1、13.1 不等关系学习目标 1.能用不等式(组)表示实际问题的不等关系.2.体会用数学模型刻画不等关系等实际问题的方法知识点一 不等关系思考 1 限速 40km/h 的路标，指示司机在前方路段行驶时，应使汽车的速度 v 不超过 40 km/h，用不等式如何表示？答案 v40.梳 理 我 们 可 以 用 不 等 式 (组 )来 刻 画 不 等 关 系 ， 以 下 是 常 见 的 文 字 语 言 与 数 学 符 号 之 间 的 转 换 .文字语言 数学符号大于 小于 知识点二 作差法思考 x21 与 2x 两式都随 x 的变化而变化，其大小关系并不显而易见你能想个办法，比较 x21 与 2x 的大
2、小，而且具有说服力吗？答案 作差： x212 x( x1) 20，所以 x212 x.梳理 依照下列性质：(1)a b0 ab；(2)a b0 a b；(3)a bb，则 1.()ab类型一 用不等式(组)表示不等关系命题角度 1 用不等式表示单个约束条件例 1 某种杂志原以每本 2.5 元的价格销售，可以售出 8 万本据市场调查，若单价每提高0.1 元，销售量就可能相应减少 2000 本若把提价后杂志的定价设为 x 元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于 20 万元呢？考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 设杂志社的定价为 x 元，则销售的总收入为 x 万元，
3、(8x 2.50.1 0.2)那么不等关系“销售的总收入仍不低于 20 万元”可以表示为不等式x20.(8x 2.50.1 0.2)反思与感悟 数学中的能力之一就是抽象概括能力，即能用数学语言表示出实际问题中的数量关系用不等式(组)表示实际问题中的不等关系时：(1)要先读懂题，设出未知量；(2)抓关键词，找到不等关系；(3)用不等式表示不等关系思维要严密、规范跟踪训练 1 将下列问题转化为数学模型(不求解)(1)出生大一天，终生都是哥；(2)函数 f(x)在 R 上的函数随 x 的增大而减小考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 (1)设 x(天)为弟弟的年龄，则哥
4、哥年龄为 x1，有 x1 x.(2)设任意 x1， x2R，且 x1f(x2)命题角度 2 用不等式组表示多个约束条件3例 2 某钢铁厂要把长度为 4000mm 的钢管截成 500mm 和 600mm 两种按照生产的要求，600mm 的钢管数量不能超过 500mm 钢管的 3 倍怎样写出满足上述所有不等关系的不等式呢？考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 设截得 500mm 的钢管 x 根，截得 600mm 的钢管 y 根根据题意，应有如下的不等关系：(1)截得两种钢管的总长度不超过 4000mm；(2)截得 600mm 钢管的数量不能超过 500mm 钢管数量的
5、 3 倍；(3)截得两种钢管的数量都不能为负要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：Error!反思与感悟 (1)当问题存在多个制约因素(如上例 500mm,600mm 的钢管个数)时，可以引入多个变量(如上例用两个变量 x， y)(2)当问题存在多个约束条件(如上例总长度不超过 4000mm，600mm 的钢管个数不能超过500mm 钢管个数的 3 倍等)可以用多个不等式表示不等关系(3)当多个约束条件要求同时满足时，可以用大括号“”联立这些不等式，相当于求这些不等式的解集的交集跟踪训练 2 (1)试用不等式表示第一象限内距原点距离不超过 1 的点考点 用不等式(组)表示不
6、等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 设满足条件的点 P(x， y)，则 x， y 满足：Error!(2)三角形任两边之和大于第三边解 设 ABC 三边分别为 a， b， c，则Error!类型二 作差法比较大小例 3 已知 a， b 均为正实数试利用作差法比较 a3 b3与 a2b ab2的大小考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小解 a3 b3( a2b ab2)( a3 a2b)( b3 ab2) a2(a b) b2(b a)( a b)(a2 b2)( a b)2(a b)当 a b 时， a b0， a3 b3 a2b ab2；当 a b 时，( a b)20， a b0，
7、 a3 b3a2b ab2.综上所述， a3 b3 a2b ab2.反思与感悟 比较两个实数的大小，可以求出它们的差的符号作差法比较实数大小的一般4步骤是作差恒等变形判断差的符号下结论作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式积的形式跟踪训练 3 已知 x” ， “超过”即“” ， x95， y380， z45.2已知 a b0， b bb a解析 由 a b0，知 a b， a0， a bb a.3比较( a3)( a5)与( a2)( a4)的大小考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小解 ( a3)( a5)( a2)( a4)( a22
8、 a15)( a22 a8)70ab； a b0 a b； a baxa2解析 xa2. x2 ax x(x a)0， x2ax.又 ax a2 a(x a)0， axa2. x2axa2.63甲、乙两人与用人单位签订的薪酬协议分别为：甲每月的薪酬为公差为 d 的等差数列 an；乙每月的薪酬为公比为 q 的等比数列 bn已知甲、乙第一个月的薪酬相等都是 a.第 12 个月甲的薪酬不低于乙把上述条件用不等式表示为_考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系答案 a11 d aq114若 abc 且 a b c0，则 ab 与 ac 的大小关系是_考点 实数大小的比较题点 作
9、差法比较大小答案 abac解析 由 abc 及 a b c0，知 a0， cac.5 b 克糖水中有 a 克糖( ba0)，若再添上 m 克糖( m0)，则糖水就变甜了，试根据此事实提炼一个不等式：_.考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系答案 a mb mab解析 变甜了，意味着含糖量大了，即浓度高了6四位好朋友在一次聚会上，他们按照各自的爱好选择了形状不同、内空高度相等、杯口半径相等的圆口酒杯，如图所示盛满酒后他们约定：先各自饮杯中酒的一半设剩余酒的高度从左到右依次为 h1， h2， h3， h4，则它们的大小关系正确的是_ h2h1h4； h1h2h3； h3h
10、2h1.考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系答案 解析 体积减少一半， h4应为内空高 h 的一半， h2， h1应大于 ，且 h2h1.h27若 1 a5，1 b2，则 a b 的取值范围是_考点 不等式的性质7题点 不等式的性质答案 1,6考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小解析 1 b2，2 b1，又 1 a5.1 a b6.8现有学生若干人，住若干间宿舍，如果每间住 4 人，则有 19 人没有住处；如果每间住 6人，则有一间宿舍不空也不满，若设学生有 x 人，则 x 满足的关系式为_(不需要化简)考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不
11、等关系答案 00，2n 2n 3 an1 an.二、解答题11一个盒子中红、白、黑三种球分别为 x 个、 y 个、 z 个，黑球个数至少是白球个数的一半，至多是红球个数的 ，白球与黑球的个数之和至少为 55，试用不等式(组)将题中的不等13关系表示出来考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系解 据题意可得Error!( x， y， zN)12设 x， y， zR，比较 5x2 y2 z2与 2xy4 x2 z2 的大小考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小解 5 x2 y2 z2(2 xy4 x2 z2)4 x24 x1 x22 xy y2 z22 z1(2 x1)
12、2( x y)2( z1) 20，5 x2 y2 z22 xy4 x2 z2，当且仅当 x y 且 z1 时取等号1213已知甲、乙、丙三种食物的维生素 A、B 含量及成本如下表：甲 乙 丙维生素 A(单位/kg) 600 700 400维生素 B(单位/kg) 800 400 500成本(元/kg) 11 9 4若用甲、乙、丙三种食物各 xkg、 ykg、 zkg 配成 100kg 的混合食物，并使混合食物内至少含有 56000 单位维生素 A 和 63000 单位维生素 B.试用 x， y 表示混合食物成本 c 元，并写出 x， y 所满足的不等关系考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用
13、不等式(组)表示不等关系解 依题意得 c11 x9 y4 z，又 x y z100， c4007 x5 y，9由Error! 及 z100 x y，得Error! x， y 所满足的不等关系为Error!三、探究与拓展14人类能听到的声音频率 x 不低于 80Hz 且不高于 2000Hz，用不等式表示为_考点 用不等式(组)表示不等关系题点 用不等式(组)表示不等关系答案 80 x200015有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同已知三个房间的粉刷面积(单位：m 2)分别为 x， y， z，且 x0，故方案甲的费用不是最低的；( ay bz cx)( az by cx) a(y z) b(z y)( a b)(y z)0，故方案丙的费用不是最低的；( ay bx cz)( az by cx) a(y z) b(x y) c(z x) a(y z) b(x y) c(z y y x)( a c)(y z)( b c)(x y)0，故方案丁的费用不是最低的综上所述，方案乙的费用最低
