1、12.5 圆锥曲线的共同性质学习目标 1.理解并会运用圆锥曲线的共同性质，解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题和实际问题.2.了解圆锥曲线的统一定义，掌握圆锥曲线的离心率、焦点、准线等概念.知识点 圆锥曲线的共同性质思考 圆锥曲线有怎样的共同性质？如何研究圆锥曲线的共同性质？答案 如图，过点 M 作 MH l， H 为垂足，由圆锥曲线的统一定义可知 M M|FM eMH.取过焦点 F，且与准线 l 垂直的直线为 x 轴， F(O)为坐标原点，建立直角坐标系.设点 M 的坐标为( x， y)，则OM .x2 y2设直线 l 的方程为 x p，则 MH| x p|.把，代入 OM eMH，得 e|
2、x p|.x2 y2两边平方，化简得(1 e2)x2 y22 pe2x p2e20.这就是圆锥曲线(椭圆、双曲线、抛物线)在直角坐标系中的共同性质.梳理 (1)圆锥曲线上的点到一个定点 F 和到一条定直线 l(F 不在定直线 l 上)的距离之比等于常数 e.当 01 时，它表示双曲线；当 e1 时，它表示抛物线.其中 e 是圆锥曲线的离心率，定点 F 是圆锥曲线的焦点，定直线 l 是圆锥曲线的准线.(2)椭圆 1( ab0)的准线方程为 x ， 1( ab0)的准线方程为 y .x2a2 y2b2 a2c y2a2 x2b2 a2c双曲线 1( a0， b0)的准线方程为 x ，双曲线 1(
3、a0， b0)的准线方x2a2 y2b2 a2c y2a2 x2b2程为 y .a2c1.若平面内动点 P 到定点 F 的距离和它到一条定直线 l 的距离的比是一个常数 e(e0)，则动点 P 的轨迹是圆锥曲线.( )2.双曲线 x2 y21 的准线方程为 x .( )223. 1 上的点到左准线的距离是 ，则该点到右准线的距离是 8.( )x225 y29 9224.点 M(x， y)与定点 F(4,0)的距离和它到直线 l： x 的距离的比是常数 ，则点 M 的轨迹254 45为 1.( )x225 y29类型一 已知准线求圆锥曲线的方程例 1 双曲线的中心在原点，焦点在坐标轴上，两准线间
4、的距离为 4，且经过点 A(2 ，3)，6求双曲线的方程.考点 准线题点 由准线等条件求曲线方程解 (1)若焦点在 x 轴上，设双曲线的方程为 1( a0， b0)，由已知得Error!x2a2 y2b2 a22 c， b2 c2 a2 c22 c.代入 1，整理得 c214 c330，24a2 9b2 c3 或 c11. a26， b23 或 a222， b299.双曲线的方程为 1 或 1.x26 y23 x222 y299(2)若焦点在 y 轴上，设双曲线的方程为 1( a0， b0).由已知得 1.y2a2 x2b2 9a2 24b2将 a22 c， b2 c22 c 代入 1 得，9
5、a2 24b22c213 c660， 0， b0)，因为抛物线 y24 x 的焦点坐x2a2 y2b2标为(1,0)，由此可得 a1.由 ，得 c2.所以 b2 c2 a23，于是双曲线的方程为a2c 12x2 1，其渐近线方程为 xy0.y23 31.在学习圆锥曲线的统一定义时，应注意与前面学过的椭圆、双曲线和抛物线的定义、标准方程、几何性质相联系，以提高自己综合应用知识的能力和解题的灵活性.2.在已知准线方程时，一般转化为 的数量关系，结合其他条件求出基本量 a， b， c.若是a2c求方程，可由准线的位置来确定标准方程的类型.3.根据圆锥曲线的统一定义，可把圆锥曲线上的点到焦点的距离转化
6、为到对应准线的距离，8这是一个非常重要的转化方法，可简化解题过程.9一、填空题1.若椭圆的离心率为 ，准线方程为 x8，则椭圆的标准方程为_.22考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程答案 1x232 y216解析 由准线方程为 x8，可知椭圆的焦点在 x 轴上.设所求椭圆的标准方程为 1( ab0).x2a2 y2b2由题意，得Error!解得Error!所以 b2 a2 c2321616.因此所求椭圆的标准方程为 1.x232 y2162.已知椭圆 1 上一点 P 到椭圆的左准线的距离为 10，则点 P 到椭圆的右焦点的距x2100 y236离为_.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲
7、线方程答案 12解析 椭圆 1 的离心率 e .根据椭圆的第二定义，得点 P 到椭圆的左焦点的距离x2100 y236 45为 10e8.再根据椭圆的第一定义，得点 P 到椭圆的右焦点的距离为 20812.3.如果双曲线 1 上一点 P 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 P 到 y 轴的距离是x24 y22_.考点 准线题点 准线方程的运用答案 463解析 由题意可知 a2， b ， c ，2 6右准线方程为 x ， e .a2c 46 ca 6210设 P 到 y 轴的距离为 d，则 ，所以 d .2d 46 62 4634.与双曲线 1 有共同的渐近线，且其中一条准线的方程为 x 的双曲
8、线的标准方x29 y216 185程为_.考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程答案 1x236 y264解析 由题意，可设所求双曲线的方程为 1( 0).该双曲线的右准线方程为x29 y216x ，所以 4，所以所求双曲线的标准方程为 1.95 185 x236 y2645.若双曲线 1 的一条准线与抛物线 y28 x 的准线重合，则双曲线的离心率为x28 y2b2_.考点 准线题点 准线方程的运用答案 2解析 y28 x 的准线方程为 x2，因此，双曲线的一条准线方程为 x2，则 2.又 a28， c4.a2c e .ca 422 26.已知椭圆的一个焦点坐标为 F1(0，2 )，对应
9、的准线方程为 y ，且离心率 e 满2924足 ， e， 成等比数列，则此椭圆的方程为_.23 43考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程答案 x2 1y29解析 ， e， 成等比数列， e2 ，则 e .23 43 23 43 223设 P(x， y)是椭圆上任意一点，根据椭圆的定义，得 ，化简得x2 y 222|y 924| 223119x2 y29，即 x2 1.y297.已知双曲线 1， F 为其右焦点， A(4,1)为平面上一点， P 为双曲线上任意一点，则x24 y25PA PF 的最小值为_.23考点 共同性质题点 运用圆锥曲线统一定义求最值答案 83解析 设 P 到右准线的
10、距离为 PQ.因为 e ，所以 PF PQ，32 23即 PA PF PA PQ.23而 PA PQ 的最小值为点 A 到右准线的距离，即 4 4 ，a2c 43 83故 PA PF 的最小值为 .23 838.已知 A(1,0)， B(1,0)，点 C(x， y)满足： ，则 AC BC_.x 12 y2|x 4| 12考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 4解析 点 C 到 B(1,0)的距离与它到直线 x4 的距离之比为 ，12点 C 的轨迹是椭圆，且 ， 4，ca 12 a2c a2， c1.点 A 恰好是椭圆的另一个焦点， AC BC2 a4.9.在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
11、 C 的标准方程为 1( ab0)，右焦点为 F，右准线x2a2 y2b2为 l，短轴的一个端点为 B.设原点到直线 BF 的距离为 d1， F 到 l 的距离为 d2， 若d2 d1，则椭圆 C 的离心率为_.6考点 共同性质题点 共同性质的运用12答案 33解析 依题意， d2 c .a2c b2c又 BF a，所以 d1 .c2 b2bca由已知可得 ，b2c 6 bca所以 c2 ab，即 6c4 a2(a2 c2)，6整理可得 a23 c2，所以离心率 e .ca 3310.已知 F 是椭圆 C 的一个焦点， B 是短轴的一个端点，线段 BF 的延长线交椭圆 C 于点 D，且 2 ，
12、则椭圆 C 的离心率为_.BF FD 考点 共同性质题点 共同性质的运用答案 33解析 设椭圆 C 的焦点在 x 轴上，如图所示，B(0， b)， F(c,0)， D(xD， yD)，则 BF a.b2 c2作 DD1 y 轴于点 D1，则由 2 ，得 ，BF FD OFDD1 BFBD 23所以 DD1 OF ，即 xD .32 3c2 3c2由圆锥曲线的统一定义，得 FD e a .(a2c 3c2) 3c22a又由 2 ，得 a2 a ，BF FD 3c2a整理得 ，即 e2 ，c2a2 13 13所以 e (舍去)或 e .33 33二、解答题11.已知椭圆 1， P 为椭圆上的一点，
13、 F1， F2为左、右两个焦点，若x225 y216PF1 PF221，求点 P 的坐标.考点 共同性质13题点 共同性质的运用解 设点 P 的坐标为( x， y).椭圆 1， a5， b4， c3.x225 y216 e ，准线方程为 x .35 253由圆锥曲线的统一定义知，PF1 ed1 x5，35(x 253) 35PF2 ed2 5 x.35(253 x) 35 PF1 PF221， 21，(35x 5) (5 35x)解得 x ，代入椭圆的方程，得 y .259 8149点 P 的坐标为 或 .(259， 8149 ) (259， 8149 )12.已知 A， B 为椭圆 1 上的
14、两点， F2是椭圆的右焦点，若 AF2 BF2 a， AB 的中x2a2 25y29a2 85点 M 到椭圆的左准线的距离为 ，试确定该椭圆的方程.32考点 准线题点 由准线等条件求圆锥曲线方程解 由椭圆的方程，可得 b a，则 c a， e ，两准线间的距离为 a.35 45 45 52设 A， B 两点到右准线的距离分别是 dA， dB，则 ，AF2dA BF2dB 45 AF2 BF2 (dA dB) a，45 85 dA dB2 a，则 AB 的中点 M 到椭圆右准线的距离为 a，于是点 M 到左准线的距离为 a a ，解得 a1，52 32故椭圆的方程为 x2 1.25y2913.设
15、椭圆 1( ab0)的左、右焦点分别为 F1， F2，离心率 e ，点 F2到右准线 lx2a2 y2b2 22的距离为 .214(1)求 a， b 的值；(2)设 M， N 是 l 上的两个动点， 0，F1M F2N 证明：当| |取最小值时， 0.MN F2F1 F2M F2N 考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)解 因为 e ， F2到 l 的距离 d c，ca a2c所以由题设得Error!解得 c ， a2.2由 b2 a2 c22，得 b .2故 a2， b .2(2)证明 由 c ， a2 得 F1( ，0)， F2( ，0)， l 的方程为 x2 ，故可设2 2 2 2M(
16、2 ， y1)， N(2 ， y2).2 2由 0F1M F2N 知(2 ， y1)(2 ， y2)0，2 2 2 2得 y1y26，所以 y1y20， y2 .6y1| | y1 y2| | y1| 2 ，MN |y1 6y1| 6|y1| 6当且仅当 y1 时，上式取等号，此时 y2 y1，6所以， (2 ，0)( ， y1)( ， y2)(0， y1 y2)0.F2F1- - F2M F2N 2 2 2三、探究与拓展14.已知双曲线 1 的左、右焦点分别为 F1， F2，点 P 在双曲线的右支上，且x2a2 y2b2PF14 PF2，则此双曲线离心率 e 的最大值为_.考点 共同性质题点
17、 共同性质的运用答案 53解析 设 P 点坐标为 P(x0， y0)，由圆锥曲线的统一定义得 e ，PF1x0 a2cPF2x0 a2c把 PF14 PF2代入则有 x0 4 ，a2c (x0 a2c)15整理得 3 x0.5a2c x0 a， e ，ca 53离心率 e 的最大值为 .5315.已知椭圆 1 上不同的三点 A(x1， y1)， B ， C(x2， y2)与焦点 F(4,0)的距离x225 y29 (4， 95)成等差数列.(1)求证： x1 x28；(2)若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴交于点 T，求直线 BT 的斜率.考点 共同性质题点 共同性质的运用(1)证明 由已知
18、得 a5， b3， c4， e .45因为 AF a ex15 x1， CF a ex25 x2， BF5 4 ，且 AF CF2 BF，45 45 45 95所以 ，即 x1 x28.(545x1) (5 45x2) 185(2)解 因为 A(x1， y1)， C(x2， y2)在椭圆上，所以 1，x2125 y219 1，x225 y29由得 y y (x1 x2)(x1 x2) (x1 x2)(y1 y2).21 2925 7225又因为线段 AC 的中点为 ，(4，y1 y22 )所以线段 AC 的垂直平分线的方程为y (x4).y1 y22 x1 x2y1 y2又因为点 T 在 x 轴上，则设点 T 的坐标为( x0,0)，代入得 x04 ，所以 x04 .y21 y22x1 x2 3625所以直线 BT 的斜率 k . 95x0 4 54故直线 BT 的斜率为 .54
