1、动点、动角模型专题一、动点模型【例 1】A、B 两点在数轴上的位置如图所示，O 为原点，现 A、B 两点分别以 1 个单位长度/秒、4 个单位长度/秒的速度同时向左运动。（1 ）几秒后，原点 O 恰好在两点正中间？（2 ）几秒后，恰好有 OA:OB=1：2 ？【练习 1】已知，如图，线段 AB=12cm，M 是 AB 上一定点，C、D 两点分别从 M、B 出发以 1cm/s、3cm/s 的速度沿线段 BA 向左运动，在运动过程中，点 C 始终在线段 AM 上，点D 始终在线段 BM 上，点 E、F 分别是线段 AC 和 MD 的中点。（1 ）当点 C、 D 运动了 2s，求 EF 的长度；（2
2、 ）若点 C、 D 运动时，总是有 MD=3AC，求 AM 的长。【练习 2】如图，数轴上点 A、C 对应的数分别是 a，c，且 a，c 满足 ，2410c点 B 对应的数是-3.（1 ）求数 a， c；（2 ）点 A、B 同时沿数轴向右匀速运动，点 A 的速度为每秒 2 个单位长度，点 B 的速度为每秒 1 个单位长度，点 B 的速度为每秒 1 个单位长度，若运动时间 t 秒，在运动过程中，点 A、B 两点到原点 O 的距离相等时，求 t 的值。【例 2】如图，若点 A 在数轴上对应的数为 a，若点 B 在数轴上对应的数为 b，且 a，b 满足： 。210ab（1 ）求线段 AB 的长；（2
3、 ）点 C 在数轴上对应的数为 x，且 x 是方程 的解，在数轴上是否存在点122xP，使 PA+PB=PC，若存在，直接写出点 P 对应的数；若不存在，请说明理由。（3 ）在（1 ）的条件下，将点 B 向右平移 5 个单位长度至 ，此时在原点 O 处放一个挡B板，一小球甲从点 A 处以 1 个单位长度/秒的速度向左运动，同时另一小球乙从 处以 2B个单位长度/秒的速度也向左运动，在碰到挡板后以原来的速度向相反方向运动，设运动时间为 t（秒） ，求甲、乙小球到原点的距离相等时经过的时间。【练习 1】已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为-1，3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x。（1
4、）若点 P 到点 A、B 的距离相等，求点 P 对应的数；（2 ）数轴上是否存在点 P，使点 P 到点 A、B 的距离之和为 5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由；（3 ）当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从原点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度向左运动，点 B 以每分钟 20 个单位长度向左运动，它们同时出发，几分钟后 P 点到点A、B 的距离相等？【例 3】已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为-1、3，点 P 为数轴上一动点，其对应的数为 x。 3-2-10A BOP（1 ）若点 P 到点 A，点 B 的距离相等，求点 P 对应的数；（2 ）数轴上是否存在点
5、 P，使点 P 到点 A、点 B 的距离之和为 6？若存在，请求出 x 的值；若不存在，说明理由。（3 ）点 A、点 B 分别以 2 个单位长度/ 分、1 个单位长度/分的速度向右运动，同时点 P 以6 个单位长度/分的速度从 O 点向左运动。当遇到 A 时，点 P 立即以同样的速度向右运动，并不停地往返于点 A 与点 B 之间，求当点 A 与点 B 重合时，点 P 所经过的总路程是多少？【练习 1】如图，AOB 的边 OA 上有一动点 P，从距离 O 点 18cm 的点 M 处出发，沿线段MO，射线 OB 运动，速度为 2cm/s；动点 Q 从点 O 出发，沿射线 OB 运动，速度为1cm/
6、s，P、Q 同时出发，设运动时间是 t（s ） 。（1 ）当点 P 在 MO 上运动时，PO=_cm （用含 t 的代数式） ；（2 ）当点 P 在 MO 上运动时，t 为何值，能使 OP=OQ？（3 ）若点 Q 运动到距离 O 点 16cm 的点 N 停止，在点 Q 停止运动前，点 P 能否追上点Q？如果是，求出 t 的值；如果不能，请说明理由。【例 4】如图，若点 A 在数轴上对应的数为 a，若点 B 在数轴上对应的数为 b，点 A 在负半轴，且 ， b 是最小的正整数，3a（1 ）求线段 AB 的长；（2 ）点 C 在数轴上对应的数为 x，且 x 是方程 的解，在数轴上是否存在点2134
7、xP，使 ，若存在，求出点 P 对应的数；若不存在，请说明理由。12ABA（3 ）如图 Q 是 B 点右侧一点， QA 中点为 M，N 为 QB 的四等分点且靠近 Q 点，当 Q 在 B的右侧运动时，有两个结论： 的值不变； 的值不变，其中1324QB23BN只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。【练习 1】如图，射线 OM 上有三点 A、B、C，满足 OA=20cm，AB=60cm ，BC=10cm ，点P 从 O 点出发沿 OM 方向以 1cm/s 的速度匀速运动，点 Q 从点 C 出发在线段 CO 上向点 O匀速运动（点 Q 运动到点 O 时停止运动） ，两点同时出发。（
8、1 ）当 PA=2PB 时，点 Q 运动到的位置恰好是线段 AB 的三等分点，求点 Q 的运动速度；（2 ）若点 Q 的运动速度为 3cm/s，经过多长时间 P、Q 两点相距 70cm？（3 ）当点 P 运动到线段 AB 上时，分别取 OP 和 AB 的中点 E、F，求 的值。OBAPO MA BC【练习 2】如图，线段 AB=24，动点 P 从 A 出发，以每秒 2 个单位长度的速度沿射线 AB 运动，M 为 AP 的中点。（1 ）出发多少秒后，PB=2AM？（2 ）当 P 在线段 AB 上运动时，试说明 2BM-BP 为定值。（3 ）当 P 在 AB 的延长线上运动时， N 为 BP 的中
9、点，下列两个结论： MN 的长度不变；MA+PN 的值不变。选择一个正确的结论，并求出其值。【例 5】如图，已知数轴上两点 A、B 对应的数分别为-1、3，点 P 为数轴上的一动点，其对应的数为 x。（1 ） PA=_，PB=_ （用含 x 的式子表示） ；（2 ）在数轴上是否存在点 P，使 PA+PB=5？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明理由。（3 ）如图，点 P 以 1 个单位/s 的速度从点 D 向右运动，同时点 A 以 5 个单位/s 的速度向左运动，点 B 以 20 个单位 /s 的速度向右运动，在运动过程中，M、N 分别是 AP、OB 的中点，问： 的值是否发生变化？请说
10、明理由。A（4 ）当点 P 以每分钟 1 个单位长度的速度从 O 点向左运动时，点 A 以每分钟 5 个单位长度的速度向左运动，点 B 以每分钟 20 个单位长度的速度向左运动，问：它们同时出发，几分钟时间点 P 到点 A、点 B 的距离相等？【练习 1】已知线段 AB=m，CD=n，线段 CD 在直线 AB 上运动（A 在 B 左侧，C 在 D 左侧） ，若 ，226mn（1 ）求线段 AB、CD 的长；（2 ） M、N 分别为线段 AC、BD 的中点，若 BC=4，求 MN；（3 ）当 CD 运动到某一时刻时，D 点与 B 点重合，P 是线段 AB 延长线上任意一点，下列两个结论： 是定值
11、； 是定值，请选择正确的一个并加以证明。PABCAC【练习 2】点 A 在数轴上对应的数为 a，点 B 对应的数为 b，且 a、b 满足.640ab（1 ）求线段 AB 的长；（2 ）如图，点 C 在数轴上对应的数为 x，且是方程 的根，在数轴上是否存154x在点 P 使 ？若存在，求出点 P 对应的数；若不存在，请说明理由。14ABA（3 ）如图，若 P 是 B 点右侧一点，PA 中点为 M，N 为 QB 的三等分点且靠近 P 点，当Q 在 B 的右侧运动时，有两个结论： 的值不变； 的值不变，1328pB34BN其中只有一个是正确的结论，请你判断正确的结论，并求出其值。（选讲） 【例 6】
12、如图，已知线段 AB=180 厘米，线段 AB 上的动点 P 从端点 A 开始在两个端点 A、B 之间一直作往返移动 ，点 P 移动规则如下：第一次，AB点 P 从 A 点出发移动 m（m0）厘米到达 P1，第二次，点 P 从 P1 点出发移动 2m 厘米到达 P2，第三次，点 P 从 P2 点出发移动 3m 厘米到达 P3（点 P 在移动过程中到达线段AB 端点处立即折返移动）A BP【例】如：当 m=30 厘米时，P1、P2、P3 、P4 位置如图所示，其中 P3 与点 B 恰好重合，AP1=m=30 厘米，P1P2=2m=60 厘米，P2P3=3m=90 厘米， P3P4=4m=120
13、厘米；P4 P3P2P1A B当 m=20 厘米时，P1、P2 、 P3、P4、P5 位置如图所示，其中 P4 是点 P 从 P3 移动到点B 后折返到途中的位置（即 P3B+BP4=4m=80 厘米） ，而 P5 恰好与 P2 重合。P5 P4P32P1A B仔细阅读上述材料后，解答下列问题：（1 ）若 m=25 厘米，请利用图 操作实践，则 P2P3=_厘米；（2 ）若 m 取值在 20 厘米与 29 厘米之间，且点 P4 恰好平分线段 P2P3，在图中分析P1、P2、P3、P4 的大概位置，并求出 m 的值。（3 ）若 m 的取值小于 34 厘米，且 P2P4=20 厘米，则 m 对应的
14、值是_P1A BP1A B作业：1.已知线段 AB=a，CD=b，线段 CD 在直线 AB 上运动（A 在 B 的左侧，C 在 D 的左侧） ，与 互为相反数。2ab26（1 ）求 a，b 的值；（2 ）若 M，N 分别是 AC，BD 的中点，BC=4 ，求 MN 的长；（3 ）当 CD 运动到某一时刻，D 点与 B 点重合，P 是线段 AB 延长线上任意一点，问的值是否改变？若不变，求出其值，若改变，请说明理由。PABC2.如图，已知点 A，B ，C 是数轴上三点，点 C 对应的数为 6，BC=4，AB=12。（1 ）求点 A，B 对应的数；（2 ）动点 P，Q 同时从 A，C 出发，分别以
15、每秒 6 个单位和 3 个单位的速度沿数轴正方向运动。M 为 AP 的中点，N 在 CQ 上，且 CN= CQ，设运动时间为 t（t0） 。13求点 M，N 对应的数（用含 t 的式子表示）t 为何值时，OM=2BN。A B C3.如图，数轴上线段 AB=2，CD=4，点 A 在数轴上表示的数是-10，点 C 在数轴上表示的数是 16.若线段 AB 以 6 个单位/秒的速度向右运动，同时线段 CD 以 2 个单位/ 秒的速度向左运动。（1 ）问运动多少秒时 BC=8？（2 ）当运动到 BC=8 时，点 B 在数轴上表示的数是_；（3 ） P 是线段 AB 上一点，当 B 点运动到线段 CD 上
16、时，是否存在关系式 ？3BDAPC若存在，求线段 PC 的长；若不存在，请说明理由。专题二、动角模型【例 1】已知 D 是直线 AB 上的一点，COE 是直角，OF 平分AOE。（1 ）如图 1，若COF=34，则BOE=_；若COF=m，则BOE=_ ；BOE 与COF 的数量关系为_（2 ）在图 2 中，若COF=75，在BOE 的内部是否存在一条射线 OD，使得 2BOD 与AOF 的和等于BOE 与BOD 的差的三分之一？若存在，请求出BOD 的度数；若不存在，请说明理由。（3 ）当射线 OE 绕点 O 顺时针旋转到如图 3 的位置时， （1 ）中BOE 和COF 的数量关系是否仍然成
17、立？请说明理由。若不成立，求出BOE 与 COF 的数量关系。【练习 1】已知：AOB=60，OD、OE 分别是BOC 和COA 的平分线。（1 ）如图 1，OC 在AOB 内部时，求 DOE 的度数；（2 ）如图 2，将 OC 绕 O 点旋转到 OB 的左侧时，OD、OE 仍是BOC 和COA 的平分线，求此时DOE 的度数；（3 ）当 OC 绕 O 点旋转到 OA 的下方时，OD、OE 分别是BOC 和COA 的平分线，DOE 的度数又是多少？（直接写出结论，不必写出解题过程）【练习 2】已知AOB=160 ，COE=80，OF 平分AOE（1 ）若COF=14，则BOE=_ ；若COF=
18、n，则BOE=_；BOE 与COF 的数量关系为_（2 ）当射线 OE 绕点 O 顺时针旋转到如图 3 的位置时， （1 ）中BOE 和COF 的数量关系是否仍然成立？请说明理由。（3 ）在（2 ）的条件下，如图 3，在BOE 的内部是否存在一条射线 OD，使得BOD 为直角，且DOF=3DOE？若存在，求出COF 的度数；若不存在，请说明理由。【练习 3】已知：AOD=160，OB、OM、ON 是AOD 内的射线。（1 ）如图 1，若 OM 平分AOB，ON 平分BOD ，当射线 OB 绕点 O 在AOD 内旋转时，求MON 的大小；（2 ） OC 也是AOD 内的射线，如图 2，若BOC=
19、20，OM 平分AOC，ON 平分BOD，当射线 OB 绕点 O 在AOD 内旋转时，求MON 的大小；（3 ）在（2 ）的条件下，当射线 OB 从边 OA 开始绕 O 点以每秒 2的速度逆时针旋转 t 秒，如图 3，若AOM ：DON=2 ：3，求 t 的值。【例 2】已知 OC 是AOB 内部的一条射线，M、N 分别为 OA、OC 上的点，线段 OM、ON分别以 30/s、10/s 的速度绕点 O 逆时针旋转。（1 ）如图，若AOB=140，当 OM、ON 逆时针旋转 2s 时，分别到 、 处，求OMN的值；BONC（2 ）如图，若 OM、ON 分别在AOC、COB 内部旋转时，总有 CO
20、M=3BON，求的值。A（3 ）知识迁移，如图，C 是线段 AB 上的一点，点 M 从点 A 出发在线段 AC 上向 C 点运动，点 N 从点 C 出发在线段 CB 上向 B 点运动，点 M、N 的速度比是 2：1，在运动过程中始终有 CM=2BN，求 _BA【练习 1】已知AOB=100 ，COD=40，OE 平分AOC，OF 平分BOD。（1 ）如图 1，当 OB、OC 重合时，求 EOF 的度数；（2 ）当COD 从图 1 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n（0n90 ）时，AOE- BOF 的值是否为定值？若是定值，求出AOE-BOF 的值；若不是，请说明理由。（3 ）当COD 从图 1
21、 所示位置绕点 O 顺时针旋转 n（0n180）时，满足AOD+EOF=6COD，则 n=_【练习 2】已知点 O 是直线 AB 上的一点，COE=90 ，OF 是AOE 的平分线。（1 ）当点 C， E，F 在直线 AB 的同侧（如图 1 所示）时，试试说明 BOE=2COF；（2 ）当点 C 与点 E，F 在直线 AB 的两旁（如图 2 所示）时， （1 ）中的结论是否仍然成立？请给出你的结论并说明理由；（3 ）将图 2 中的射线 OF 绕点 O 顺时针旋转 m（0m180） ，得到射线 OD.设AOC=n ，若BOD= ，则DOE 的度数是_（用含 n 的式子表示） 。603n【例 3】
22、如图，两个形状、大小完全相同的含有 30，60的三角板如图放置，PA、PB 与直线 MN 重合，且三角板 PAC，三角板 PBD 均可以绕点 P 逆时针旋转。（1 ）直接写出DPC 的度数；（2 ）若三角板 PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转一定角度（如图 ） ，若 PF 平分APD，PE 平分CPD，求EPF 的度数；（3 ）如图，在图基础上，若三角板 PAC 的边 PA 从 PN 处开始绕点 P 逆时针旋转，转速为 3/s，同时三角板 PBD 的边 PB 从 PM 处开始绕点 P 逆时针，转速为 2/s， （当 PC 转到与 PM 重合时，两三角板都停止转动） ，在旋
23、转过程中，当 2CPD=3BPM，求旋转的时间是多少？【练习 1】如图，在直线 AB 上任取一点 O，过点 O 作射线 OC，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 放在射线 OB 上，另一边 ON 放在直线 AB 的下方。（1 ）将图中的直角三角板绕点 O 逆时针旋转至图，点 D 为线段 NO 延长线上一点，且 OD 平分 AOC 。若BOC=11940，求COM 的度数；试说明射线 OM 是BOC 的角平分线。（2 ）将图中的三角板绕点 O 以每秒 5的速度沿逆时针方向旋转一周，若BOC=2AOC ，且在旋转的过程中，第 t 秒时 ON 所在的直线恰好平分锐角AOC，求 t的值
24、。【练习 2】如图，点 O 为直线 AB 上一点，过 O 点作射线 OC，使AOC：BOC=1：2 ，将一直角三角板的直角顶点放在点 O 处，一边 OM 在射线 OB 上，另一边 ON 在直线 AB 的下方。（1 ）将图中的三角板绕点 O 按逆时针方向旋转至图的位置，使得 ON 落在射线 OB 上，此时三角板旋转的角度为_度。（2 ）继续将图中的三角板绕点 O 按逆时针至图的位置，使得 ON 在AOC 的内部。试探究AOM 与 NOC 之间满足什么等量关系，并说明理由。（3 ）在上述直角三角板从图开始绕点 O 按 30每秒的速度逆时针旋转 270的过程中，是否存在 OM 所在直线平分BOC 和
25、AOC 中的一个角，ON 所在直线平分另一个角？若存在，直接写出旋转时间 t；若不存在，说明理由。作业：1.如图，AOD=150 ，BOC=30，BOC 绕点 O 逆时针在 AOD 的内部旋转，其中 OM平分AOC，ON 平分BOD，在 BOC 从 OB 与 OA 重合时开始到 OC 与 OD 重合时为止，以每秒 2的速度旋转过程中，有下列结论，其中正确的是（ ）（1 ）射线 OM 的旋转速度为每秒 2；（2）当AON=90时，时间为 15 秒；（3）MON的大小为 60。A.（1） （2） （3） B.（2） （3 ） C.（1） （2） D.（3 ）2.已知AOB=110 ，COD=40，
26、OE 平分AOC，OF 平分BOD。（1 ）如图所示，当 OB、OC 重合时，求AOE-BOF 得值；（2 ）当COD 从图示位置绕点 O 以每秒 3的速度顺时针旋转 t 秒（0t10 ） ，在旋转过程中AOE-BOF 的值是否会因 t 的变化而变化？若不发生变化，请求出该定值；若发生变化，请说明理由。3.如图：（1 ）已知AOB=90，BOC=30，OM 平分AOC ，ON 平分BOC，求MON 的度数；（2 ）如果（1 ）中AOB= ，其他条件不变，求MON 得度数；（3 ）如果（1 ）中BOC= （ ） ，其他条件不变，求MON 的度数；90（4 ）从（1 ） （2 ） （3）的结果中你
27、得到什么样的规律？（5 ）线段的计算与角的计算存在着紧密的联系，它们之间可以互相借鉴解法，请你模仿（1 ）（4 ） ，设计一道以线段为背景的计算题，给出解答，并写出其中的规律。4.将一副直角三角板按如图摆放在直线 AD 上（直角三角板 OBC 和直角三角板MON，OBC=90，BOC=45，MON=90，MNO=30 ） ，保持三角板 OBC 不动，将三角板 MON 绕点 O 以每秒 8的速度顺时针方向旋转 t 秒。（1 ）如图，当 t=_秒时，OM 平分AOC，此时NOC-AOM=_；（2 ）继续旋转三角板 MON，如图 ，使得 OM、ON 同时在直线 OC 的右侧，猜想NOC与AOM 有怎
28、样的数量关系？并说明理由（数量关系中不能含 t）（3 ）直线 AD 的位置不变，若在三角板 MON 开始顺时针旋转的同时，另一个三角板 OBC也绕点 O 以每秒 2的速度顺时针旋转，当 OM 旋转至射线 OD 上时，两个三角板同时停止运动。当 t=_时，MOC=15 ；请直接写出在旋转过程中，NOC 与AOM 的数量关系（数量关系中不能含 t）.5.一副三角板如图放置，点 A、O、B 在直线 MN 上，其中BOD=30，AOC=45。（1 ）如图，OE 平分DOC，OF 平分BOC ，求EOF 的度数；（2 ）如图，若三角板 AOC 绕点 O 逆时针旋转 （ ） ，OF 平分BOC，OG06平
29、分AOD，求FOG 得度数；（3 ）若三角板 AOC 绕点 O 顺时针 （ ） ， （2）中其他18,3,45且条件不变，请直接写出FOG 的度数。C BDA C BDA EFC BA DOEFG图 图 图6.已知：O 是直线 AB 上一点，COD 是直角，OE 平分BOC。（1 ）如图，若AOC=30，求DOE 的度数；（2 ）在图中，若AOC= ，直接写出DOE 的度数（用含 的代数式表示） ；（3 ）将图中的DOE 绕顶点 O 顺时针旋转至图的位置。探究AOC 与DOE 的度数之间的关系；在AOC 的内部有一条射线 OF，满足AOC-4AOF=2BOE+ AOF，试确定AOF 与DOE 的度数之间的关系，并说明理由。
