1、7.3 压轴大题2直线与圆锥曲线,-2-,-3-,-4-,-5-,-6-,1.椭圆、双曲线中a,b,c,e之间的关系,-7-,2.求解圆锥曲线标准方程的方法是“先定型,后计算” (1)定型,就是指定类型,也就是确定圆锥曲线的焦点位置,从而设出标准方程. (2)计算,就是利用待定系数法求出方程中的a2,b2或p.另外,当焦点位置无法确定时,椭圆常设为mx2+ny2=1(m0,n0),双曲线常设为mx2-ny2=1(mn0),抛物线常设为y2=2ax或x2=2ay(a0). (3)椭圆与双曲线的方程形式上可统一为Ax2+By2=1,其中A,B是不相等的常数,当AB0时,表示焦点在y轴上的椭圆;当B
2、A0时,表示焦点在x轴上的椭圆;当AB0时,表示双曲线.,-8-,4.直线与圆锥曲线位置关系与“”的关系,消去y得ax2+bx+c=0(或消去x).若a0,=b2-4ac,则0相交;0相离;=0相切.若a=0,得到一个一次方程,则C为双曲线时,则l与双曲线的渐近线平行;C为抛物线时,则l与抛物线的对称轴平行. 5.直线与圆锥曲线相交时的弦长 设而不求,根据根与系数的关系进行整体代入,即斜率为k的直线与圆锥曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)时,-9-,6.通径:过椭圆、双曲线、抛物线的焦点垂直于焦点所在坐标轴的弦称为通径,椭圆与双曲线的通径长为 ,过椭圆及双曲线焦点的弦中通径最短;抛物
3、线通径长是2p,过抛物线焦点的弦中通径最短.椭圆上点到焦点的最长距离为a+c,最短距离为a-c. 7.弦AB的中点与直线AB斜率的关系,-10-,-11-,8.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量,那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等,这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点,就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等,根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量. 9.点在圆锥曲线内部或外部的充要条件,7.3.1 直线与圆及圆锥曲线,-13-,考向一,考向二,考向三,求轨迹方程 解题策略一 直接法 例
4、1已知过点A(0,2)的动圆恒与x轴相切,设切点为B,AC是该圆的直径. (1)求点C轨迹E的方程; (2)当AC不在坐标轴上时,设直线AC与曲线E交于另一点P,该曲线在P处的切线与直线BC交于点Q,求证:PQC恒为直角三角形. 难点突破 (1)利用AC是直径,所以BABC,或C,B均在坐标原点,由此求点C轨迹E的方程;,-14-,考向一,考向二,考向三,当C,B均在坐标原点时,点C坐标适合方程x2=8y. 综上可知点C轨迹E的方程为x2=8y.,-15-,考向一,考向二,考向三,因此QCPQ. 所以PQC恒为直角三角形.,解题心得如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,那么设出动点坐标,
5、直接利用等量关系建立x,y之间的关系F(x,y)=0,就得到轨迹方程.,-16-,考向一,考向二,考向三,对点训练1已知点P(2,2),圆C:x2+y2-8y=0,过点P的动直线l与圆C交于A,B两点,线段AB的中点为M,O为坐标原点. (1)求M的轨迹方程; (2)当|OP|=|OM|时,求l的方程及POM的面积.,解:(1)圆C的方程可化为x2+(y-4)2=16, 所以圆心为C(0,4),半径为4.,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0, 即(x-1)2+(y-3)2=2. 所以M的轨迹方程是(x-1)2+(y-3)2=2.,-17-,考向一,考向二,考向三,(2)由(1)可知M的轨
6、迹是以点N(1,3)为圆心, 为半径的圆. 由于|OP|=|OM|,则O在线段PM的垂直平分线上, 又P在圆N上,从而ONPM. 因为ON的斜率为3,-18-,考向一,考向二,考向三,解题策略二 相关点法,(1)求曲线C的方程; (2)若动直线l2:y=kx+m与曲线C有且仅有一个公共点,过F1(-1,0),F2(1,0)两点分别作F1Pl2,F2Ql2,垂足分别为P,Q,且记d1为点F1到直线l2的距离,d2为点F2到直线l2的距离,d3为点P到点Q的距离,试探索(d1+d2)d3是否存在最值?若存在,请求出最值.,-19-,考向一,考向二,考向三,难点突破 (1)设圆C1:x2+y2=R2
7、,根据圆C1与直线l1相切,求出圆的方程为x2+y2=12,由此利用相关点法能求出曲线C的方程.,(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,由此利用根的判别式、根与系数的关系、直线方程、椭圆性质、弦长公式,结合已知条件能求出(d1+d2)d3存在最大值,并能求出最大值.,-20-,考向一,考向二,考向三,解:(1)设圆C1:x2+y2=R2,圆C1与直线l1相切,-21-,考向一,考向二,考向三,-22-,考向一,考向二,考向三,解题心得如果动点P的运动是由另外某一点Q的运动引发的,而该点坐标满足某已知曲线方程,则可以设出P(x,y),用(x,y)表示出相关点Q的坐标,然后把Q的坐标代入
8、已知曲线方程,即可得到动点P的轨迹方程.,-23-,考向一,考向二,考向三,(1)求曲线C的方程; (2)直线l与直线l1垂直且与曲线C交于P,Q两点,求OPQ面积的最大值.,解:(1)设动点N(x,y),A(x0,y0),因为ABx轴于B,所以B(x0,0). 设圆M的方程为M:x2+y2=r2,-24-,考向一,考向二,考向三,-25-,考向一,考向二,考向三,解题策略三 定义法 例3已知圆M:(x+1)2+y2=1,圆N:(x-1)2+y2=9,动圆P与圆M外切并且与圆N内切,圆心P的轨迹为曲线C. (1)求C的方程; (2)l是与圆P,圆M都相切的一条直线,l与曲线C交于A,B两点,当
9、圆P的半径最长时,求|AB|. 难点突破 (1)将圆的位置关系转化为圆心连线的关系,从而利用椭圆的定义求出轨迹方程. (2)在三个圆心构成的三角形中,由两边之差小于第三边得动圆的最大半径为2,此时动圆圆心在x轴上,由l与圆P,圆M都相切构成相似三角形,由相似比得l在x轴上的截距,利用l与圆M相切得l斜率,联立直线与曲线C的方程,由弦长公式求出|AB|.,-26-,考向一,考向二,考向三,解:由已知得圆M的圆心为M(-1,0),半径r1=1; 圆N的圆心为N(1,0),半径r2=3. 设圆P的圆心为P(x,y),半径为R. (1)因为圆P与圆M外切并且与圆N内切, 所以|PM|+|PN|=(R+
10、r1)+(r2-R)=r1+r2=4. 由椭圆的定义可知,曲线C是以M,N为左、右焦点,长半轴长为2,-27-,考向一,考向二,考向三,(2)对于曲线C上任意一点P(x,y),由于|PM|-|PN|=2R-22, 所以R2,当且仅当圆P的圆心为(2,0)时,R=2. 所以当圆P的半径最长时,其方程为(x-2)2+y2=4.,若l的倾斜角不为90,由r1R知l不平行于x轴,设l与x轴的交点为Q,-28-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.若动点的轨迹符合某已知曲线的定义,可直接设出相应的曲线方程,用待定系数法或题中所给几何条件确定相应系数,从而求出轨迹方程. 2.涉及直线与圆的位置关系时,应多
11、考虑圆的几何性质,利用几何法进行运算求解往往会减少运算量.,-29-,考向一,考向二,考向三,对点训练3设圆x2+y2+2x-15=0的圆心为A,直线l过点B(1,0)且与x轴不重合,l交圆A于C,D两点,过B作AC的平行线交AD于点E. (1)证明|EA|+|EB|为定值,并写出点E的轨迹方程; (2)设点E的轨迹为曲线C1,直线l交C1于M,N两点,过B且与l垂直的直线与圆A交于P,Q两点,求四边形MPNQ 面积的取值范围.,(1)证明:因为|AD|=|AC|,EBAC,故EBD=ACD=ADC. 所以|EB|=|ED|,故|EA|+|EB|=|EA|+|ED|=|AD|. 又圆A的标准方
12、程为(x+1)2+y2=16, 从而|AD|=4, 所以|EA|+|EB|=4. 由题设得A(-1,0),B(1,0),|AB|=2, 由椭圆定义可得点E的轨迹方程为,-30-,考向一,考向二,考向三,(2)解:当l与x轴不垂直时,设l的方程为y=k(x-1)(k0),M(x1,y1),N(x2,y2),-31-,考向一,考向二,考向三,可得当l与x轴不垂直时,四边形MPNQ面积的取值范围为(12,8 ). 当l与x轴垂直时,其方程为x=1,|MN|=3,|PQ|=8,四边形MPNQ的面积为12. 综上,四边形MPNQ面积的取值范围为12,8 ).,-32-,考向一,考向二,考向三,直线和圆的
13、综合 解题策略 几何法 例4已知抛物线C:y2=2x,过点(2,0)的直线l交C于A,B两点,圆M是以线段AB为直径的圆. (1)证明:坐标原点O在圆M上; (2)设圆M过点P(4,-2),求直线l与圆M的方程. 难点突破 (1)因圆M是以AB为直径的圆,要证原点O在圆M上,只需证OAOBkOAkOB=-1; (2)联立直线与抛物线的方程线段AB中点坐标圆心M的坐标(含参数)r=|OM|;圆M过点P(4,-2) =0参数的值直线l与圆M的方程.,-33-,考向一,考向二,考向三,所以OAOB.故坐标原点O在圆M上.,-34-,考向一,考向二,考向三,(2)解:由(1)可得y1+y2=2m,x1
14、+x2=m(y1+y2)+4=2m2+4.,故(x1-4)(x2-4)+(y1+2)(y2+2)=0, 即x1x2-4(x1+x2)+y1y2+2(y1+y2)+20=0.,-35-,考向一,考向二,考向三,解题心得处理直线与圆的综合问题,要特别注意圆心、半径及平面几何知识的应用,如经常用到弦心距、半径、弦长的一半构成的直角三角形,利用圆的一些特殊几何性质解题,往往使问题简化.,-36-,考向一,考向二,考向三,对点训练4已知圆O:x2+y2=4,点A( ,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为.(1)求曲线的方程; (2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线A
15、B的方程.,-37-,考向一,考向二,考向三,解:(1)设AB的中点为M,切点为N,连接OM,MN, 则|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+ |AB|,即|AB|+2|OM|=4. 取A关于y轴的对称点A,连接AB,则|AB|=2|OM|, 故|AB|+2|OM|=|AB|+|AB|=4. 所以点B的轨迹是以A,A为焦点,长轴长为4的椭圆.,-38-,考向一,考向二,考向三,-39-,考向一,考向二,考向三,直线与圆锥曲线的综合 解题策略 判别式法 例5在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C1: (ab0)的左焦点为F1(-1,0),且点P
16、(0,1)在C1上. (1)求椭圆C1的方程; (2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2:y2=4x相切,求直线l的方程. 难点突破 (1)由焦点坐标知c=1,由点P在椭圆上知b,从而求得椭圆方程. (2)求直线方程即求直线方程中的斜率k,截距m,由l同时与椭圆C1和抛物线C2相切,联立两个方程组,由判别式等于0得出关于k,m的两个方程,解之得直线方程.,-40-,考向一,考向二,考向三,解:(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(-1,0),点P(0,1)在C1上, 所以c=1,b=1,所以a2=b2+c2=2.,(2)由题意可知,直线l的斜率显然存在且不等于0, 设直线l的方程为y=kx+m,消
17、去y并整理得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0. 因为直线l与椭圆C1相切, 所以1=16k2m2-4(1+2k2)(2m2-2)=0. 整理得2k2-m2+1=0.,-41-,考向一,考向二,考向三,因为直线l与抛物线C2相切,所以2=(2km-4)2-4k2m2=0, 整理得km=1.,-42-,考向一,考向二,考向三,解题心得1.判断直线与圆锥曲线的交点个数时,可利用消元后的一元二次方程的判别式来确定,需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0. 2.依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时,联立方程组并消元转化为一元方程,若二次项系数为0,则方程为一次方程;若不为0,则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解.,-43-,考向一,考向二,考向三,对点训练5(2018江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C,(1)求椭圆C及圆O的方程; (2)设直线l与圆O相切于第一象限内的点P. 若直线l与椭圆C有且只有一个公共点,求点P的坐标; 直线l与椭圆C交于A,B两点.若OAB的面积为 ,求直线l的方程.,-44-,考向一,考向二,考向三,因为圆O的直径为F1F2, 所以其方程为x2+y2=3.,-45-,考向一,考向二,考向三,-46-,考向一,考向二,考向三,
