1、5.3.2 角与距离,-2-,考向一,考向二,利用空间向量求空间角(多维探究) 题型1 求异面直线所成的角 例1(2018江苏,22)如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=2,点P,Q分别为A1B1,BC的中点.(1)求异面直线BP与AC1所成角的余弦值; (2)求直线CC1与平面AQC1所成角的正弦值.,-3-,考向一,考向二,-4-,考向一,考向二,-5-,考向一,考向二,(2)因为Q为BC的中点,-6-,考向一,考向二,-7-,考向一,考向二,对点训练1如图,已知正四棱锥P-ABCD,PA=AB=2,点M,N分别在PA,BD上,且 .(1)求异面直线MN与PC所成角的大小
2、; (2)求二面角N-PC-B的余弦值.,-8-,考向一,考向二,解:(1)设AC与BD的交点为O,以点O为坐标原点,建立空间直角坐标系Oxyz,则A(1,-1,0),B(1,1,0),C(-1,1,0),D(-1,-1,0).,=30, 故异面直线MN与PC所成角为30.,-9-,考向一,考向二,-10-,考向一,考向二,题型2 求线面角 例2(2018全国,理18)如图,四边形ABCD为正方形,E,F分别为AD,BC的中点,以DF为折痕把DFC折起,使点C到达点P的位置,且PFBF.(1)证明:平面PEF平面ABFD; (2)求DP与平面ABFD所成角的正弦值.,-11-,考向一,考向二,
3、(1)证明:由已知可得,BFPF,BFEF,所以BF平面PEF. 又BF平面ABFD, 所以平面PEF平面ABFD. (2)解:作PHEF,垂足为H. 由(1)得,PH平面ABFD.,建立如图所示的空间直角坐标系H-xyz.,-12-,考向一,考向二,解题心得求线面角可以用几何法,即“先找,后证,再求”,也可以通过平面的法向量来求,即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角,取其余角就是斜线和平面所成的角.,-13-,考向一,考向二,对点训练2(2018浙江,19)如图,已知多面体ABCA1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC
4、=B1B=2.(1)证明:AB1平面A1B1C1; (2)求直线AC1与平面ABB1所成的角的正弦值.,-14-,考向一,考向二,解法一 (1)证明:由AB=2,AA1=4,BB1=2,AA1AB,BB1AB,-15-,考向一,考向二,(2)如图,过点C1作C1DA1B1,交直线A1B1于点D,连接AD. 由AB1平面A1B1C1, 得平面A1B1C1平面ABB1, 由C1DA1B1,得C1D平面ABB1, 所以C1AD是AC1与平面ABB1所成的角.,-16-,考向一,考向二,解法二 (1)证明:如图,以AC的中点O为原点,分别以射线OB,OC为x,y轴的正半轴,建立空间直角坐标系O-xyz
5、.,由题意知各点坐标如下:,-17-,考向一,考向二,(2)设直线AC1与平面ABB1所成的角为.,-18-,考向一,考向二,题型3 求二面角 例3(2018全国,理19)如图,边长为2的正方形ABCD所在的平面(1)证明:平面AMD平面BMC; (2)当三棱锥M-ABC体积最大时,求面MAB与面MCD所成二面角的正弦值.,-19-,考向一,考向二,(1)证明:由题设知,平面CMD平面ABCD,交线为CD.因为BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.,又BCCM=C,所以DM平面BMC. 而DM平面AMD, 故平面AMD平面BMC.,-20-,考向一,考向二,建立如图所示的
6、空间直角坐标系D-xyz.,-21-,考向一,考向二,设n=(x1,y,z)是平面MAB的法向量,-22-,考向一,考向二,解题心得如图,设平面,的法向量分别为n1,n2,二面角的平面角为(0),则|cos |=|cos|= .结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角.,-23-,考向一,考向二,对点训练3(2018天津,理17)如图,ADBC,且AD=2BC,ADCD,EGAD,且EG=AD,CDFG,且CD=2FG,DG平面ABCD,DA=DC=DG=2.(1)若M为CF的中点,N为EG的中点,求证:MN平面CDE; (2)求二面角E-BC-F的正弦值; (3)若点P在线段DG上,且直线BP与
7、平面ADGE所成的角为60,求线段DP的长.,-24-,考向一,考向二,-25-,考向一,考向二,-26-,考向一,考向二,(3)设线段DP的长为h(h0,2),则点P的坐标为(0,0,h),-27-,考向一,考向二,空间点到面的距离 例4如图,在多面体ABCDEF中,底面ABCD是边长为2的菱形,BAD=60,四边形BDEF是矩形,平面BDEF平面ABCD,DE=2,M为线段BF的中点.(1)求点M到平面DEC的距离及三棱锥M-CDE的体积; (2)求证:DM平面ACE.,-28-,考向一,考向二,(1)解:设ACBD=O,以O为原点,OB为x轴,OC为y轴,过O作平面ABCD 的垂线为z轴
8、,建立空间直角坐标系,-29-,考向一,考向二,解题心得求空间的距离用找公垂线的方法比较难下手,用向量代数的方法则简捷,高效.,-30-,考向一,考向二,对点训练4在底面为菱形的直棱柱ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别为棱A1B1,A1D1的中点.(1)在图中作一个平面,使得BD,且平面AEF;(不必给出证明过程,只要求作出与直棱柱ABCD-A1B1C1D1的截面) (2)若AB=AA1=2,BAD=60,求点C到所作截面的距离.,-31-,考向一,考向二,解:(1)取B1C1的中点G,D1C1的中点H,连接BG,GH,DH, 则平面BDHG就是所求的平面. (2)取BC的中点M, AB=AA1=2,BAD=60, 以D为原点,DA为x轴,DM为y轴,DD1为z轴, 建立空间直角坐标系,
