1、第三篇 附加题专项练，力保选做拿满分,第31练 几何证明选讲、不等式选讲,明晰考情 1.命题角度： 三角形及相似三角形的判定与性质；圆的相交弦定理，切割线定理； 圆内接四边形的性质与判定；含绝对值的不等式解法、不等式证明的基本方法、利用不等式性质求最值以及几个重要不等式的应用. 2.题目难度：中档难度.,核心考点突破练,栏目索引,高考押题冲刺练,考点一 三角形相似的判定及应用,方法技巧 证明三角形相似可以结合圆的某些性质、定理，要注意等量的代换.,核心考点突破练,1.(2016江苏)如图，在ABC中，已知ABC90，BDAC，D为垂足，E是BC的中点，求证：EDCABD.,证明,证明 在ADB
2、和ABC中， 因为ABC90，BDAC，A为公共角， 所以ADBABC，所以ABDC. 在RtBDC中，因为E是斜边BC的中点， 所以EDEC，从而EDCC， 所以EDCABD.,证明,2.(2017江苏)如图，AB为半圆O的直径，直线PC切半圆O于点C，APPC，P为垂足. (1)求证：PACCAB； 证明 因为PC切半圆O于点C， 所以PCACBA. 因为AB为半圆O的直径， 所以ACB90. 因为APPC，所以APC90， 因此PACCAB.,证明,(2)求证：AC2APAB.,证明 由(1)知，APCACB，,即AC2APAB.,证明,3.(2018苏州模拟)如图，AB，AC与圆O分别
3、切于点B，C，点P为圆O上异于点B，C的任意一点，PDAB于点D，PEAC于点E，PFBC于点F.求证：PF2PDPE.,证明 连结PB，PC，因为PCF，PBD分别为圆弧BP上的圆周角和弦切角， 所以PCFPBD. 因为PDBD，PFFC， 所以PDBPFC，,同理，PBFPCE，又PEEC，PFFB，,证明,4.如图，AB，AC是O的切线，ADE是O的割线，求证：BECDBDCE.,证明 因为AB是O的切线， 所以ABDAEB. 又因为BADEAB，所以BADEAB，,因为AB，AC是O的切线，所以ABAC.,即BECDBDCE.,考点二 圆有关定理、性质的应用,方法技巧 和圆有关的计算证
4、明问题，要灵活运用圆和三角形的性质，以目标为导向，根据需要找角、线段长度的关系，适时进行等量代换.,证明,5.(2018江苏)如图，圆O的半径为2，AB为圆O的直径，P为AB延长线上一点，过P作圆O的切线，切点为C.若PC ，求BC的长.,证明 如图，连结OC. 因为PC与圆O相切， 所以OCPC.,又因为OB2，从而B为RtOCP斜边的中点， 所以BC2.,6.(2018南京模拟)如图，CD是圆O的切线，切点为D，CA是过圆心O的割线且交圆O于点B，DADC，求证：CA3CB.,证明,证明 如图，连结OD，因为DADC，所以DAOC. 在圆O中，AODO，所以DAOADO， 所以DOC2DA
5、O2C. 因为CD为圆O的切线，所以ODC90， 从而DOCC90， 即2CC90，故C30， 所以OC2OD2OB，所以CBOB，所以CA3CB.,7.(2018苏州模拟)如图，圆O的直径AB4，C为圆周上一点，BC2，过C作圆O的切线l，过点A作l的垂线AD，AD分别与直线l和圆O交于点D，E，求线段AE的长.,解 在RtABC中，因为AB4，BC2， 所以ABC60. 因为l为过点C的切线，所以DCAABC60. 因为ADDC，所以DAC30. 连结OE，在AOE中，因为EAODACCAB60， 且OEOA，,解答,8.如图，AB切O于点B，直线AO交O于D，E两点，BCDE，垂足为C.
6、 (1)证明：CBDDBA；,证明 因为DE为O的直径， 所以BEDEDB90， 又BCDE，所以CBDEDB90， 从而CBDBED. 又AB切O于点B， 所以DBABED， 所以CBDDBA，,证明,解答,解 由(1)知BD平分CBA，,故DEAEAD3，即O的直径为3.,考点三 不等式的证明,方法技巧 证明不等式常用的方法有比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法、数学归纳法等；依据不等式的结构特征，也可以直接使用柯西不等式进行证明.,又m，n均为正数，,证明,证明 由a，b，c为正数，根据算术几何平均不等式，,当且仅当abc1时等号成立.,证明,11.已知a，b，c均为正数，且abc1.
7、,证明,abc1，,证明,证明 a，b，cR， a2b22ab，b2c22bc，c2a22ca. 将以上三个不等式相加，得 2(a2b2c2)2(abbcca)， 即a2b2c2abbcca. 在不等式的左右两端同时加上a2b2c2， 得3(a2b2c2)(abc)2，,在不等式的左右两端同时加上2(abbcca)，,得(abc)23(abbcca)，,考点四 柯西不等式,方法技巧 利用柯西不等式证明不等式或求最值时，要先根据柯西不等式的结构特征对式子变形，使之与柯西不等式有相似的结构.,证明,13.(2017江苏)已知a，b，c，d为实数，且a2b24，c2d216，证明：acbd8. 证明
8、 由柯西不等式，得(acbd)2(a2b2)(c2d2)， 因为a2b24，c2d216， 所以(acbd)264，因此acbd8.,解答,14.(2018盐城模拟)已知正数x，y，z满足x2y3z2，求x2y2z2的最小值.,解 由柯西不等式，可得(122232)(x2y2z2)(x2y3z)2， 因为x2y3z2，,证明,证明 因为a2bc1，a2b2c21， 所以a2b1c，a2b21c2. 由柯西不等式知(1222)(a2b2)(a2b)2，,即5(1c2)(1c)2，整理得3c2c20，,解答,16.(2018苏州模拟)已知a，b，cR，a2b2c21，若|x1|x1| (abc)2
9、对一切实数a，b，c成立，求实数x的取值范围.,解 因为a，b，cR，a2b2c21， 由柯西不等式得(abc)2(a2b2c2)(111)3，,因为|x1|x1|(abc)2对一切实数a，b，c恒成立， 所以|x1|x1|3.,当1x1时，23不成立；,高考押题冲刺练,解答,1.如图，AB是O的直径，C是O外一点，且ACAB，BC交O于点D.已知BC4，AD6，AC交O于点E，求四边形ABDE的周长.,解 AB是O的直径， ADBC，又ABAC， D为BC的中点， BC4，AD6，,DE2CE2CD22CECDcos C4，DE2.,解答,2.(2018南京、盐城模拟)如图，已知AB为O的直
10、径，直线DE与O相切于点E，AD垂直DE于点D，若DE4，求切点E到直径AB的距离.,解 如图，过点E作EFAB交AB于点F，连结AE，OE， 因为直线DE与O相切于点E，所以DEOE， 因为ADDE交DE于点D，所以ADOE，所以DAEOEA. ,在O中，OEOA，所以OEAOAE. 由得DAEOAE，即DAEFAE， 又ADEAFE，AEAE， 所以ADEAFE，所以DEFE， 又DE4，所以FE4， 即点E到直径AB的距离为4.,证明,证明 x，y，z都是正数，,将上述三个不等式两边分别相加，并除以2，,证明,4.(2108江苏七市联考)已知a，b，c是正实数，且abc5，求证：a22b2c210.,所以a22b2c210， 当且仅当a2bc0时取等号.,本课结束,
