1、第二篇 重点专题分层练，中高档题得高分,第21练 圆锥曲线中的范围、最值、证明问题压轴大题突破练,明晰考情 1.命题角度：直线与圆锥曲线的位置关系是高考必考题，范围、最值问题是高考的热点；圆锥曲线中的证明问题是常见的题型. 2.题目难度：中高档难度.,栏目索引,核心考点突破练,模板答题规范练,考点一 直线与圆锥曲线,方法技巧 对于直线与圆锥曲线的位置关系问题，一般要把圆锥曲线的方程与直线方程联立来处理. (1)设直线方程，在直线的斜率不确定的情况下要分斜率存在和不存在两种情况进行讨论，或者将直线方程设成xmyb(斜率不为0)的形式. (2)联立直线方程与曲线方程并将其转化成一元二次方程，利用方
2、程根的判别式或根与系数的关系得到交点的横坐标或纵坐标的关系. (3)一般涉及弦长的问题，要用到弦长公式|AB|,核心考点突破练,解答,1.(2018哈尔滨模拟)已知F是椭圆 1的右焦点，过F的直线l与椭圆相交于A(x1，y1)，B(x1，y2)两点. (1)若x1x23，求弦AB的长；,解 由题意可知过F的直线l斜率存在，设直线l的方程为yk(x2)，,解答,(2)O为坐标原点，AOB，满足 ，求直线l的方程.,由题意知，l的斜率不为0，故设直线l的方程为xmy2，,解答,2.(2017全国)设A，B为曲线C：y 上两点，A与B的横坐标之和为4. (1)求直线AB的斜率；,解 设A(x1，y1
3、)，B(x2，y2)，,解答,(2)设M为曲线C上一点，C在M处的切线与直线AB平行，且AMBM，求直线AB的方程.,设直线AB的方程为yxm，故线段AB的中点为N(2,2m)，|MN|m1|.,解得m7或m1(舍). 所以直线AB的方程为xy70.,(1)求椭圆的方程和抛物线的方程；,解 设点F的坐标为(c，0)，,解答,解答,(2)设l上两点P，Q关于x轴对称，直线AP与椭圆相交于点B(点B异于点A)，直线BQ与x轴相交于点D.若APD的面积为 求直线AP的方程.,考点二 圆锥曲线中的范围、最值问题,方法技巧 求圆锥曲线中范围、最值的主要方法 (1)几何法：若题目中的条件和结论能明显体现几
4、何特征和意义，则考虑利用图形性质数形结合求解. (2)代数法：若题目中的条件和结论能体现一种明确的函数关系，或者不等关系，或者已知参数与新参数之间的等量关系等，则利用代数法求参数的范围.,解答,(1)求椭圆C的方程；,解答,(2)直线l的斜率为 ，直线l与椭圆C交于A，B两点，求PAB面积的最大值.,判别式164m20，即m24. 又x1x22m，x1x22m24，,当且仅当m22时上式等号成立，且满足0， 故PAB面积的最大值为2.,解答,(1)求E的方程；,解答,(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点，当OPQ的面积最大时，求l的方程.,解 当lx轴时不合题意， 故设l：ykx2，P
5、(x1，y1)，Q(x2，y2).,得(14k2)x216kx120. 当16(4k23)0，,解答,6.如图所示，设抛物线y22px(p0)的焦点为F，抛物线上的点A到y轴的距离等于|AF|1. (1)求p的值；,解 由题意可得，抛物线上点A到焦点F的距离等于点A到直线x1的距离，由抛物线的定义得 1，即p2.,解答,(2)若直线AF交抛物线于另一点B，过B与x轴平行的直线和过F与AB垂直的直线交于点N，AN与x轴交于点M，求M的横坐标的取值范围.,解 由(1)得，抛物线方程为y24x，F(1,0)， 可设A(t2，2t)，t0，t1，B(xB，yB). AF不垂直于y轴，可设直线AF：xs
6、y1(s0)，,经检验知，m2满足题意. 综上，点M的横坐标的取值范围是(，0)(2，).,考点三 圆锥曲线中的证明问题,方法技巧 圆锥曲线中的证明问题是转化与化归思想的充分体现.无论证明什么结论，要对已知条件进行化简，同时对要证结论合理转化，寻求条件和结论间的联系，从而确定解题思路及转化方向.,解答,7.(2018全国) 设椭圆C： y21的右焦点为F，过F的直线l与C交于A，B两点，点M的坐标为(2，0). (1)当l与x轴垂直时，求直线AM的方程；,解 由已知得F(1，0)，l的方程为x1.,又M(2，0)，,证明,(2)设O为坐标原点，证明：OMAOMB.,证明 当l与x轴重合时，OM
7、AOMB0. 当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线， 所以OMAOMB. 当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为 yk(x1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，,由题意知0恒成立，,从而kMAkMB0， 故MA，MB的倾斜角互补. 所以OMAOMB. 综上，OMAOMB.,解答,(1)求椭圆C的方程；,因为a2b2c2，解得a2，b1，,证明,(2)设B1，B2分别是椭圆C的下顶点和上顶点，P是椭圆上异于B1，B2的任意一点，过点P作PMy轴于M，N为线段PM的中点，直线B2N与直线y1交于点D，E为线段B1D的中点，O为坐标原点，求证：ONEN.,又B1(0，1)，E为线段
8、B1D的中点，,9.(2017北京)已知抛物线C：y22px过点P(1,1)，过点 作直线l与抛物线C交于不同的两点M，N，过点M作x轴的垂线分别与直线OP，ON交于点A，B，其中O为原点. (1)求抛物线C的方程，并求其焦点坐标和准线方程；,解答,所以抛物线C的方程为y2x，,(2)求证：A为线段BM的中点.,证明,证明 由题意，直线l的斜率存在，设直线l的方程为ykx (k0)，l与抛物线C的交点为M(x1，y1)，N(x2，y2).,(4k4)216k216k232k1616k232k160，所以k,因为点P的坐标为(1,1)，所以直线OP的方程为yx，点A的坐标为(x1，x1).,故A
9、为线段BM的中点.,模板答题规范练,模板体验,审题路线图,规范解答评分标准,解得a24，b21.,设A(x1，y1)，B(x2，y2). 将ykxm代入椭圆E的方程， 可得(14k2)x28kmx4m2160， 由0，可得m2416k2， (*),因为直线ykxm与y轴交点的坐标为(0，m)，,可得(14k2)x28kmx4m240，,由0，可得m214k2. (*) 由(*)和(*)可知0t1，,构建答题模板 第一步 求曲线方程：根据基本量法确定圆锥曲线的方程； 第二步 联立消元：将直线方程和圆锥曲线方程联立，得到方程Ax2BxC0，然后研究判别式，利用根与系数的关系； 第三步 找关系：从题
10、设中寻求变量的等量或不等关系； 第四步 建函数：对范围最值类问题，要建立关于目标变量的函数 关系； 第五步 得范围：通过求解函数值域或解不等式得目标变量的范围或最值，要注意变量条件的制约，检查最值取得的条件.,1.(2018惠州模拟)已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，点P(p， )满足|PF|3. (1)求抛物线的方程；,规范演练,解答,故p2，即抛物线的方程为y24x.,(2)过点(1,0)的直线l交抛物线于A，B两点，当|FA|3|FB|时，求直线l的方程.,解答,解 易知直线l斜率必存在， 设l：yk(x1)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，|FA|3|FB|， 即x113(x
11、21)， ,由1616k20得k21，,x1x21， ,2.(2018全国)设抛物线C：y22x，点A(2,0)，B(2,0)，过点A的直线l与C交于M，N两点. (1)当l与x轴垂直时，求直线BM的方程；,解答,解 当l与x轴垂直时，l的方程为x2，可得点M的坐标为(2,2)或(2，2).,即x2y20或x2y20.,证明,(2)证明：ABMABN.,证明 当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线， 所以ABMABN. 当l与x轴不垂直时，设l的方程为yk(x2)(k0)， M(x1，y1)，N(x2，y2)， 则x10，x20.,直线BM，BN的斜率之和,所以kBMkBN0， 可知BM，B
12、N的倾斜角互补，所以ABMABN. 综上，ABMABN.,证明,证明 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,解答,解 由题意得F(1，0). 设P(x3，y3)，则(x31，y3)(x11，y1)(x21，y2)(0，0). 由(1)及题设得x33(x1x2)1，y3(y1y2)2m0.,(1)求椭圆C的方程；,解答,(2)若不过原点O的直线l与椭圆C相交于A，B两点，与直线OM相交于点N，且N是线段AB的中点，求OAB面积的最大值.,解答,故直线l的斜率存在.,得(34k2)x28kmx4m2120， 所以64k2m24(34k2)(4m212)48(34k2m2)0. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，,
