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教师用书配套课件高中数学4.3.ppt

上传人:eco 文档编号:4953874 上传时间:2019-01-26 格式:PPT 页数:78 大小:3.96MB
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资源描述

1、第三节 平面向量的数量积及应用举例,【教材基础回顾】 1.两个向量的夹角,AOB,0,180,ab,=90,2.向量的数量积 (1)平面向量的数量积(内积)的定义ab= (是a与b的夹角). (2)向量数量积的性质 如果e是单位向量,则ae=ea =_;,|a|cos (是a与e的夹角),ab_;aa=_,|a|= 若a,b的夹角为,则cos = (_); |ab|_|a|b|.,ab=0,|a|2,|a|b|0,(3)数量积的运算律 交换律:ab=_; 分配律:(a+b)c=_; 对R,(ab)=_=_.,ba,ac+bc,(a)b,a(b),(4)数量积的坐标运算 设a=(a1,a2),b

2、=(b1,b2),则ab=_; ab_; |a|=_;若a,b的夹角为, 则cos =,a1b1+a2b2,a1b1+a2b2=0,【金榜状元笔记】 1.向量的夹角问题 “向量a与b的夹角为钝角”等价于“ab0且a,b不共线”,2.向量投影 |a|cos (|b|cos )(是a与b的夹角)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影. 3.数量积运算律 向量数量积运算不满足: (ab)c=a(bc),4.几个结论,对于向量a,b (a+b)2=a2+2ab+b2; (a+b)(a-b)=a2-b2; a,b同向时,ab=|a|b|, a,b反向时,ab=-|a|b|.,【教材母题变式】 1.已

3、知平面上直线l的方向向量e= 点O(0,0)和 点A(1,-2)在l上的射影分别为O和A,则 =e, 其中= ( ),【解析】选D.由数量积的几何意义及坐标运算得,2.已知ab= |a|=4,a和b的夹角为135, 则|b|为 ( ) A.12 B.6 C. D.3 【解析】选B.ab=|a|b|cos 135= 所以|b|=,3.已知向量a= b是不平行于x轴的单位向量, 且ab= 则b= ( ),【解析】选B.设b=(x,y)(y0),则依题意有解得 (舍去),所以b=,4.(2017全国卷)已知ABC是边长为2的等边三角 形,P为平面ABC内一点,则 的最小值是( ),【解析】选B.取B

4、C的中点D,以BC为x轴,BC的垂直平分 线AD为y轴,D为坐标原点建立坐标系,则A(0, ), B(-1,0),C(1,0),设P(x,y),所以 =(-x, -y),=(-1-x,-y), =(1-x,-y),所以 =(-2x, -2y), =2x2-2y( -y)=,当 时, 取得最小值, 最小值为,【母题变式溯源】,考向一 平面向量的数量积的概念及运算 【典例1】(1)对于向量a,b,c和实数,下列命题中真 命题是 ( ) A.若ab=0,则a=0或b=0 B.若a=0,则=0或a=0 C.若a2=b2,则a=b或a=-b D.若ab=ac,则b=c,(2)设a=(1,2),b=(1,

5、1),c=a+kb.若bc,则实数k的 值等于 ( ),(3)在ABC中,A=60,AB=3,AC=2.若且 =-4,则的值为 _. 世纪金榜导学号37680144,【解析】(1)选B.对于A,因为当两个向量都是非零向量时,也可以有数量积为零,所以A错误;对于B,当实数0,且向量a是非零向量时,a是非零向量,所以B是正确的;对于C,因为由a2=b2说明两个向量的模相等,但是不一定共线,所以C错误;对于D,因为数量积不满足消去律,所以D错误.,(2)选A.c=a+kb=(1,2)+k(1,1)=(1+k,2+k),因为bc, 所以bc=0,bc=(1,1)(1+k,2+k)=1+k+2+k=3+

6、2k=0, 所以k=,(3)如图,又 =32cos 60=3, 所以 解得= 答案:,【一题多解微课】本例题(3)还可以采用以下方法求解: 【解析】以A为原点,AB所在的直线为x轴建立平面直角 坐标系,如图,因为AB=3,AC=2,A=60,所以B(3,0),C(1, ),又 所以 所以,而 因此 解得= 答案:,【技法点拨】 计算向量数量积的三个角度 (1)定义法:已知向量的模与夹角时,可直接使用数量积的定义求解,即ab=|a|b|cos (是a与b的夹角). (2)基向量法:计算由基底表示的向量的数量积时,应用相应运算律,最终转化为基向量的数量积,进而求解.,(3)坐标法:若向量选择坐标形

7、式,则向量的数量积可应用坐标的运算形式进行求解.,【同源异考金榜原创】 1.已知向量a=(x,2),b=(2,1),c=(3,x),若ab,则ac= ( ) A.4 B.8 C.12 D.20,【解析】选D.根据题意,向量a=(x,2),b=(2,1),若ab,则有x=22=4, 即a=(4,2),c=(3,4),则ac=43+24=20.,2.已知锐角三角形ABC, 则 的取值范围是_. 世纪金榜导学号37680145,【解析】因为 所以 则 于是 即 =24+4-34cos =12(1-cos ), 因为ABC是锐角三角形,所以,于是12(1-cos )(0,12),即 的取值范围 是(0

8、,12). 答案:(0,12),考向二 解决有关向量的长度、夹角、平行、垂直问题 【典例2】(1)若非零向量a,b满足 且(a-b)(3a+2b),则a与b的夹角为 ( ),(2)已知非零向量m,n满足4|m|=3|n|,cos= 若n与tm-n夹角为钝角,则实数t的取值范围是 ( ) A.t4 B.t4且t0 C.t4 D.t4且t0,(3)已知a,b是平面内两个互相垂直的单位向量,若向量c满足(a-c)(b-c)=0,则|c|的最大值是 ( ),【解析】(1)选A.设a与b的夹角为,|a|= 因为(ab)(3a+2b), 所以(ab)(3a+2b)=3|a|22|b|2ab=解得cos =

9、 因为0,,所以=,(2)选B.n与tm-n夹角为钝角等价于n(tm-n)0 且n与tm-n不共线, 所以tmn-n20且t0, 即t n2 -n20,且t0, 解得t4且t0.,【误区警示】此题易忽略“n与tm-n不共线”,若只解n(tm-n)0,其中也包含了n与tm-n夹角为的情况.需理解“a,b夹角为钝角”等价于“a,b0且a,b不共线”的含义.,(3)选C.设a=(1,0),b=(0,1),c=(x,y),则(a-c)(b-c) =0,即(1-x,-y)(-x,1-y)=0, 整理得 这是一个圆心坐标为 半径为 的圆,所求的值等价于这个圆上的点到坐标 原点的最大距离.根据图形可知,这个

10、最大距离是 即所求的最大值为,【技法点拨】 1.求向量的模的方法 (1)公式法:利用|a|= 及(ab)2=|a|22ab+ |b|2,把向量模的运算转化为数量积运算.,(2)几何法:利用向量的几何意义,即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量,再利用余弦定理等方法求解.,2.求向量模的最值(范围)的方法 (1)代数法:把所求的模表示成某个变量的函数,再用求最值的方法求解. (2)几何法(数形结合法):弄清所求的模表示的几何意义,结合动点表示的图形求解. 提醒:求两向量的夹角时,要注意0,.,【同源异考金榜原创】 1.已知向量a=(1,2),b=(2,-3).若向量c满足(c+a

11、)b,c(a+b),则c= ( ),【解析】选D.设c=(m,n),则a+c=(1+m,2+n),a+b=(3, -1),因为(c+a)b,则有-3(1+m)=2(2+n);又c(a+b), 则有3m-n=0,解得 所以c=,2.已知e1,e2是平面单位向量,且e1e2= .若平面 向量b满足be1=be2=1,则|b|=_. 世纪金榜导学号37680146,【解析】由题可知,不妨设e1=(1,0),e2= 设b=(x,y),则be1=x=1,be2= =1, 所以b= 所以|b|= 答案:,考向三 向量数量积的综合应用高频考点,【典例3】(1)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且 A

12、BBC.若点P的坐标为(2,0),则 的最大值为 ( ) A.6 B.7 C.8 D.9,(2)如图,在ABC中,O为BC中点,若AB=1,AC=3, 的夹角为60,则 =_.,(3)在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知 向量 且2mn+|m|= 世纪金榜导学号37680147 求角A的大小. 求ABC的面积S.,【解析】(1)选B.由A,B,C在圆x2+y2=1上,且ABBC, 知线段AC为圆的直径,设圆心为O,故 设B(a,b),则a2+b2=1且a-1,1, =(a-2,b),所以=(a-6,b). 故 所以当a=-1时,此式有最大值 =7.,答案:,(3)因为2mn=

13、 =sin A-(cos A+1)= 又|m|=1, 所以2mn+|m|= 即,因为0A,所以 所以 即A=,因为 =bccos A=1,所以bc= 又sin A= 所以ABC的面积S=,【技法点拨】 1.向量在平面几何中的应用 用平面向量解决平面几何问题时,常常建立平面直角坐标系,这样可以使向量的运算更简便一些.在解决这类问题时,共线向量定理和平面向量基本定理起主导作用.,2.向量在解析几何中的作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题时关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.

14、,(2)工具作用:利用abab=0;aba=b(b0),可解决垂直、平行问题,特别是向量垂直、平行的坐标表示在解决解析几何中的垂直、平行问题时经常用到.,3.向量与三角的综合应用 解决这类问题的关键是应用向量知识将问题准确转化为三角问题,再利用三角知识进行求解.,【同源异考金榜原创】 命题点1 向量在解析几何中的应用 1.设O(0,0),A(1,0),B(0,1),点P是线段AB上的一个动 点, 若 则实数的取值范围 是 世纪金榜导学号37680148( ),【解析】选B.因为 =(1-,), 所以(1-,) (-1,1)(,-)(-1,1-),所以22-4+10, 解得 因为点P是线段AB上

15、的一个动点, 所以01,即满足条件的实数的取值范围是 1- 1.,命题点2 向量在平面几何中的应用 2.已知O,N,P在ABC所在平面内,且且 则点 O,N,P依次是ABC的 ( ) 世纪金榜导学号37680149,A.重心 外心 垂心 B.重心 外心 内心 C.外心 重心 垂心 D.外心 重心 内心 (注:三角形的三条高线交于一点,此点为三角形的垂心),【解析】选C.由 知,O为ABC的外心; 由 知,N为ABC的重心;因为所以 所以 =0, 所以 即CAPB,同理APBC,CPAB,所以P为 ABC的垂心.,命题点3 向量与三角函数的综合应用 3.已知a,b,c为ABC的三个内角A,B,C

16、的对边,向量 m=( ,-1),n=(cos A,sin A).若mn,且acos B+ bcos A=csin C,则角A,B的大小分别为 ( ) 世纪金榜导学号37680150,【解析】选C.由mn得mn=0,即 cos A-sin A=0, 即 因为 所以 即A= 又acos B+bcos A=2Rsin Acos B+2Rsin Bcos A =2Rsin(A+B)=2Rsin C=c(R为ABC外接圆半径),且acos B+bcos A=csin C, c=csin C, 所以sin C=1,又C(0,),所以C= 所以,核心素养系列(二十七) 数学运算平面向量运算中的核心素养在新的

17、运算背景下,准确理解运算对象至关重要.在准确理解的基础上,结合已有的数学运算法则,运用准确的推理方法,得到正确的数学结果.,【典例】设a,b为非零向量,|b|=2|a|,两组向量x1,x2,x3,x4和y1,y2,y3,y4均由2个a和2个b排列而成.若 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4所有可能取值中的最小值为4|a|2,则a与b的夹角为 ( ),【解析】选B.aa=|a|2,bb=|b|2=4|a|2,设a与b的 夹角为,则ab=|a|b|cos =2|a|2cos . 若xiyi(i=1,2,3,4)中2个a均与a相乘,则x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=a2+a2+b2+b2

18、=10|a|2;,若xiyi(i=1,2,3,4)中仅有一个a与a相乘,则 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=a2+b2+2ab=5|a|2+ 4|a|2cos ; 若xiyi(i=1,2,3,4)中的a均不与a相乘,则 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4=4ab=8|a|2cos .,因为5|a|2+4|a|2cos -8|a|2cos =5|a|2- 4|a|2cos =|a|2(5-4cos )0,所以5|a|2 4|a|2cos 得5|a|2+4|a|2cos 8|a|2cos ,即 x1y1+x2y2+x3y3+x4y4,所有可能取值中的最小 值为8|a|2cos ,依题意得8|a|2cos =4|a|2,从 而cos = ,又0,故=,

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