1、第五章 数 列 第一节 数列的概念与简单表示法,【教材基础回顾】 1.数列的概念 (1)数列的定义:按照_排列的一列数称为数列, 数列中的每一个数叫做这个数列的_.,一定顺序,项,(2)数列与函数的关系:从函数观点看,数列可以看成以 正整数集N*(或它的有限子集1,2,n)为_的 函数an=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时 所对应的一列函数值.,定义域,(3)数列有三种表示法,它们分别是_、_ 和_.,列表法,图象法,解析法,2.数列的分类,有限,无限,3.数列的两种常用的表示方法 (1)通项公式:如果数列an的第n项与_之间的关 系可以用一个式子来表示,那么这个公式叫做这个数列
2、的通项公式.,序号n,(2)递推公式:如果已知数列an的第1项(或前几项), 且从第二项(或某一项)开始的任一项与它的前一项(或 前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式.,4.已知数列an的前n项和Sn,则,S1,S1-Sn-1,【金榜状元笔记】 1.一个重要关系 数列是一种特殊的函数,在研究数列问题时,既要注意函数方法的普遍性,又要考虑数列方法的特殊性.,2.两个特殊问题 (1)对于数列与周期性有关的题目,关键是找出数列的周期. (2)求数列最大项的方法: 利用数列an的单调性;,解不等式组 3.三种必会方法 (1)叠加法:对于an+1-an=f(n)型
3、,若f(1)+f(2)+f(n)的和是可求的,可用多式相加法求得an.,(2)叠乘法:对于 =f(n)型,若f(1)f(2)f(n)的积是可求的,可用多式相乘法求得an. (3)构造法:对an+1=pan+q型,构造等比数列,求得an.,【教材母题变式】 1.已知数列an的通项公式为an=9+12n,则在下列各数中,不是an的项的是 ( ) A.21 B.33 C.152 D.153,【解析】选C.由9+12n=21,得n=1N*; 由9+12n=33,得n=2N*; 由9+12n=152,得n= N*; 由9+12n=153,得n=12N*.,2.在数列an中,已知a1=1,an+1=4an
4、+1,则a3=_. 【解析】由题意知,a2=4a1+1=5,a3=4a2+1=21. 答案:21,3.数列1, 的一个通项公式an=_.,【解析】由已知得,数列可写成 故通项公式可以为an= . 答案:,4.(2014全国卷)数列an满足 ,a8=2,则 a1=_.,【解析】由an+1= ,得an= , 因为a8=2,所以a7=1- = , a6=1- =-1,a5=1- =2, 所以数列an是以3为周期的数列,所以a1=a7= . 答案:,【母题变式溯源】,考向一 数列通项公式的求法 【典例1】 (1)在数列an中,a1=2,an+1=an+ ,则an等于( ) A.2+ln n B.2+(
5、n-1)ln n C.2+nln n D.1+n+ln n,(2)已知数列an为 则数列 an的一个通项公式是_. (3)设an是首项为1的正项数列,且 =0(n=1,2,3,),则它的通项公式an=_. 世纪金榜导学号37680157,【解析】(1)选A.因为an+1-an= =ln(n+1)-ln n, 所以a2-a1=ln 2-ln 1, a3-a2=ln 3-ln 2, a4-a3=ln 4-ln 3, ,an-an-1=ln n-ln(n-1), 把以上各式分别相加得an-a1=ln n-ln 1, 即an=2+ln n.,【巧思妙解】选A.由an+1-an=ln(n+1)-ln n
6、得an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a2-a1)+a1 =ln n-ln(n-1)+ln(n-1)-ln(n-2)+ln 2-ln 1+2= ln n+2.,(2)各项的分母分别为21,22,23,24,易看出从第2项 起,每一项的分子都比分母少3,且第1项可变为 , 故原数列可变为 故其通项公式可以为an=(-1)n .,答案:an=(-1)n (3)因为(n+1) -n +an+1an=0, 所以(an+1+an)(n+1)an+1-nan=0, 又因为an0,故(n+1)an+1-nan=0,即,把以上各式分别相乘得 ,即an= . 答案:,【一题多变】若将本例(1)中
7、的条件“a1=2,an+1= an+ ”换为“a1=1,an+1-an=n+1”,如何求an?,【解析】因为an+1-an=n+1, 所以a2-a1=2, a3-a2=3, a4-a3=4,a5-a4=5, an-an-1=n, 把以上各式分别相加得an-a1= , 即an= .,【技法点拨】 1.由前几项归纳数列通项公式的常用方法及具体策略 (1)常用方法:观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.,(2)具体策略:分式中分子、分母的特征; 相邻项的变化特征; 各项的符号特征和绝对值特征; 对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破,或寻
8、 找分子、分母之间的关系; 对于符号交替出现的情况,可用(-1)k或(-1)k+1, kN*处理.,2.由递推关系式求通项公式的常用方法 (1)已知a1且an-an-1=f(n),可用“累加法”求an,即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+(a3-a2)+(a2-a1)+a1(n2).,(2)已知a1且 =f(n),可用“累乘法”求an,即an= (n2).,【拓展】(1)an+1=pan+q(p0,1,q0)的求解方法是: 设an+1+=p(an+),即an+1=pan+p-,与an+1=pan+q 比较即可知只要= .,(2)an+1=pan+qpn+1(p0,1,q0)的求
9、解方法是两端 同时除以pn+1,即得 ,数列 为等差数列. 提醒 :对于有些递推公式要注意参数的限制条件.,【同源异考金榜原创】 1.数列an的前4项是 则这个数列的一个通 项公式是an=_.,【解析】数列可以看作 分母可以看作 12+1,22+1,32+1,42+1,第n项分母为n2+1;分子可以 看作21+1,22+1,23+1,24+1,第n项分子为 2n+1,故an= . 答案:,2.已知数列an的第一项a1=1,且an+1= (n=1,2,),则这个数列的通项公式an=_. 世纪金榜导学号37680158,【解析】两边取倒数得 故 是以1为首项, 公差为1的等差数列,故 答案:,考向
10、二 an与Sn关系式的应用 【典例2】(1)已知数列an的前n项和Sn=n2-3,则 an=_. (2)(2015全国卷改编)设Sn是数列an的前n项和, 且a1=-1,an+1=SnSn+1,求an. 世纪金榜导学号37680159,【解析】(1)当n=1时,a1=S1=-2, 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1. 经检验a1=-2不适合an=2n-1, 故an= 答案:,(2)由已知得an+1=Sn+1-Sn=Sn+1Sn,两边同时除以Sn+1Sn, 得 故数列 是以-1为首项,-1为公差的 等差数列,则 =-1-(n-1)=-n,所以Sn=- . 当n2时,an
11、=Sn-Sn-1= 故,【答题模板微课】本例(1)的求解过程可模板化为: 建模板:当n=1时,a1=S1=-2,求首项 当n2时,an=Sn-Sn-1=n2-(n-1)2=2n-1, 作差求通项,经检验a1=-2不适合an=2n-1, 检验 故 结论 套模板:已知数列an的前n项和Sn=n2+2n+1,则an=_.,【解析】当n=1时,a1=S1=1+2+1=4, 求首项 当n2时,an=Sn-Sn-1=2n+1, 作差求通项 经检验a1=4不适合an=2n+1, 检验 故 结论 答案:,【技法点拨】 1.已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1=S1求出a1. (2)用n-1替换Sn中的n
12、得到一个新的关系,利用an= Sn-Sn-1(n2)便可求出当n2时an的表达式. (3)注意检验n=1时的表达式是否可以与n2的表达式 合并.,2.Sn与an关系问题的求解思路 根据所求结果的不同要求,将问题向不同的两个方向转化.,(1)利用an=Sn-Sn-1(n2)转化为只含Sn,Sn-1的关系式,再求解. (2)利用Sn-Sn-1=an(n2)转化为只含an,an-1的关系式,再求解.,【同源异考金榜原创】 1.若数列an的前n项和为Sn,且满足Sn= an-3,则数列 an的通项公式是_.,【解析】令n=1,a1= a1-3,得a1=6. 由于Sn= an-3 , 当n2时,Sn-1
13、= an-1-3 , -得:an= an- an-1,则 =3,数列an是以6为首 项,以3为公比的等比数列,故数列an的通项公式为 an=63n-1=23n.,答案:an=23n,2.已知数列an的前n项和为Sn,若S2=4,an+1=2Sn+1, nN*,求an.,【解析】因为an+1=2Sn+1, 令n=1得a2=2S1+1, 即a2=2a1+1,又a1+a2=4,故a1=1,a2=3, 又当n2时,an=2Sn-1+1, -得an+1=3an(n2),又a2=3a1,故数列an是以1为首项,3为公比的等比数列, 因此an=3n-1(nN*).,考向三 数列的性质及应用,【典例3】(1)
14、已知an= ,那么数列an是 ( ) A.递减数列 B.递增数列 C.常数列 D.摆动数列,(2)数列an满足 则数列的 第2 018项为_. (3)已知数列an的通项公式an= 则数列an 的项取最大值时,n=_. 世纪金榜导学号37680160,【解析】(1)选B.因为函数f(x)= 在(0,+)上是增函数,故数列an是递增数列. (2)因为a1= ,故a2=2a1-1= ,a3=2a2= , a4=2a3= ,a5=2a4-1= ,a6=2a5-1= ,a7=2a6= ,故数列an是周期数列且周期为4,故a2 018=a5044+2= a2= .,答案: (3)由题意得,假设an是数列a
15、n的项且取最大值,则 an+1an且an-1an,即(n+3) (n+2) 且 (n+1) (n+2) ,即(n+3) n+2且n+1(n+2) ,即4n5,因为n 是整数,所以n=4或n=5. 答案:4或5,【技法点拨】 1.解决数列的单调性问题可用以下三种方法 (1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列an是递增数列、递减数列或是常数列.,(2)用作商比较法,根据 (an0或an0)与1的大小关 系进行判断. (3)结合相应函数的图象直观判断.,2.解决数列周期性问题的方法 先根据已知条件求出数列的前几项,确定数列的周期, 再根据周期性求值.,【同源异考金榜原创】 命题点1 数列
16、的单调性问题 1.设数列an,an= ,其中a,b,c均为正数,则此 数列 ( ) A.递增 B.递减 C.先增后减 D.先减后增,【解析】选A.因为 而函数f(x)= (a0,b0,c0),在(0,+)上是增函数,故数列an是 递增数列.,命题点2 数列的周期性问题 2.若数列an满足a1=2,a2=3,an= (n3且nN*),则a2 018= 世纪金榜导学号37680161( ) A.3 B.2 C. D.,【解析】选A.因为由此可知an是周期 为6的周期数列,故a2 018=a3366+2=a2=3.,命题点3 数列中项的最值问题 3.数列an中,an=-2n2+29n+3,则此数列最
17、大项的值是 世纪金榜导学号37680162( ) A.103 B.108 C.103 D.108,【解析】选D.因为an=-2n2+29n+3=-2 + , 故n=7时,an最大,且a7=-272+297+3=108.,核心素养系列（二十九） 逻辑推理数列的定义与简单表示法的核心素养逻辑推理是指从一些事实和命题出发,依据逻辑规 则推出一个命题的思维过程.主要包括两类:一类是从 特殊到一般或特殊到特殊的推理,推理形式主要有归纳 与类比;另一类是从一般到特殊的推理,推理形式主要 有演绎.,【典例】已知数列an的前n项和Sn=n2an(n2),且a1=1,通过计算a2,a3,猜想an等于 ( ),【解析】选B.因为Sn=n2an,所以an+1=Sn+1-Sn=(n+1)2an+1 -n2an, 故an+1= an, 当n=2时,a1+a2=4a2,a1=1,所以a2= . 所以a1=1= , a2= ,由此可猜想an=,
