1、12.4.1 抛物线的标准方程学习目标 1.掌握抛物线的定义及焦点、准线的概念.2.掌握抛物线的标准方程及其推导过程.3.明确抛物线标准方程中 p的几何意义，能解决简单的求抛物线标准方程的问题.知识点 抛物线的标准方程思考 1 在抛物线方程中 p有何意义？抛物线的开口方向由什么决定？答案 p是抛物线的焦点到准线的距离，抛物线方程中一次项决定开口方向.思考 2 已知抛物线的标准方程，怎样确定抛物线的焦点位置和开口方向？答案 一次项变量为 x(或 y)，则焦点在 x轴(或 y轴)上.若系数为正，则焦点在正半轴上；若系数为负，则焦点在负半轴上.焦点确定，开口方向也随之确定.梳理 抛物线的标准方程有四
2、种类型图形标准方程 y22 px(p0) y22 px(p0) x22 py(p0) x22 py(p0)焦点坐标 (p2， 0) ( p2， 0) (0， p2) (0， p2)准线方程 x p2 x p2 y p2 y p21.抛物线 y22 x(p0)的焦点坐标为(1,0).( )2.到定点的距离与到定直线的距离相等的点的轨迹是抛物线.( )3.抛物线的方程都是 y关于 x的二次函数.( )4.方程 x22 py是表示开口向上的抛物线.( )2类型一 求抛物线的标准方程例 1 分别根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)已知抛物线的焦点坐标是 F(0，2)；(2)准线方程为 y ；23(3
3、)焦点在 x轴负半轴上，焦点到准线的距离是 5；(4)过点 A(2,3).考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)因为抛物线的焦点在 y轴的负半轴上，且 2，则 p4.p2所以所求抛物线的标准方程为 x28 y.(2)因为抛物线的准线平行于 x轴，且在 x轴上面，且 ，则 p .p2 23 43所以所求抛物线的标准方程为 x2 y.83(3)由焦点到准线的距离为 5知， p5.又焦点在 x轴负半轴上，所以所求抛物线的标准方程为 y210 x.(4)由题意知，抛物线方程可设为 y2 mx(m0)或 x2 ny(n0).将点 A(2,3)的坐标代入，得 32 m2或 22 n3， m 或
4、 n .92 43所以所求抛物线方程为 y2 x或 x2 y.92 43反思与感悟 求抛物线方程，通常用待定系数法，若能确定抛物线的焦点位置，则可设出抛物线的标准方程，求出 p值即可.若抛物线的焦点位置不确定，则要分情况讨论.焦点在 x轴上的抛物线方程可设为 y2 ax(a0)，焦点在 y轴上的抛物线方程可设为 x2 ay(a0).跟踪训练 1 分别求满足下列条件的抛物线的标准方程：(1)过点(3，4)；(2)焦点在直线 x3 y150 上，且焦点在坐标轴上；(3)焦点到准线的距离为 .23考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 (1)方法一 点(3，4)在第四象限，设抛物线的标准方程为
5、y22 px(p0)或x22 p1y(p10).把点(3，4)分别代入 y22 px和 x22 p1y，得(4) 22 p3,322 p1(4)，即 2p ，2 p1 .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x或 x2 y.163 94方法二 点(3，4)在第四象限，设抛物线的方程为 y2 ax(a0)或 x2 by(b0).把点(3，4)分别代入，可得 a ， b .163 94所求抛物线的标准方程为 y2 x或 x2 y.163 94(2)令 x0，得 y5；令 y0，得 x15，抛物线的焦点坐标为(0，5)或(15,0).所求抛物线的标准方程为 x220 y或 y260 x.(3)由
6、焦点到准线的距离为 ，得 p ，2 2故所求抛物线的标准方程为 y22 x或 y22 x或 x22 y或 x22 y.2 2 2 2类型二 求抛物线的焦点坐标及准线方程例 2 已知抛物线的方程如下，求其焦点坐标和准线方程：(1)y26 x； (2)3 x25 y0；(3)y4 x2； (4) y2 a2x(a0).考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 (1)由方程 y26 x知，抛物线开口向左，2p6， p3， ，p2 32所以焦点坐标为 ，准线方程为 x .(32， 0) 32(2)将 3x25 y0 变形为 x2 y，53知抛物线开口向下，2 p ， p ， ，53 56 p2
7、512所以焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0， 512) 5124(3)将 y4 x2变形为 x2 y，14可知抛物线开口向上，2 p ， p ， ，14 18 p2 116所以焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，116) 116(4)由方程 y2 a2x(a0)知，抛物线开口向右，2p a2， p ， ，a22 p2 a24所以焦点坐标为 ，准线方程为 x .(a24， 0) a24引申探究若将本例(4)中条件改为 y ax2(a0)，结果又如何？解 y ax2可变形为 x2 y，1a所以焦点坐标为 ，准线方程为 y .(0，14a) 14a反思与感悟 如果已知抛物线的标准方程，求它的焦
8、点坐标、准线方程时，首先要判断抛物线的对称轴和开口方向.一次项的变量若为 x(或 y)，则 x轴(或 y轴)是抛物线的对称轴，一次项系数的符号决定开口方向.跟踪训练 2 若抛物线 y22 px的焦点坐标为(1,0)，则 p_，准线方程为_.考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 2 x1解析 由 1 知， p2，则准线方程为 x 1.p2 p2类型三 抛物线定义的应用命 题 角 度 1 与 抛 物 线 有 关 的 轨 迹 方 程例 3 若位 于 y轴 右 侧 的 动 点 M到 F 的 距 离 比 它 到 y轴 的 距 离 大 ， 求 点 M的 轨 迹 方 程 .(12， 0) 12考
9、点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 由于位于 y轴右侧的动点 M到 F 的距离比它到 y轴的距离大 ，所以动点 M到 F(12， 0) 12的距离与它到直线 l： x 的距离相等.由抛物线的定义知，动点 M的轨迹是以 F为(12， 0) 125焦点， x 为准线的抛物线，其方程应为 y22 px(p0)的形式，而 ，所以12 p2 12p1,2 p2，故点 M的轨迹方程为 y22 x(x0).反思与感悟 满足抛物线的定义，可直接利用定义写出轨迹方程，避免了繁琐的化简.跟踪训练 3 平面上动点 P到定点 F(1,0)的距离比点 P到 y轴的距离大 1，求动点 P的轨迹方程.考点 抛物线
10、的标准方程题点 抛物线方程的应用解 由题意知，动点 P到定点 F(1,0)的距离比到 y轴的距离大 1.由于点 F(1,0)到 y轴的距离为 1，故当 x2，所以点 B在抛物线内部.过点 B作 BQ垂直于准线，垂足为点3Q，交抛物线于点 P1，连结 P1F.此时，由抛物线定义知， P1Q P1F.所以 PB PF P1B P1Q BQ314，即 PB PF的最小值为 4.反思与感悟 解决最值问题：在抛物线中求解与焦点有关的两点间距离和的最小值时，往往用抛物线的定义进行转化，即化折线为直线来解决最值问题.跟踪训练 4 已知直线 l1：4 x3 y60 和直线 l2： x1，抛物线 y24 x上一
11、动点 P到6直线 l1和直线 l2的距离之和的最小值是_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 2解析 由题意知，直线 l2： x1 为抛物线 y24 x的准线.由抛物线的定义知，点 P到 l2的距离等于点 P到抛物线的焦点 F(1,0)的距离，故所求最值可转化为在抛物线 y24 x上找一个点 P，使得点 P到点 F(1,0)和到直线 l1的距离之和最小，最小值为 F(1,0)到直线l1：4 x3 y60 的距离，即 d 2.|4 0 6|51.抛物线 y x2的准线方程是_.14考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 y1解析 由 y x2，得 x24 y，则抛物线的焦点
12、在 y轴正半轴上，且 2p4，即 p2，因此14准线方程为 y 1.p22.设抛物线 y28 x上一点 P到 y轴的距离是 4，则点 P到该抛物线焦点的距离是_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 6解析 抛物线 y28 x的准线方程为 x2，则点 P到准线的距离是 6.由抛物线的定义可知，点 P到抛物线焦点的距离是 6.3.根据下列条件写出抛物线的标准方程：(1)准线方程为 x1._.(2)焦点在 x轴的负半轴上，焦点到准线的距离是 2._.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 (1) y24 x (2) y24 x解析 (1) x 1， p2.p2又焦点在 x轴上，则抛
13、物线的标准方程为 y24 x.7(2)焦点到准线的距离为 p2，且焦点在 x轴的负半轴上，抛物线的标准方程为y24 x.4.若椭圆 1( p0)的左焦点在抛物线 y22 px的准线上，则 p为_.x23 4y2p2考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 6解析 由题意知，左焦点为 ，则 c .(p2， 0) p2 a23， b2 ，3 ，得 p .p24 p24 p24 65.若抛物线 y22 px(p0)上有一点 M，其横坐标为9，它到焦点的距离为 10，求抛物线方程和 M点的坐标.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点坐标解 由抛物线定义，设焦点为 F .(p2， 0)则该抛物线的
14、准线方程为 x .由题意设点 M到准线的距离为 MN，p2则 MN MF10，即 (9)10， p2.p2故抛物线方程为 y24 x.将 M(9， y0)代入抛物线方程，得 y06. M点的坐标为(9,6)或(9，6).1.焦点在 x轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 y2 mx(m0)，此时焦点坐标为F ，准线方程为 x ；焦点在 y轴上的抛物线，其标准方程可以统设为 x2 my(m0)，(m4， 0) m4此时焦点坐标为 F ，准线方程为 y .(0，m4) m42.设 M是抛物线上一点，焦点为 F，则线段 MF叫做抛物线的焦半径.若 M(x0， y0)在抛物线y22 px(p0)上，则根
15、据抛物线的定义，抛物线上的点到焦点的距离和到准线的距离可以相互转化，所以焦半径 MF x0 .p23.对于抛物线上的点，利用定义可以把其到焦点的距离转化为到准线的距离，也可以把其到准线的距离转化为到焦点的距离，因此可以解决有关距离的最值问题.8一、填空题1.经过点 P(4，2)的抛物线的标准方程为_.考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程答案 y2 x或 x28 y解析 点 P在第四象限，抛物线开口向右或向下.当开口向右时，设抛物线方程为 y22 p1x(p10)，则(2) 28 p1， p1 ，12抛物线方程为 y2 x.当开口向下时，设抛物线方程为 x22 p2y(p20)，则 424
16、p2， p24，抛物线方程为 x28 y.2.已知抛物线 y22 px(p0)的准线经过点(1,1)，则该抛物线的焦点坐标为_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线的定义求点的坐标答案 (1,0)解析 抛物线 y22 px(p0)的准线方程为 x .由题设知 1，即 p2，故焦点坐p2 p2标为 .(1， 0)3.若抛物线 y22 px的焦点与椭圆 1 的右焦点重合，则 p_.x26 y22考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 4解析 a26， b22， c2 a2 b24， c2，即椭圆的右焦点为(2,0)， 2，即 p4.p24.若抛物线 y ax2的准线方程是 y2，则 a_.考
17、点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 189解析 y ax2可化为 x2 y.1a准线方程为 y2， a0).由定义知点 P到准线的距离为 4，故 24， p4， x28 y.将点 P的坐标代入 x28 y，得 m4.p26.已知抛物线 y22 px(p0)的准线与圆( x3) 2 y216 相切，则 p的值为_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点坐标答案 2解析 抛物线 y22 px的准线方程为 x ，它与圆相切，所以必有 3 4，所以p2 ( p2)p2.7.设抛物线 y22 px(p0)的焦点为 F，点 A(0,2).若线段 FA的中点 B在抛物线上，则 B到该抛物线准线
18、的距离为_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离答案 324解析 抛物线的焦点 F的坐标为 ，线段 FA的中点 B的坐标为 ，代入抛物线方程(p2， 0) (p4， 1)得 12 p ，解得 p ，故点 B的坐标为 ，故点 B到该抛物线准线的距离为 p4 2 (24， 1) 24 .22 3248.过抛物线 y24 x的焦点 F的直线交该抛物线于 A， B两点.若 AF3，则 BF_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求距离10答案 32解析 抛物线 y24 x的准线为 x1，焦点为 F(1,0)，设 A(x1， y1)， B(x2， y2).由抛物线的定义可知 AF x113，所以
19、x12，所以 y12 ，由抛物线关于 x轴对称，假设2A(2,2 ).由 A， F， B三点共线可知直线 AB的方程为 y02 (x1)，代入抛物线方程消2 2去 y，得 2x25 x20，求得 x2 或 ，所以 x2 ，故 BF .12 12 329.O为坐标原点， F为抛物线 C： y24 x的焦点， P为抛物线 C上一点，若 PF4 ，则2 2POF的面积为_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求点坐标答案 2 3解析 抛物线 C的准线方程为 x ，焦点 F( ，0).由 PF4 及抛物线的定义知， P2 2 2点的横坐标为 xP3 ，从而纵坐标为 yP2 .2 6 S POF OF|
20、yP| 2 2 .12 12 2 6 310.已知点 P是抛物线 y22 x上的一个动点，则点 P到点(0,2)的距离与点 P到抛物线准线的距离之和的最小值为_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 172解析 抛物线 y22 x的焦点坐标为 F ，准线是 x .由抛物线的定义知，点 P到焦(12， 0) 12点 F的距离等于它到准线 x 的距离.因此要求点 P到点(0,2)的距离与点 P到抛物线准12线的距离之和的最小值，可以转化为求点 P到点(0,2)的距离与点 P到焦点 F的距离之和的最小值.结合图形(图略)不难得出相应的最小值等于焦点 F到点(0,2)的距离，因此所求距离之和
21、的最小值为 .(12)2 22 17211.已知 P为抛物线 y24 x上一个动点， Q为圆 x2( y4) 21 上一个动点，则点 P到点 Q的距离与点 P到抛物线准线的距离之和的最小值是_.考点 抛物线的定义题点 由抛物线定义求最值答案 117解析 点 P到抛物线准线的距离等于点 P到抛物线焦点 F(1,0)的距离.圆心坐标是(0,4)，11圆心到抛物线焦点的距离为 ，即圆上的点 Q到抛物线焦点的距离的最小值是 1.17 17二、解答题12.已知抛物线的顶点在原点，它的准线过 1 的一个焦点，且与 x轴垂直.又抛物线x2a2 y2b2与此双曲线交于点 ，求抛物线和双曲线的方程 .(32，
22、6)考点 抛物线的标准方程题点 求抛物线方程解 因为交点在第一象限，抛物线的顶点在原点，其准线垂直于 x轴，所以可设抛物线方程为 y22 px(p0).将点 代入方程，得 p2，所以抛物线方程为 y24 x，准线方程为(32， 6)x1.由此知双曲线方程中 c1，焦点为(1,0)，(1,0)，点 到两焦点的距离之差(32， 6)为 2a1，所以双曲线的标准方程为 1.x214y23413.已知抛物线 C的顶点在原点，焦点 F在 x轴的正半轴上，设 A， B是抛物线 C上的两个动点( AB不垂直于 x轴)，且 AF BF8，线段 AB的垂直平分线恒经过点 Q(6,0)，求抛物线的方程.考点 抛物
23、线的标准方程题点 求抛物线方程解 设抛物线的方程为 y22 px(p0), 则其准线方程为 x .设 A(x1， y1)， B(x2， y2)，p2 AF BF8， x1 x2 8，p2 p2即 x1 x28 p. Q(6,0)在线段 AB的中垂线上， QA QB，即 ，6 x12 y12 6 x22 y22又 y 2 px1， y 2 px2，21 2( x1 x2)(x1 x2122 p)0. AB与 x轴不垂直， x1 x2.故 x1 x2122 p8 p122 p0，即 p4.抛物线方程为 y28 x.三、探究与拓展14.已知抛物线 y22 px的焦点 F与双曲线 1 的右焦点重合，抛
24、物线的准线与 x轴x27 y29的交点为 K，点 A在抛物线上，且 AK AF，则 AFK的面积为_.212考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用答案 32解析 由题意可知抛物线焦点坐标为 F(4,0).过点 A作直线 AA垂直于抛物线的准线，垂足为 A，根据抛物线定义知， AA AF，则在 AA K中， AK AA，故 KAA45，2所以直线 AK的倾斜角为 45，直线 AK的方程为 y x4，代入抛物线方程 y216 x，得y216( y4)，即 y216 y640，解得 y8.所以 AFK为直角三角形，故 AFK的面积为 8832.1215.设抛物线 C： x22 py(p0)的焦
25、点为 F，准线为 l， A为抛物线 C上一点，已知以 F为圆心， FA为半径的圆 F交 l于 B， D两点.(1)若 BFD90， ABD的面积为 4 ，求 p的值及圆 F的方程；2(2)若 A， B， F三点在同一直线 m上，直线 n与 m平行，且直线 n与抛物线 C只有一个公共点，求坐标原点到 m， n距离的比值.考点 抛物线的标准方程题点 抛物线方程的应用解 (1)由已知可得 BFD为等腰直角三角形， BD2 p，圆 F的半径 FA p.2由抛物线定义可知， A到准线 l的距离 d FA p.2因为 ABD的面积为 4 ，所以 BDd4 ，212 2即 2p p4 ，解得 p2(舍去)或
26、 p2.12 2 2所以 F(0,1)，圆 F的方程为 x2( y1) 28.(2)因为 A， B， F三点在同一直线 m上，所以 AB为圆 F的直径， ADB90.由抛物线定义知， AD FA AB，12所以 ABD30， m的斜率为 或 .33 33当 m的斜率为 时，由已知可设 n： y x b，33 33代入 x22 py，得 x2 px2 pb0.233由于直线 n与抛物线 C只有一个公共点，故 p28 pb0，解得 b .43 p6因为 m的截距 b1 ， 3，p2 |b1|b|13所以坐标原点到 m， n距离的比值为 3.当 m的斜率为 时，由图形对称性可知，坐标原点到 m， n距离的比值也为 3.33综上，坐标原点到 m， n距离的比值为 3.
