1、1习题课 导数的应用学习目标 1.能利用导数研究函数的单调性.2.理解函数的极值、最值与导数的关系.3.掌握函数的单调性、极值与最值的综合应用.知识点一 函数的单调性与其导数的关系定义在区间( a， b)内的函数 y f(x)f( x)的正负 f(x)的单调性f( x)0 单调递增f( x)0，右侧 f( x)0，那么 f(x0)是极小值.知识点三 函数 y f(x)在 a， b上最大值与最小值的求法1.求函数 y f(x)在( a， b)内的极值.2.将函数 y f(x)的极值与端点处的函数值 f(a)， f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.1.函数 y xlnx 在
2、上是减函数.( )(0，1e)2.若函数 y axln x 在 内单调递增，则 a 的取值范围为(2，).( )(12， )3.设函数 f(x) x(x c)2在 x2 处有极大值，则 c2.( )4.函数 f(x) x(1 x2)在0,1上的最大值为 .( )2392类型一 导数与函数单调性命 题 角 度 1 讨 论 函 数 单 调 性例 1 已知函数 f(x)ln x， g(x) f(x) ax2 bx，其中 g(x)的函数图象在点(1， g(1)处的切线平行于 x 轴.(1)确定 a 与 b 的关系；(2)若 a0，试讨论函数 g(x)的单调性.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值
3、题点 利用导数研究函数的单调性解 (1)依题意得 g(x)ln x ax2 bx，则 g( x) 2 ax b.1x由函数 g(x)的图象在点(1， g(1)处的切线平行于 x 轴得 g(1)12 a b0， b2 a1.(2)由(1)得g( x) .2ax2 2a 1x 1x 2ax 1x 1x函数 g(x)的定义域为(0，)，当 a0 时， g( x) .x 1x由 g( x)0 得 0 x1，由 g( x)0 得 x1，即函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 a0 时，令 g( x)0 得 x1 或 x ，12a若 1，即 a ，由 g( x)0 得 x1 或
4、0 x ，12a 12 12a由 g( x)0 得 x1，12a即函数 g(x)在 ，(1，)上单调递增，在 上单调递减；(0，12a) (12a， 1)若 1，即 0 a ，由 g( x)0 得 x 或 0 x1，由 g( x)0 得 1 x ，12a 12 12a 12a即函数 g(x)在(0,1)， 上单调递增，在 上单调递减；(12a， ) (1， 12a)3若 1，即 a ，在(0，)上恒有 g( x)0，12a 12即函数 g(x)在(0，)上单调递增.综上可得，当 a0 时，函数 g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，)上单调递减；当 00，故 f(x)在(0，)上单调递增；当
5、 a0 时， f( x)0，故 f(x)在 上单调递减，(1 a2a， ) (0， 1 a2a)在 上单调递增.(1 a2a， )综上所述，当 a1 时， f(x)在(0，)上单调递增；当 a0 时， f(x)在(0，)上单调递减；当 00.要使 g(x)0 在1,3上恰有两个相异的实根，则Error! 解得20，得 x4. f(x)的单调递减区间为(4,4)，单调递增区间为(，4)和(4，)， f(x)极大值 f(4)128， f(x)极小值 f(4)128.(3)由(2)知，函数在1,4上单调递减，在4,5上单调递增，则 f(4)128， f(1)47， f(5)115，函数的最大值为47
6、，最小值为128.1.已知函数 f(x) x33 ax a 在(0,1)内有最小值，则 a 的取值范围为_.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的最值答案 (0,1)解析 f( x)3 x23 a3( x2 a)，显然 a0， f( x)3( x )(x )，由已知条件 02x 2x0， f(x)是增函数，当 x2 时， f( x)0；13当 1 时， f( x)0，当 x 时， f(x)有极大值为 ；当 x1 时， f(x)有极小值为 0.13 4276.若函数 y a(x3 x)的单调递增区间是 ， ，则实数 a 的取值范围为( ， 33)(33， )11_.考
7、点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性答案 (0，)解析 y a(3x21)，令 y0，得 x .由函数 y a(x3 x)的单调递增区间是33， ，得导函数 y a(3x21)的图象是开口向上的抛物线，所以 a0.( ， 33)(33， )7.若函数 f(x) x3 ax2( a1) x1 在区间(1,4)上为减函数，在区间(6，)上为增13 12函数，则实数 a 的取值范围为_.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的单调性答案 5,7解析 函数 f(x)的导数 f( x) x2 ax a1.令 f( x)0，解得 x1 或 x a
8、1.当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(1，)上为增函数，不合题意.当 a11，即 a2 时，函数 f(x)在(，1)上为增函数，在(1， a1)上为减函数，在(a1，)上为增函数.依题意有当 x(1,4)时， f( x)0，当 x(6，)时， f( x)0，所以 4 a16，即 5 a7，所以 a 的取值范围为5,7.8.已知函数 f(x) x3 ax24 在 x2 处取得极值，若 m， n1,1，则 f(m) f( n)的最小值是_.考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用答案 13解析 由题意求导得 f( x)3 x22 ax，由函数 f(x)在 x2 处取得极值知 f(2)0，
9、即342 a20， a3.由此可得 f(x) x33 x24， f( x)3 x26 x，易知 f(x)在(1,0)上单调递减，在(0,1)上单调递增，当 m1,1时， f(m)min f(0)4.又 f( x)3 x26 x 的图象开口向下，且对称轴为 x1，12当 n1,1时， f( n)min f(1)9.故 f(m) f( n)的最小值为13.9.若函数 f(x) x33 ax b(a0)的极大值为 6，极小值为 2，则 f(x)的单调递减区间是_.考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用答案 (1,1)解析 令 f( x)3 x23 a0，得 x ，a则 f(x)， f( x)随 x
10、 的变化情况如下表：x ( ， )a a ( ， )a a a ( ，)af( x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 从而Error! 解得Error!所以 f(x)的单调递减区间为(1,1).10.设函数 f(x) ax33 x1( xR)，若对于任意的 x(0,1都有 f(x)0 成立，则实数 a的取值范围为_.考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用答案 4，)解析 x(0,1， f(x)0 可化为 a .3x2 1x3令 g(x) ，则 g( x) ，3x2 1x3 31 2xx4令 g( x)0，得 x .12当 00；12当 0)，12x 32则 f( x) 1x 12x2 32
11、 .3x2 2x 12x2 3x 1x 12x2令 f( x)0，解得 x11， x2 (舍去).13当 x(0,1)时， f( x)0，故 f(x)在(1，)上为增函数.故 f(x)在 x1 处取得极小值 f(1)3.12.已知函数 f(x) axln x，其中 a 为常数.(1)当 a1 时，求 f(x)的最大值；(2)若 f(x)在区间(0，e上的最大值为3，求 a 的值.考点 利用导数研究函数的单调性、极值与最值题点 利用导数研究函数的最值解 (1)当 a1 时， f(x) xln x，f( x)1 ，1x 1 xx当 00；当 x1 时， f( x)0，1e即 a 0，得 0 ，且当
12、 x1,4 a时，| f( x)|12 a 恒成立，试确定 a 的取值范围.14考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 (1)当 a1 时， f(x) x33 x29 x1，且 f( x)3 x26 x9，由 f( x)0，解得 x1 或 x3.当 x0；当13 时， f( x)0.因此 x3 是函数的极小值点，极小值为 f(3)26.(2)f( x)3 x26 ax9 a2的图象是一条开口向上且对称轴为直线 x a 的抛物线，因此，若 1，则| f( a)|12 a212a，故当 x1,4 a时，| f( x)|12 a 不恒成立.15所以使| f( x)|12 a(x1,4 a)恒成立
13、的 a 的取值范围为 .(14， 45三、探究与拓展14.设 f(x) x3 x， xR，若当 0 时， f(msin ) f(1 m)0 恒成立，则实数 m 2的取值范围为_.考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用答案 (，1)解析 因为 f(x) x3 x， xR，故 f( x)3 x210，则 f(x)在 xR 上为单调增函数，又因为 f( x) f(x)，故 f(x)也为奇函数，由 f(msin ) f(1 m)0，即 f(msin ) f(1 m) f(m1)，得 msin m1，即 m(sin 1)1，因为 0 ， 2故当 时，01 恒成立； 2当 时， m0)上的最小值；(2)
14、若函数 y f(x)与 y g(x)的图象恰有一个公共点，求实数 a 的值；(3)若 函 数 y f(x) g(x)有 两 个 不 同 的 极 值 点 x1， x2(x1ln 2， 求 实 数 a 的 取值 范 围.考点 导数的综合应用题点 导数的综合应用解 (1)令 f( x)ln x10 得 x ，1e当 00)，则 h( x) 1 (x2)( x1)( x0)，2x 1x 2x2 x2 x 2x2 1x2易知 h(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以 a h(x)min h(1)3.(3)由题意得， y f(x) g(x) xlnx x2 ax2，则其导函数为 yln
15、x2 x1 a，由题意知 yln x2 x1 a0 有两个不同的实根 x1， x2，等价于 aln x2 x1 有两个不同的实根 x1， x2，且 x10)的图象有两个不同的交点.由 G( x) 2( x0)，得 G(x)在 上单调递减，在 上单调递增，1x (0， 12) (12， )画出函数 G(x)图象的大致形状(如图).由图象易知，当 aG(x)min G ln2 时， x1， x2存在，且 x2 x1的值随着 a 的增大而增大.(12)而当 x2 x1ln2 时，则有Error!两式相减可得 ln 2( x2 x1)2ln2，x2x1得 x24 x1，代入上述方程组解得 x1 ， x2 ln2，ln23 43此时实数 a ln2ln 1，23 (ln23)所以实数 a 的取值范围为 .(23ln2 ln(ln23) 1， )
