- 之间的部分,其面积为1-= ,如图: 所以这两架飞机需要人工调度的概率是 . 答案:,
