1、1第三章 不等式1 比较实数大小的方法实数比较大小是一种常见题型，解题思路较多，广泛灵活多变，下面结合例子介绍几种比较大小的方法供同学们学习时参考1利用作差法比较实数大小方法链接：作差比较法比较两个实数大小，步骤可按如下四步进行，作差变形判断差的符号得出结论比较法的关键在于变形，变形过程中，常用的方法为因式分解法和配方法例 1 已知 ab 1；abab 1； a b 1.ab ab作商比较法的基本步骤：作商；变形；与 1 比较大小；下结论例 2 设 a0， b0，且 a b，试比较 aabb， abba，( ab) 2ab三者的大小2解 a 2bb 2a abb 2a 2b.aabbab (a
2、b)当 ab0 时， 1， a b0， 0，ab a b2 2 01， aabb(ab)ab.(ab) (ab)当 0 01， aabb(ab)a.(ab) (ab)不论 ab0 还是 0(ab) 2ab.同理：( ab) 2abba.综上所述， aabb(ab) 2abba.3构造中间值比较实数大小方法链接：由传递性知 ab， bcac，所以当两个数直接比较不容易时，我们可以找一个适当的中间值为媒介来间接地比较例 3 设 alog 3， blog 2 ， clog 3 ，则 a， b， c 的大小关系为_3 2解析 alog 3log 331， a1，blog 2 log23b， ac.21
3、2 12又 blog 2 log23 ， bc， abc.312 12答案 abc4特殊值法比较实数大小方法链接：一些比较实数大小的客观性题目，先通过恰当地选取符合题目要求的一组特例，从而确定出问题的答案这种取特殊值法往往能避重就轻，避繁从简，快速获得问题的解一些解答题，也可以先通过特例为解答论证提供方向例 4 若 0 ，最大的数应是 a1b1 a2b2.581238(注：本题还可以利用作差法比较大小，此答从略)答案 5利用函数单调性比较实数大小方法链接：有些代数式的大小比较很难直接利用不等式性质完成，可以考虑构建函数，借助函数的单调性加以判断例 5 当 0(1 a)b；(1 a)a(1 b)
4、b；(1 a)b(1 a) 2；(1 a)a(1 b)b.解析 对于，0b，(1 a)1b1b，(1 a)b(1 a)b，又函数y xb为(0，)上的单调递增函数，且 1 a1 b0，从而(1 a)b(1 b)b，(1 a)a(1 b)b，正确答案 6借助函数的图象比较实数大小方法链接：借助函数的图象比较实数大小，要从题目的条件与结论出发，着重分析其几何含义，善于构造函数图象，从图象上找出问题的结论例 6 设 a， b， c 均为正数，且 2alog 12a， blog 12b， clog 2c，则 a， b， c 的大小(12) (12)关系为_4解析 由函数 y2 x， y x， ylog
5、 2x， ylog 12x 的图象(如图所示)知 00，方程 x22 x80 有两个根 x12， x24.我们对此法熟练时，可将“二看”归纳为(x2)( x4)0.三看：口诀“大于取两边，小于取中间”“大于取两边”指“一看”中转化后的不等式符号为大于号时，其解集取根的两边：有两不等实根 x1， x2(x1x2)，其解集为 x|xx1或 xx2)，其解集为 x|x20，(一看)所以( x4)( x1)0，(二看)故不等式的解集是 x|x4 或 x0( aR)解 对于方程 x2 ax10， a24.(1)当 0，即 a2 或 a a a2 42 (2)当 0，即 a2 时，若 a2，则原不等式的解
6、集为 x|x1；若 a2，则原不等式的解集为 x|x1；(3)当 0( aR，且 a0)(a1a)解 原不等式可变形为( x a) 0，易求得方程( x a) 0 的两个解分别为 x1 a(x1a) (x 1a)和 x2 ，所以1a(1)当 a ，即 a(1,0)(1，)时，原不等式的解集为Error!；1a(2)当 a ，即 a1 时，1a若 a1，则原不等式的解集为 x|x1；6若 a1，则原不等式的解集为 x|x1；(3)当 a0 时， 1，2a所以原不等式的解集为Error!；当 a1，2a所以原不等式的解集为Error!.综上：当 a0 时，原不等式的解集为 x|x1；当 a0 时，
7、原不等式的解集为Error!；当20kx 3k 2x 2(x2)( kx3 k2)0，7当 k0 时，原不等式的解集为 x|x2；当 k0 时，( kx3 k2)( x2)0，变形为 (x2)0，(x3k 2k )因为 3 32，所以 2.3k 2k故不等式的解集为Error!.当 k0，2 .k 2k 3k 2k不等式的解集为Error!.综上所述，当 k0 时，不等式的解集为 x|x2；当 k0 时，不等式的解集为Error!；当20 对任意 xR 恒成立的等价条件是Error!或Error!例 1 已知不等式 2 对任意 xR 恒成立，求 k 的取值范围kx2 kx 6x2 x 2解 x
8、2 x2 2 0，(x12) 74原不等式等价于 kx2 kx62 x22 x4，即( k2) x2( k2) x20.当 k2 时，20，结论显然成立；当 k2 时， k 满足不等式组Error!解得 20 对一切 xR 恒成立，求实数 a 的取值范围解 设 f(x)sin 2x2 asinx a22 a2，则 f(x)(sin x a)222 a.当 a0 显 然 成 立 ， a0，解得a1 时， f(x)在 sinx1 时取到最小值，且 f(x)min a24 a3，由 a24 a30，解得a3， a1， a3.综上所述， a 的取值范围为(，1)(3，)3利用直线型函数图象的保号性求解
9、函数 f(x) kx b， x ， 的图象是一条线段，此线段恒在 x 轴上方的等价条件是Error!此线段恒在 x 轴下方的等价条件是Error!此线段与 x 轴有交点的等价条件是9f( )f( )0.例 3 已知当 x0,1时，不等式 2m10， x0,1恒成立Error!Error!ma 恒成立，求 a 的取值范围解 不等式 f(x)ax2 ax3 ax23 a(1 x)， x1,11 x1，01 x2.当 x1 时，1 x0， x23 a(1 x)对一切 aR 恒成立；当 x1 时，00， a1)的图象过区域 M 的 a 的取值范围是_解析 作二元一次不等式组的可行域如图所示，12由题意
10、得 A(1,9)， C(3,8)当 y ax过 A(1,9)时， a 取最大值，此时 a9；当 y ax过 C(3,8)时， a 取最小值，此时 a2，2 a9.答案 2,9点评 准确作出可行域，熟知指数函数 y ax的图象特征是解决本题的关键2线性规划与概率交汇例 2 两人约定下午 4 点到 5 点在某一公园见面，他们事先约定先到者等候另一个人 20 分钟，过时就离去请问这两个人能见面的概率有多大？解 用 x、 y 分别表示两人到公园的时间，若两人能见面，则有| x y|20，又0 x60,0 y60，即有Error! 作出点( x， y)的可行域如图中阴影部分，由图知，两人能见面的概率为阴
11、影部分的面积与大正方形的面积之比，所以所求概率为 P .602 4040602 59点评 这是一道几何概型的题目，关键在于确定两人能见面的时间区域，利用线性规划的思想简洁、直观、明了3线性规划与一元二次方程交汇例 3 已知方程 x2(2 a)x1 a b0 的两根为 x1， x2，且 00)，求实数 m 的取值范围解 设 AError!，B( x， y)|x2 y2 m2(m0)，则集合 A 表示的区域为图中阴影部分，集合 B 表示以坐标原点为圆心， m 为半径的圆及其内部，由 AB，得 m PO，由Error!解得Error! 即 P(3,4)， PO5，即 m5.点评 集合( x， y)|
12、x2 y2 m2(m0)的几何含义是以原点(0,0)为圆心， m 为半径的圆及其内部区域5线性规划与平面向量交汇例 5 已知 O 为坐标原点，定点 A(3,4)，动点 P(x， y)满足约束条件Error!则向量 在 上OP OA 的投影的取值范围是_14解析 画出不等式组Error!所表示的平面区域，如图中阴影部分所示，向量 在向量 上的投影为OP OA | |cos AOP| | ，OP OP OP OA |OP |OA |OP OA |OA | 3x 4y5令 z3 x4 y，易知直线 3x4 y z 过点 G(1,0)时， zmin3；直线 3x4 y z 过点 N(1,2)时， zm
13、ax11. min ， max .(3x 4y5 ) 35 (3x 4y5 ) 115答案 35， 115点评 向量 在 上的投影：| |cos ， | | .清OP OA OP OP OA OP OP OA |OP |OA |OP OA |OA | 3x 4y5楚这一点对解答本题至关重要7 运用基本不等式求最值的 7 种常见技巧在利用基本不等式求最大值或最小值时，为满足“一正、二定、三相等”的条件，需要作一些适当的变形，用到一些变换的技巧，下面举例说明1凑和为定值例 1 若 a， b， c0，且 2a b c ，则 a(a b c) bc 的最大值为_6分析 注意 a(a b c) bc(
14、a b)(a c)，而 2a b c( a b)( a c)，从而沟通了问题与已知的联系，然后利用基本不等式求最值解析 a(a b c) bc a2 ab ac bc( a2 ac)( ab bc) a(a c) b(a c)( a b)(a c) 2a b a c2 2 2 .(2a b c2 ) (62) 3215当且仅当 a b a c 时，取“” ，62 a(a b c) bc 的最大值为 .32答案 322凑积为定值例 2 设 abc0，则 2a2 10 ac25 c2的最小值是 _1ab 1aa b分析 注意到 2a2 10 ac25 c21ab 1aa b a2 ab ab a2
15、10 ac25 c21aa b 1ab ( a5 c)2然后分别利用基本不等式和平方数的性质求最aa b 1aa b (ab 1ab)值由于代数式比较复杂，要注意等号取到的条件解析 abc0，原式 a2 10 ac25 c2 a2 a2 ab ab ( a5 c)21ab 1aa b 1aa b 1ab ( a5 c)2aa b 1aa b (ab 1ab)2204，当且仅当 a(a b)1， ab1， a5 c0 时取等号即当 a ， b ， c 时，所求代数式的最小值为 4.222 25答案 43化负为正例 3 已知 x0，54 y4 x2 3231，14x 5 (5 4x 15 4x)当
16、且仅当 54 x ，即 x1 时，上式等号成立，15 4x16故当 x1 时， ymax1.4和积互“化”例 4 若正实数 x， y 满足 2x y6 xy，则 2x y 的最小值是_分析 可以利用基本不等式的变形形式 ab 2进行和或积的代换，这种代换目的是消(a b2 )除等式两端的差异，属不等量代换，带有放缩的性质解析 方法一 x0， y0， xy (2x)y 2，12 12 (2x y2 )2 x y6(2 x y)6 (2x y)2，18(2 x y)28(2 x y)480，令 2x y t， t0，则 t28 t480，( t12)( t4)0， t12，即 2x y12.方法二
17、 由 x0， y0,2x y6 xy，得xy2 6(当且仅当 2x y 时，取“”)，2xy即( )22 60，( 3 )( )0. 又 0， 3 ，即xy 2xy xy 2 xy 2 xy xy 2xy18. xy 的最小值为 18，2 x y xy6，2 x y 的最小值为 12.答案 125消元法例 5 若正实数 a， b 满足 ab a b3，则 ab 的最小值为_分析 从 ab a b3 中解出 b，即用 a 的代数式表示 b，则 ab 可以用 a 来表示，再求关于a 的代数式的最值即可解析 ab a b3， b(a1) a3. a0， b0， a10， a1. b .a 3a 1
18、ab a (a 3a 1) a2 3aa 1a 12 5a 1 4a 1( a1) 5.4a 117 a1， a1 2 4，4a 1 a 14a 1当且仅当 a1 ，即 a3 时，取等号，4a 1此时 b3， ab9. ab 的最小值为 9.答案 96平方法例 6 若 x0， y0，且 2x2 8，求 x 的最大值y23 6 2y2分析 仔细观察题目已知式中 x 与 y 都是二次的，而所求式中 x 是一次的，而且还带根号，初看让人感觉无处着手，但是如果把 x 平方，则豁然开朗，思路就在眼前了6 2y2解 ( x )2 x2(62 y2)32 x26 2y2 (1y23)3 23 2.(2x2
19、1 y232 ) (92)当 2x21 ，即 x ， y 时，等号成立y23 32 422故 x 的最大值为 .6 2y29327换元法例 7 某商品进货价每件 50 元，据市场调查，当销售价格(每件 x 元)为 500 对 xR 恒成立Error! 即Error! a1.错解 2 函数 ylg( ax22 x a)的值域为 R.代数式 ax22 x a 能取遍一切正值 44 a20，1 a1.点拨 上述解法 1 把值域为 R 误解为定义域为 R；解法 2 虽然理解题意，解题方向正确，但是忽略了 a0 时，目标函数值与直线在 y 轴上的截距同步达到最大值和最小值；当 b0， y0，且 x2 y1，求 的最小值1x 1y错解 因为 x0， y0，且 x2 y1， (x2 y)1x 1y (1x 1y)2 21x1y 2xy4 .2所以 的最小值为 4 .1x 1y 2点拨 上述解答是错误的，错因是连续两次使用基本不等式，忽视了等号成立的一致性正解 因为 x0， y0，且 x2 y1，所以 1x 1y x 2yx x 2yy12 2yx xy32 32 .2yxxy 2当且仅当 且 x2 y1，2yx xy即 x 1， y1 时，取得等号222所以 的最小值为 32 .1x 1y 2温馨点评 在多次使用基本不等式时，一定要注意等号成立的条件是否相同
