1、基于 QR 分解求解线性方程组初探摘 要: 本文探讨了基于 QR 分解求解线性方程组的方法，并通过例题进行了具体的分析。主要介绍了 Schmidt 正交化方法、Householder 变换方法和 Givens 变换方法。关 键 词: 线性方程组; QR 分解；Schmidt 正交化方法；Givens 变换；Householder变换； 线性方程组在实际问题的求解过程中经常遇到,一般情况下没有实用有效的求解方法。与现有的 LU 分解和一些迭代方法不同 , 基于实际很少采用的矩阵 QR 分解方法, 利用其对各类矩阵普遍适用的优点提出并探讨了将 QR 分解运用于求解线性方程组。引理： 1.对任意 ，
2、若存在 n 阶正交矩阵 Q 和 n 阶上三角矩阵 R ，使得 A = QR ，nCA则称 QR 为 A 的 QR 分解。2若 可逆，则存在正交矩阵 Q 和正对角元的上三角矩阵 R ，使得 A n=QR ，且表示式唯一。一、Schmidt 正交化方法首先，利用 Schmidt 正交化方法求可逆矩阵 A 的 QR 分解：设 A 是一个实满秩矩阵 , A 的 n 个列向量为 由于 线， nx21 ， nx21性无关，将它们用 Schmidt 正交化方法得标准正交向量 e， 其中 ， i=1，2， n0ib从而有nnn ebebx 2121nnnn bbeexx 22112121nnbbReeQ 22
3、1121,令、然后，求解线性方程组 Ax=b 的解：Ax=b bQRxbRxbQx 11例 1 利用 Schmidt 正交化方法求矩阵 QR 分解的方法求解线性方程组 Ax=b,其中215b解：设 则 线性无关 ,2,43,2031 TTTxxx 321,x首先将它们正交化得：再单位化：于是 从而所以 201504321051bQRxIT则 41A，Ty1 1122)(yy，Ty04122231133 )()(xx，x5683，Tye01，Tye04512T3542311eyx212125eyx32132135eQRA04215二、Givens 变换方法 1定义 ：设实数 c 和 s 满足 =
4、1，则称 n 阶矩阵 2scIcsIscTij),(为 Givens 矩阵（旋转阵） 。2性质性质 1 i） . ii) . IscTijij ),(),( ),(),(),(1scTscscTijijij iii） 1detij性质 2 Givens 变换 只改变 x 的第 i 个和第 j 个分量。yij性质 3 设 , 则存在有限个 Givens 矩阵的乘积 T，使得0),(21Tnx。eT性质 4 设 （n1） ，且 ，则存在有限个 Givens 矩阵的乘积nRzx, 1,zxT，使得 。定理 1 设 可逆，则存在有限个 Givens 矩阵的乘积 T,使得 TA 为可逆上nA三角矩阵。首
5、先，利用 Givens 矩阵求矩阵 A 的 QR 分解：先将矩阵 A 按列分块 ， 对于 存在一组 Givens 矩阵 使得1于是 将矩阵 按列分块)1(1nCBn,21nCAT1312123eTn 2111231,0*aBaAn n321*又存在一组 Givens 矩阵 使得因此依次进行下去，得到 令 则 QRA然后，求解线性方程组 Ax=b 的解：Ax=b bxbQRxbx 11说明：利用 Givens 矩阵进行 QR 分解，需要作 个初等旋转矩阵的连乘积，当 n 较大时，计算量较大，因此常用镜像变换来进行 QR 分解。例 2 利用 Givens 变换求矩阵 QR 分解的方法求解线性方程组
6、 Ax=b，其中5043A25b解 对于 A 的第 1 列 ,构造 ,其中T403013于是可得sc531140375304130 ATTnT2423,222342 0,* bbTn 2112230*CbaATnn cbaATTnnnn *211223,1 HnnHnTTQ,12312 2n对于 的第 1 列 ,构造 ,其中431A4312T于是可得05512Tsc5136341121 AT最后，令 则有9206501 513671205RTQ则 所以RA 1325714259413605013271bQx三、Househoulder 变换方法1.定义：设 u 是实的单位列向量，称阶 n 矩阵
7、 为 Householder 矩阵（初TuIH2等反射矩阵） ，Householder 变换又称为反射变换或镜像变换。2.性质：性质 1 。1det, 12 IHTT性质 2 设 （n1） ，且 ，则存在 Householder 矩阵 ，使得nRzx0zx uH。xHu性质 3 对任意的 Givens 矩阵 ，都存在两个 Householder 矩阵 和 ，),(scTij uv使得 。vuijscT),(定理 2 设 可逆，则存在有限个 Householder 矩阵的乘积 S，使得 SA 为可nRA逆上三角矩阵。首先，利用 Householder 矩阵求矩阵 A 的 QR 分解如下： 将矩阵
8、 A 按列分块 ，取),(21n则21211,ae TIH1120),( 11211 BHAn 将矩阵 按列分块， ，取)1(1nCB则其中依次进行下去，得到第 n-1 个 n 阶的 Householder 矩阵 ,使得1nH 因为 自逆矩阵，令 则 A=QRiH然后，求解线性方程组 Ax=b 的解：Ax=b bQRxbRxbQx 11例 3 利用 Householder 变换求矩阵 QR 分解的方法求解线性方程组 Ax=b，其中21051240bAn,3212212,beu TuIH2201HT221120*)(CaAH )2(2nCRaaAnn *2121 121H解：因为 ,记 令T20
9、1则从而 记 则令记 则取 则所以 50421534021051bQRx以上是为了求解线性方程组而给出的三种不同的矩阵 QR 分解方法。在进行分解时，所用的主要工具是镜面反射阵（Householder ）和旋转阵（ Givens） 。相 对 来 说 ， QR 分 解的 计 算 量 较 小 ， 但 此 方 法 不 足 之 处 在 于 计 算 精 度 较 低 。 总 的 来 说 ， 基 于 QR 方 法 来 求解 线 性 方 程 组 是 不 错 的 选 择 。参考文献：1王钢林 武哲 基于 QR 分解求解带顶点三对角带状线性方程组，北京航空航天大学学报，2003， （4）2刘玲 葛福生. 数值计算
10、方法 北京：科学出版社,2005.3刘秀梅. 矩阵 QR 分解途径的研究 J. 内江师范学院学报, 2007, ( 4). 4程云鹏. 矩阵论M .西安: 西北工业大学出版社, 1998.5同济大学应用数学系.高等数学( 第 5 版) M. 北京:高等教育出版社, 2002. ,21a211eaT,TIH11,013041AH,342T,52b212eb,0TTIH22,4351,543022 HT RA201120512 QRA6北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数. 高等教育出版社 . 7冯天祥, 李世宏.矩阵的 QR 分解 J.西南民族学院学报, 2001, ( 4). 8张凯院,许
11、仲,陆全.矩阵论M. 西安：西北工业大学出版社， 2000:50-102. 9张凯院,许仲,陆全.数值分析教程M. 西安：西北工业大学出版社， 2002:142-153. 10侯自新,郑仲三.线性代数及其应用M. 天津：南开大学出版社， 1986:171-192. 11郝炳新.高等代数M.北京：高等教育出版社， 2000:182-206. 12杨万利. 数值分析教程. 北京：国防工业出版社,2002.13 徐翠薇.计算方法引论M. 北京：高等教育出版社，1985 14Rainer Kress. Numerical analysis 1998 Springer Verlag NewYork.In
12、c15Mallat S,Zhang ZMatching Pursuit with Time frequency Dictionaries J EEE Trans on Signal Processing,1993,41(12):3397-3415. Inquiry based on QR decomposition to solve the linear equations Abstract:This article is based on QR decomposition methods for solving linear equations to do a little discussion, and through examples to analyse. Mainly introduces the Schmidt orthogonal method, Householder method and Givens method.Keywords: QR decomposition; linear equations; Schmidt orthogonal method ; Householder method; Givens method.
