1、立体几何,第八章,第8讲 立体几何中的向量方法(二),【考纲导学】 1能用向量方法解决直线与直线，直线与平面，平面与平面的夹角的计算问题 2了解向量方法在研究立体几何问题中的应用,栏目导航,课前 基础诊断,1已知两平面的法向量分别为m(0,1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角的大小为( ) A45 B135 C45或135 D90 【答案】C,5(2017年郑州预测)过正方形ABCD的顶点A作线段PA平面ABCD，若ABPA，则平面ABP与平面CDP所成的锐二面角为_ 【答案】45,1利用向量求角，一定要注意将向量夹角转化为各空间角因为向量夹角与各空间角的定义、范围不同 2求二面角
2、要根据图形确定所求角是锐角还是钝角,课堂 考点突破,求异面直线所成的角,【规律方法】(1)向量法求异面直线所成的角的两种方法 基向量法：利用线性运算 坐标法：利用坐标运算 (2)向量的夹角与异面直线所成角的区别 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是此异面直线所成的角；当异面直线的方向向量的夹角为钝角时，其补角才是异面直线所成的角,利用向量求直线与平面所成的角,(2016年新课标)如图所示，四棱锥PABCD中，PA底面ABCD，ADBC，ABADAC3，PABC4，M为线段AD上一点，AM2MD，N为PC的中点 (1)证明：MN平面PAB； (2)求直线AN与平面PMN所成角的正弦值,
3、【规律方法】利用平面的法向量求线面角的注意点 (1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角(钝角时取其补角)，取其余角即为所求 (2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2cos21求出其值不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所夹角的余弦值为所求,【跟踪训练】 2(2016年天津)如图所示，正方形ABCD的中心为O，四边形OBEF为矩形，平面OBEF平面ABCD，点G为AB的中点，ABBE2. (1)求证：EG平面ADF； (2)求二面角OEFC的正弦值；,利用空间向量求二面角,(2017年商丘模拟)如图所示，在三棱柱ABCA1B1C1中，B1BB1AABBC，B1BC90，D为
4、AC的中点，ABB1D (1)求证：平面ABB1A1平面ABC； (2)求直线B1D与平面ACC1A1所成角的正弦值； (3)求二面角BB1DC的余弦值,【解析】(1)证明：取AB中点为O，连接OD，OB1， B1BB1A，B1OAB 又ABB1D，B1OB1DB1， AB平面B1OD OD平面B1OD，ABOD B1BC90，即BCBB1， 又ODBC，ODBB1. 又ABBB1B，OD平面ABB1A1. 又OD平面ABC，平面ABB1A1平面ABC,【规律方法】利用向量求二面角的方法 (1)分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合
5、实际图形判断所求角是锐角还是钝角 (2)分别在二面角的两个平面内找到与棱垂直且以垂足出发的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小,【跟踪训练】 3(2017年新课标)如图，四面体ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角三角形，ABDCBD，ABBD(1)求证：平面ACD平面ABC； (2)过AC的平面交BD于点E，若平面AEC把四面体ABCD分成体积相等的两部分，求二面角DAEC的余弦值,课后 感悟提升,2个关系异面直线所成的角及二面角与向量夹角的关系 (1)异面直线所成角与向量夹角的关系 当异面直线的方向向量的夹角为锐角或直角时，就是该异面直线的夹角；当异面直线的方向向量的夹角
6、为钝角时，其补角才是异面直线的夹角,1(2017年新课标)如图，在四棱锥PABCD中，ABCD，且BAPCDP90.(1)求证：平面PAB平面PAD； (2)若PAPDABDC，APD90，求二面角APBC的余弦值,【解析】(1)证明：由已知BAPCDP90，得ABAP，CDPD 由于ABCD ，故ABPD .又PD平面PAD，PA平面PAD，PAPDP，从而AB平面PAD 又AB 平面PAB，所以平面PAB平面PAD (2)在平面PAD内作PFAD，垂足为F， 由(1)可知，AB平面PAD， 故ABPF，可得PF平面ABCD,【解析】(1)因为APBE，ABBE，AB，AP平面ABP，ABAPA，所以BE平面ABP. 又BP平面ABP，所以BEBP. 又EBC120，因此CBP30. (2)以B为坐标原点， 分别以BE，BP，BA所在的直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系,配 套 训 练,完,谢 谢 观 看,
