1、3.1.2 复数的几何意义,第三章 3.1 数系的扩充和复数的概念,学习目标 1.了解复数z、复平面内的点Z、向量 之间的一一对应关系. 2.理解并掌握复数的几何意义. 3.通过对复数的几何意义的学习，了解“数与形”之间的联系，提高用数形结合思想解决问题的能力.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 复平面的定义,思考1 实数可用数轴上的点来表示，类比一下，复数怎样来表示呢？,答案 任何一个复数zabi，都和一个有序实数对(a，b)一一对应，因此，复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.,思考2 判断下列命题的真假： 在复平面内，对应于实数的点都在实轴上
2、； 在复平面内，对应于纯虚数的点都在虚轴上； 在复平面内，实轴上的点所对应的复数都是实数； 在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数； 在复平面内，对应于非纯虚数的点都分布在四个象限.,答案 正确，错误. 因为原点在虚轴上，而其表示实数，所以错. 因为非纯虚数包括实数，而实数对应的点在实轴上，所以错.,梳理 如图所示，点Z的横坐标为a，纵坐标为b，复数zabi可用点Z(a，b)表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做，y轴叫做 .实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数.,复平面,虚轴,实轴,知识点二 复数的几何意义,思考 平面向量能够与复数一一对应的前提
3、是什么？,答案 向量的起点是原点.,梳理 复数zabi(a，bR)与复平面内的点 及以原点为起点，点Z(a，b)为终点的向量_是一一对应的.,Z(a，b),知识点三 复数的模,思考 (1)复数的模一定是正数吗？,答案 不一定，复数的模是非负数，即|z|0. 当z0时，|z|0； 反之，当|z|0时，必有z0.,(2)若复数z满足|z|1，则在复平面内，复数z对应的点Z的轨迹是什么？,答案 点Z的轨迹是以原点为圆心，1为半径的一个圆.,梳理 复数zabi(a，bR)，对应的向量为 ，则向量 的模r叫做复数zabi的模，记作 或 .由模的定义可知：|z|abi|r _(r0，rR).,|z|,|a
4、bi|,1.在复平面内，对应于实数的点都在实轴上.( ) 2.若|z1|z2|，则z1z2.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,例1 (1)对于复平面，下列说法错误的是 A.实轴上的点都表示实数，表示实数的点都在实轴上 B.虚轴上的点都表示纯虚数，表示纯虚数的点都在虚轴上 C.第一象限的点都表示实部为正数的虚数 D.实部为正数、虚部为负数的虚数对应的点必定在第四象限,类型一 复平面的相关概念,解析,答案,解析 原点是虚轴上的点，但它表示实数.,(2)下列命题为假命题的是 A.复数的模是非负实数 B.复数等于零的充要条件是它的模等于零 C.两个复数的模相等是这两个复数相等的必要条件 D.复数z
5、1z2的充要条件是|z1|z2|,解析 D中两个复数不一定能比较大小，但任意两个复数的模总能比较大小，故D错.,解析,答案,解析,答案,3i,解析,答案,(4)已知复数z2i(i是虚数单位)，则|z|_.,反思与感悟 确定复数对应的点在复平面内的位置时，关键是理解好复数与该点的对应关系，复数的实部就是该点的横坐标，复数的虚部就是该点的纵坐标，据此可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程或不等式求解.,跟踪训练1 已知复数zm2(4m2)i，且复数z在复平面内对应的点位于虚轴上，则实数m的值为 A.0 B.2 C.2 D.2,解析,答案,解析 当点在虚轴上时，实部m20，m2.,类型二 复
6、数的几何意义,解答,解 因为x是实数，所以x2x6，x22x15也是实数.,即当3x2时，点Z在第三象限.,例2 实数x分别取什么值时，复数z(x2x6)(x22x15)i对应的点Z在： (1)第三象限；,解答,解 zx2x6(x22x15)i对应点Z(x2x6，x22x15)， 当实数x满足(x2x6)(x22x15)30， 即当x2时，点Z在直线xy30上.,(2)直线xy30上.,解答,解 当实数x满足x2x60， 即当x3或2时，点Z在虚轴上.,引申探究 若本例中的条件不变，其对应的点在： (1)虚轴上；,解答,即当2x5时，点Z在第四象限.,(2)第四象限.,反思与感悟 按照复数和复
7、平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值.,跟踪训练2 (1)当0m1时，z(m1)(m1)i在复平面内对应的点位于 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限,解析 z(m1)(m1)i对应的点为(m1，m1)， 0m1，1m12，1m10， 点(m1，m1)位于第四象限.,答案,解析,解答,类型三 复数的模,则1a24，所以a23，,命题角度1 复数模的基本运算 例3 (1)如果复数z1ai满足条件|z|2，那么实数a的取值范围是,答案,解析,答案,解析,反思
8、与感悟 复数的模的几何意义是复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可以类比以原点为起点的向量的模来加以理解.,解答,解 设z1abi(a，bR)，z2cdi(c，dR)，,|z1|z2|1，,命题角度2 复数模的几何意义,答案,解析,A.圆面 B.以点C为圆心，半径等于1的圆 C.满足方程x2y21的曲线,得|z|1，故到点C(1,2)的距离为1的点的轨迹方程为(x1)2(y2)21， 该方程表示以点C为圆心，半径等于1的圆.,反思与感悟 对于复数的模，可以从以下两个方面进行理解：一是任何复数的模都为一个非负的实数；二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.,答案,解
9、析,又复数z对应的点在第二象限，,达标检测,1,2,3,4,1.复数z与它的模相等的充要条件是 A.z为纯虚数 B.z是实数 C.z是正实数 D.z是非负实数,答案,5,解析 由z|z|，故zR且z0.,解析,解析,答案,1,2,3,4,5,2.已知与x轴同方向的单位向量为e1，与y轴同方向的单位向量为e2，则它们对应的复数分别是 A.e1对应实数1，e2对应虚数i B.e1对应虚数i，e2对应虚数i C.e1对应实数1，e2对应虚数i D.e1对应实数1或1，e2对应虚数i或i,解析 e1(1,0)，e2(0,1).,解析,答案,1,2,3,4,5,3.若复数(m23m4)(m25m6)i表
10、示的点在虚轴上，则实数m的值为_.,1或4,解析 由题意知m23m40，解得m1或m4.,1,2,3,4,5,答案,解析,1,2,3,4,5,解答,5.已知复数z3ai，且|z|4，求实数a的取值范围.,解 方法一 z3ai(aR)，,由已知得32a242，,方法二 由|z|4知z在复平面内对应的点在以原点为圆心，以4为半径的圆内(不包括边界)，由z3ai知z对应的点在直线x3上，,线段AB(除去端点)为动点Z(3，a)的集合，,1,2,3,4,5,1.复数的几何意义,规律与方法,这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决，而几何问题也可以用复数方法(即数形结合法)解决，增加了解决复数问题的途径. (1)复数zabi(a，bR)的对应点的坐标为(a，b)而不是(a，bi)；,2.复数的模,(2)从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：|z1z2|表示点Z1和点Z2之间的距离.,本课结束,
