1、2.1.2 演绎推理,第二章 2.1 合情推理与演绎推理,学习目标,1.理解演绎推理的意义. 2.掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理. 3.了解合情推理和演绎推理之间的区别和联系.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 演绎推理,思考 分析下面几个推理，找出它们的共同点. (1)所有的金属都能导电，铀是金属，所以铀能够导电； (2)一切奇数都不能被2整除，(21001)是奇数，所以(21001)不能被2整除. 答案 问题中的推理都是从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理叫演绎推理.,梳理 演绎推理的概念,某个特殊情况下,一般到特殊,
2、思考 所有的金属都能导电，铜是金属，所以铜能导电，这个推理可以分为几段？每一段分别是什么？ 答案 分为三段. 大前提：所有的金属都能导电. 小前提：铜是金属. 结论：铜能导电.,知识点二 三段论,梳理 三段论的基本模式,已知的一般原理,所研究的特殊情况,1.演绎推理的结论一定正确.( ) 2.在演绎推理中，大前提描述的是一般性原理，小前提描述的是大前提里的特殊情况，结论是根据一般性原理对特殊情况做出的判断.( ) 3.大前提和小前提都正确，推理形式也正确，则所得结论是正确的. ( ),思考辨析 判断正误,题型探究,类型一 演绎推理与三段论,例1 将下列演绎推理写成三段论的形式. 平行四边形的对
3、角线互相平分，菱形是平行四边形，所以菱形的对角线互相平分；,解 平行四边形的对角线互相平分， 大前提 菱形是平行四边形， 小前提 菱形的对角线互相平分. 结论,解答,等腰三角形的两底角相等，A，B是等腰三角形的两底角，则AB；,解 等腰三角形的两底角相等， 大前提 A，B是等腰三角形的两底角， 小前提 AB. 结论,解答,通项公式为an2n3的数列an为等差数列.,解 在数列an中，如果当n2时，anan1为常数，则an为等差数列，大前提 当通项公式为an2n3时，若n2， 则anan12n32(n1)32(常数)， 小前提 通项公式为an2n3的数列an为等差数列. 结论,解答,反思与感悟
4、用三段论写推理过程时，关键是明确大、小前提，三段论中的大前提提供了一个一般性的原理，小前提指出了一种特殊情况，两个命题结合起来，揭示了一般原理与特殊情况的内在联系.有时可省略小前提，有时甚至也可把大前提与小前提都省略，在寻找大前提时，可找一个使结论成立的充分条件作为大前提.,跟踪训练1 下面四个推导过程符合演绎推理三段论形式且推理正确的是 A.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无理数；结论：是无限不循环小数 B.大前提：无限不循环小数是无理数；小前提：是无限不循环小数；结论：是无理数 C.大前提：是无限不循环小数；小前提：无限不循环小数是无理数；结论：是无理数 D.大前提：是无限不循环
5、小数；小前提：是无理数；结论：无限不循环小数是无理数,解析,答案,解析 对于A，小前提与大前提间逻辑错误，不符合演绎推理三段论形式； 对于B，符合演绎推理三段论形式且推理正确； 对于C，大小前提颠倒，不符合演绎推理三段论形式； 对于D，大小前提及结论颠倒，不符合演绎推理三段论形式.,类型二 演绎推理的应用,证明,命题角度1 证明几何问题 例2 如图，D，E，F分别是BC，CA，AB上的点，BFDA，DEBA，求证：EDAF，写出三段论形式的演绎推理.,证明 因为同位角相等，两直线平行， 大前提 BFD与A是同位角，且BFDA， 小前提 所以FDAE. 结论 因为两组对边分别平行的四边形是平行四
6、边形， 大前提 DEBA，且FDAE， 小前提 所以四边形AFDE为平行四边形. 结论 因为平行四边形的对边相等， 大前提 ED和AF为平行四边形AFDE的对边， 小前提 所以EDAF. 结论,反思与感悟 (1)大前提的正确性：几何证明往往采用演绎推理，它往往不是经过一次推理就能完成的，常需要几次使用演绎推理，每一个推理都暗含着大、小前提，前一个推理的结论往往是下一个推理的前提，在使用时不仅要推理的形式正确，还要前提正确，才能得到正确的结论. (2)大前提可省略：在几何证明问题中，每一步都包含着一般原理，都可以分析出大前提和小前提，将一般原理应用于特殊情况，就能得出相应结论.,跟踪训练2 已知
7、：在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，如图所示，求证：EF平面BCD.,证明,证明 因为三角形的中位线平行于底边， 大前提 点E，F分别是AB，AD的中点， 小前提 所以EFBD. 结论 若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行， 大前提 EF平面BCD，BD平面BCD，EFBD， 小前提 所以EF平面BCD. 结论,命题角度2 证明代数问题 例3 设函数f(x) ，其中a为实数，若f(x)的定义域为R，求实数a的取值范围.,解答,解 若函数对任意实数恒有意义，则函数定义域为R， 大前提 因为f(x)的定义域为R， 小前提 所以x2axa0恒成立. 结论 所
8、以a24a0，所以0a4. 即当0a4时，f(x)的定义域为R.,引申探究 若本例的条件不变，求f(x)的单调递增区间.,解答,由f(x)0，得x0或x2a. 00. 在(，0)和(2a，)上，f(x)0. f(x)的单调递增区间为(，0)，(2a，). 当a2时，f(x)0恒成立， f(x)的单调递增区间为(，).,当20， f(x)的单调递增区间为(，2a)，(0，). 综上所述，当0a2时，f(x)的单调递增区间为(，0)，(2a，)； 当a2时，f(x)的单调递增区间为(，)； 当2a4时，f(x)的单调递增区间为(，2a)，(0，).,反思与感悟 应用演绎推理解决的代数问题 (1)函
9、数类问题：比如函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性等. (2)导数的应用：利用导数研究函数的单调区间，求函数的极值和最值，证明与函数有关的不等式等. (3)三角函数的图象与性质. (4)数列的通项公式、递推公式以及求和，数列的性质. (5)不等式的证明.,证明,证明 方法一 (定义法) 任取x1，x2(1，)，且x1x2，,因为x2x10，且a1，所以 1， 而10，x210， 所以f(x2)f(x1)0， 所以f(x)在(1，)上为增函数. 方法二 (导数法),又因为a1，所以ln a0，ax0， 所以axln a0，所以f(x)0.,达标检测,1.下面几种推理过程是演绎推理的是 A.两条直
10、线平行，同旁内角互补，如果A与B是两条平行直线的同旁内角，则AB180 B.某校高三1班有55人，2班有54人，3班有52人，由此得高三所有班人数超过50人 C.由平面三角形的性质，推测空间四边形的性质,公式,1,2,3,4,解析,答案,1,2,3,4,解析 A是演绎推理， B，D是归纳推理， C是类比推理.,1,2,3,4,2.指数函数yax(a1)是R上的增函数，y2|x|是指数函数，所以y2|x|是R上的增函数.以上推理 A.大前提错误 B.小前提错误 C.推理形式错误 D.正确 解析 此推理形式正确，但是，函数y2|x|不是指数函数，所以小前提错误，故选B.,解析,答案,3.把“函数y
11、x2x1的图象是一条抛物线”恢复成三段论，则大前提：_； 小前提：_； 结论：_.,1,2,3,4,答案,二次函数的图象是一条抛物线 函数yx2x1是二次函数 函数yx2x1的图象是一条抛物线,证明,4.设m为实数，利用三段论证明方程x22mxm10有两个相异实根. 证明 因为如果一元二次方程ax2bxc0(a0)的判别式b24ac0，那么方程有两个相异实根. 大前提 方程x22mxm10的判别式 4m24(m1)4m24m4 (2m1)230， 小前提 所以方程x22mxm10有两个相异实根. 结论,1,2,3,4,1.应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，但为了叙述的简洁，如果前提是显然的，则可以省略. 2.合情推理是由部分到整体，由个别到一般的推理或是由特殊到特殊的推理；演绎推理是由一般到特殊的推理. 3.合情推理与演绎推理是相辅相成的，数学结论、证明思路等的发现主要靠合情推理；数学结论、猜想的正确性必须通过演绎推理来证明.,规律与方法,
