1、3.1.1 数系的扩充和复数的概念,第三章 3.1 数系的扩充和复数的概念,学习目标 1.了解数系的扩充过程与引入复数的必要性. 2.理解复数的有关概念及其代数形式. 3.掌握实数、虚数、纯虚数之间的关系及复数相等的充要条件. 4.利用两个复数相等的充要条件解决实际问题.,问题导学,达标检测,题型探究,内容索引,问题导学,知识点一 对虚数单位的理解,在实数集中，有些方程是无解的，例如x210，为此，人们引进一个新数i，并且规定： (1)它的平方等于1，即i21； (2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加法、乘法运算律仍然成立.,知识点二 复数的概念与分类,思考 为解决方程x2
2、2在有理数范围内无根的问题，数系从有理数扩充到实数；那么怎样解决方程x210在实数系中无根的问题呢？,答案 设想引入新数i，使i是方程x210的根，即ii1，方程x210有解，同时得到一些新数.,梳理 (1)复数 定义：把集合Cabi|a，bR中的数，即形如abi(a，bR)的数叫做复数，其中i叫做 .a叫做复数的 ，b叫做复数的 . 表示方法：复数通常用字母 表示，即 (a，bR)，这一表示形式叫做复数的代数形式. (2)复数集 定义： 所成的集合叫做复数集. 表示：通常用大写字母 表示.,虚数单位,虚部,zabi,全体复数,C,实部,z,知识点三 两个复数相等的充要条件,思考 由42能否推
3、出4i2i?,答案 不能.当两个复数都是实数时，可以比较大小，当两个复数不全是实数时，不能比较大小.,梳理 在复数集Cabi|a，bR中任取两个数abi，cdi (a，b，c，dR)，我们规定：abi与cdi相等的充要条件是 .,ac且bd,知识点四 复数的分类,(2)集合表示：,1.若a，b为实数，则zabi为虚数.( ) 2.复数zbi是纯虚数.( ) 3.若两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等.( ),思考辨析 判断正误,题型探究,A.0 B.1 C.2 D.3,类型一 数系的扩充与复数的概念,解析,答案,(2)给出下列四个命题： 若zC，则z20；2i1的虚部是2i
4、；复数34i的实部与复数43i的虚部相等；若aR，则(a1)i是纯虚数. 其中真命题的个数为 A.0 B.1 C.2 D.3,解析 对于，当zR时，z20成立，否则不一定成立，如zi，z210，所以为假命题. 对于，2i112i，其虚部为2，不是2i，所以为假命题. 对于，复数34i的实部为3，复数43i的虚部为3，因此为假命题. 对于，当a1时，(a1)i为实数，所以为假命题，因此四个命题都是假命题.,解析,答案,反思与感悟 (1)复数的代数形式：若zabi，只有当a，bR时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. (2)不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和
5、虚数是复数的两大构成部分. (3)举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答判断命题真假类题目时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答.,跟踪训练1 下列命题： 1i20； 若x2y20，则xy0； 两个虚数不能比较大小. 是真命题的为_.(填序号),解析,答案,解析 当xi，y1时，x2y20，所以错. 所以正确.,类型二 复数的分类,解答,解 复数z是虚数的充要条件是,当m3且m2时，复数z是虚数.,解答,解 复数z是纯虚数的充要条件是,当m3时，复数z是纯虚数.,(2)纯虚数.,解答,虚部为m25m6. 复数z是实数的充要条件是,引申探究 1.若本例条件
6、不变，m为何值时，z为实数.,当m2时，复数z是实数.,解得m3或2.,3或2,解析,答案,反思与感悟 根据复数的定义，对于复数zabi(a，bR)，当且仅当b0时，zR；当且仅当a0且b0时，z为纯虚数.要充分理解复数为纯虚数的等价条件，切不可忘记复数zabi(a，bR)为纯虚数的另一个必要条件是b0，计算中分母不为0也不可忽视.,跟踪训练2 已知复数zm(m1)(m22m3)i，当实数m取什么值时，复数z是(1)零；,解答,故当m1时，z是零.,(2)纯虚数.,解答,故当m0时，z是纯虚数.,类型三 复数相等及应用,解答,解 将原方程整理，得(x22ax5)(x22x3)i0.,例3 若关
7、于x的方程(1i)x22(ai)x53i0(aR)有实数解，求a的值.,反思与感悟 已知两个复数相等求参数值的问题，可根据相等的定义将其转化为方程(组)来求解.当两个复数相等时，应先分清两个复数的实部与虚部，然后让实部与实部相等，虚部与虚部相等.,跟踪训练3 (1)满足x3i(8xy)i的实数x，y的值为 A.x0且y3 B.x0且y3 C.x5且y3 D.x3且y0,答案,解析,(2)已知A1,2，(a23a1)(a25a6)i，B1,3，AB3，求实数a的值.,解答,解 由题意，得(a23a1)(a25a6)i3，,达标检测,1,2,3,4,1.已知复数z1i，则下列结论中正确的个数是 z的实部为1；z0；z的虚部为i. A.1 B.2 C.3 D.0,答案,5,解析 易知正确，错误，故选A.,解析,解析,答案,1,2,3,4,5,解析,答案,1,2,3,4,5,4.3i27i的实部为_，虚部为_.,1,2,3,4,5,答案,解析 3i27i37i，实部为3，虚部为7.,解析,3,7,1,2,3,4,5,答案,解析,5.已知复数zm(m21)i(mR)满足z0，则m_.,1,解得m1.,1.对于复数zabi(a，bR)，可以限制a，b的值得到复数z的不同情况. 2.两个复数相等，要先确定两个复数的实、虚部，再利用两个复数相等的充要条件进行判断.,规律与方法,本课结束,
