1、1第三章 不等式章末复习学习目标 1.整合知识结构，进一步巩固、深化所学知识.2.能熟练利用不等式的性质比较大小、变形不等式、证明不等式.3.体会“三个二次”之间的内在联系在解决问题中的作用.4.能熟练地运用图解法解决线性规划问题.5.会用基本不等式证明不等式，求解最值问题1 “三个二次”之间的关系所谓三个二次，指的是二次函数图象与 x 轴的交点横坐标，即二次函数的零点；相应的一元二次方程的实根；一元二次不等式的解集端点解决其中任何一个“二次”问题，要善于联想其余两个，并灵活转化2规划问题(1)规划问题的求解步骤把问题要求转化为约束条件；根据约束条件作出可行域；对目标函数变形并解释其几何意义；
2、移动目标函数寻找最优解；解相关方程组求出最优解(2)关注非线性确定非线性约束条件表示的平面区域可类比线性约束条件，以曲线定界，以特殊点定域；常见的非线性目标函数有() ，其几何意义为可行域上任一点( x， y)与定点( a， b)连y bx a线的斜率；() ，其几何意义为可行域上任一点( x， y)与定点( a， b)的距x a2 y b2离3基本不等式利用基本不等式证明不等式和求最值的区别(1)利用基本不等式证明不等式，只需关注不等式成立的条件；(2)利用基本不等式求最值，需要同时关注三个限制条件：一正；二定；三相等21当 a0 时，( ax1)( x1)0 (x1)0.()(x1a)2目
3、标函数 z x ay，当 a0， b0”()类型一 “三个二次”之间的关系例 1 设不等式 x22 ax a20 的解集为 M，如果 M1,4，求实数 a 的取值范围考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“三个二次”的对应关系求参数值解 M1,4有两种情况：其一是 M，此时 0，下面分三种情况计算 a 的取值范围设 f(x) x22 ax a2，对方程 x22 ax a20，有 (2 a)24( a2)4( a2 a2)，当 0 时， a2.设方程 f(x)0 的两根为 x1， x2，且 x11，由Error! 可得Error!类型二 规划问题例 2 已知变量 x， y 满足约束条件Err
4、or!求 z2 x y 的最大值和最小值考点 线性目标最优解题点 求线性目标函数的最值解 如图，阴影部分(含边界)为不等式组所表示的可行域设 l0：2 x y0， l：2 x y z，则 z 的几何意义是直线 y2 x z 在 y 轴上的截距，显然，直线越往上移动，对应在 y 轴上的截距越大，即 z 越大；直线越往下移动，对应在 y 轴上的截距越小，即 z 越小上下平移直线 l0，可得当 l0过点 A(5,2)时， zmax25212；当 l0过点 B(1,1)时，zmin2113.反思与感悟 (1)因为最优解与可行域的边界斜率有关，所以画可行域要尽可能精确(2)线性目标函数的最值与纵截距不一
5、定是增函数关系，所以要关注纵截距越大， z 越大还是越小跟踪训练 2 某人承揽一项业务，需做文字标牌 4 个，绘画标牌 5 个现有两种规格的原料，甲种规格每张 3 m2，可做文字标牌 1 个，绘画标牌 2 个；乙种规格每张 2 m2，可做文字标牌 2 个，绘画标牌 1 个，求两种规格的原料各用多少张才能使得总用料面积最小考点 实际生活中的线性规划问题题点 线性规划在实际问题中的应用解 设需要甲种原料 x 张，乙种原料 y 张，则可做文字标牌( x2 y)个，绘画标牌(2 x y)个，总用料面积为 z m2，由题意可得Error!所用原料的总面积为 z3 x2 y，作出可行域如图阴影部分(含边界
6、)所示4在一组平行直线 3x2 y z 中，经过可行域内的点 A 时， z 取得最小值，直线 2x y5 和直线 x2 y4 的交点为 A(2,1)，即最优解为(2,1)所以使用甲种规格原料 2 张，乙种规格原料 1 张，可使总的用料面积最小类型三 利用基本不等式求最值命题角度 1 无附加条件型例 3 设 f(x) .50xx2 1(1)求 f(x)在0，)上的最大值；(2)求 f(x)在2，)上的最大值考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 (1)当 x0 时， f(0)0，当 x0 时，有 x 2，1x f(x) 25.50xx2 1 50x 1x当且仅当 x ，即 x1 时，
7、等号成立，1x f(x)在0，)上的最大值是 25.(2)函数 y x 在2，)上是增函数且恒为正数， f(x) 在2，)上是减1x 50x 1x函数，当 x2 时， f(x) f(2)20. f(x)在2，)上的最大值为 20.反思与感悟 利用基本不等式求最值要满足“一正、二定、三相等” ，缺一不可可以通过拼凑、换元等手段进行变形以求构造定值如“相等”的条件不具备，可以考虑用函数的单调性求解5跟踪训练 3 求函数 y x(x3)的最小值1x 3考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 y x x33， x3，1x 3 1x 3 x30， 0，1x 3 y2 35.1x 3x 3当且
8、仅当 x3，1x 3即 x4 时， y 有最小值 5.命题角度 2 有附加条件的最值问题例 4 函数 y a1 x(a0， a1)的图象恒过定点 A，若点 A 在直线 mx ny10( mn0)上，则 的最小值为_1m 1n考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 y a1 x(a0， a1)的图象恒过定点 A(1,1)，点 A 在直线 mx ny10 上， m n1，方法一 4，1m 1n m nmn 1mn 1(m n2 )2当且仅当 m n 时，取等号12方法二 ( m n) 2 22 4，1m 1n (1m 1n) nm mn nmmn当且仅当Error!即 m n
9、 时，取等号12 min4.(1m 1n)反思与感悟 当所给附加条件是一个等式时，常见的用法有两个：一个是用这个等式消元，化为命题角度 1 的类型；一个是直接利用该等式代入，或构造定值跟踪训练 4 设 x， y 都是正数，且 3，求 2x y 的最小值1x 2y6考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值解 3，1x 2y 1.13(1x 2y)2 x y(2 x y)1(2 x y)13(1x 2y) .13(4 yx 4xy) 13(4 2 yx4xy) 43 43 83当且仅当 ，即 y2 x 时，取等号yx 4xy又 3， x ， y .1x 2y 23 432 x y 的最小值
10、为 .831已知实数 x， y 满足条件Error!若目标函数 z mx y(m0)取得最大值时的最优解有无穷多个，则实数 m 的值为_考点 线性规划中的参数问题题点 无数个最优解问题答案 1解析 作出不等式组表示的平面区域如图阴影部分(包含边界)所示，由图可知当直线 y mx z(m0)与直线 2x2 y10 重合，即 m1 时，目标函数z mx y 取最大值的最优解有无穷多个2若不等式 ax2 bx20 的解集为Error!，则 a b_.考点 一元二次不等式的应用题点 已知解集求参数的值答案 137解析 2 和 是方程 ax2 bx20 的两根14Error! Error! a b13.
11、3设 ab0，则 a2 的最小值是_1ab 1aa b考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 4解析 a2 a2 ab ab 1ab 1aa b 1ab 1aa b a(a b) ab 224，1aa b 1ab当且仅当 a(a b)1 且 ab1，即 a ， b 时，取等号2221不等式的基本性质不等式的性质是不等式这一章内容的理论基础，是不等式的证明和解不等式的主要依据因此，要熟练掌握和运用不等式的性质2一元二次不等式的求解方法对于一元二次不等式 ax2 bx c0(或0，0， 0， 0(或0，0)的解集3二元一次不等式表示的平面区域的判定对于在直线 Ax By C0 同一侧
12、的所有点( x， y)，实数 Ax By C 的符号相同，取一个特殊点( x0， y0)，根据实数 Ax0 By0 C 的正负即可判断不等式表示直线哪一侧的平面区域，可简记为“直线定界，特殊点定域” 特别地，当 C0 时，常取原点作为特殊点4求目标函数最优解的方法通过平移目标函数所对应的直线，可以发现取得最优解对应的点往往是可行域的顶点，于是在填空题中关于线性规划的最值问题，可采用求解方程组代入检验的方法求解5运用基本不等式求最值时把握三个条件：“一正”各项为正数；“二定”“和”或“积”为定值；“三相等”等号一定能取到这三个条件缺一不可8一、填空题1若 a0， ab2a， abab2.010，
13、 a ab2 a(1 b2) a(1 b)(1 b)3解析 原不等式可化为 20，即 0，x 2x 3 x 8x 3即( x3)( x8)0 且 x3，解得 x8 或 x3.4若实数 x， y 满足Error!则 的取值范围是_yx 1考点 非线性目标函数的最值问题题点 求斜率型目标函数的最值答案 (，1)(1，)解析 可行域如图阴影部分， 的几何意义是区域内的点与点(1,0)连线的斜率，易求得yx 11 或 a2 a2a.126设 x， y 满足约束条件Error!若目标函数 z ax by(a0， b0)的最大值为 4，则 ab 的取值范围是_考点 线性规划中的参数问题题点 线性规划中的参
14、数问题答案 (0,4解析 作出不等式组表示的区域(如图中阴影部分所示)，由图可知，当目标函数的图象 z ax by(a0， b0)过点 A(1,1)时， z 取最大值， a b4， ab 24(当且仅当 a b2 时取等号)，又(a b2 ) a0， b0， ab(0,47已知圆 C：( x a)2( y b)21，平面区域 ：Error!若圆心 C ，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2 b2的最大值为_考点 非线性目标函数的最值问题题点 求非线性目标函数最值问题综合答案 37解析 由已知得平面区域 为 MNP 内部及边界10 圆 C 与 x 轴 相 切 ， b 1.显 然 当 圆 心 C 位
15、 于 直 线 y 1 与 x y 7 0 的 交 点 (6,1)处 时 ， |a|max 6. a2 b2的最大值为 621 237.8已知 x， y(0，)，且满足 1，则 xy 的最大值为_x3 y4考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 3解析 因为 x0， y0， 1，x3 y4所以 2 (当且仅当 ，即 x ， y2 时取等号)，即 1，解得x3 y4 x3y4 xy3 x3 y4 12 32 xy3xy3，所以 xy 的最大值为 3.9若关于 x 的方程 8x2( m1) x m70 的两根均大于 1，则 m 的取值范围是_考点 “三个二次”间对应关系的应用题点 由“
16、三个二次”的对应关系求参数范围答案 25，)解析 令 f(x)8 x2( m1) x m7.方程 8x2( m1) x m70 的两根均大于 1，由二次函数图象得Error!解得Error! m 的取值范围是25，)10函数 y 的最大值是_x 22x 5考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 24解析 设 t ，从而 x t22( t0)，则 y .x 2t2t2 111当 t0 时， y0；当 t0 时， y ，12t 1t12 2t1t 24当且仅当 2t ，即 t 时，等号成立，1t 22即当 x 时， ymax .32 2411已知 a0， b0 且 a b，则 与 a
17、 b 的大小关系是_a2b b2a考点 实数大小的比较题点 作差法比较大小答案 a ba2b b2a解析 ( a b) b a(a2b b2a) a2b b2a ( a2 b2)a2 b2b b2 a2a (1b 1a)( a2 b2) ，a bab a b2a bab又 a0， b0， a b，( a b)20， a b0， ab0， ( a b)0， a b.(a2b b2a) a2b b2a12已知 x0， y0，且 2x8 y xy0，则 xy 的最小值为_考点 基本不等式求最值题点 利用基本不等式求最值答案 64解析 xy2 x8 y2 ，16xy所以 8，xy所以 xy64，当且仅
18、当 2x8 y 且 2x8 y xy0，即 x16， y4 时，等号成立故 xy 的最小值为 64.二、解答题13已知不等式 mx2 mx10 时，若对于 x1,3不等式恒成立，只需Error! 即可，由Error!解得 m ，所以 0m .16 16当 m0 时，函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x ，若当 x1,3时不等式恒成立，12结合函数图象知只需 f(1)0 即可，解得 mR，所以 m0 符合题意综上所述，实数 m 的取值范围是 .( ，16)三、探究与拓展14 x， y 满足约束条件Error!若 z y2 ax 取得最大值的最优解不唯一，则实数 a 的值为_考点 线性规划中
19、的参数问题题点 无数个最优解问题答案 1 或12解析 作出可行域如图中阴影部分所示由 z y2 ax，得 y2 ax z.当 2a2 或 2a1，即 a1 或 a 时， z y2 ax 取得12最大值的最优解不唯一15已知正数 a， b， c 满足：5 c3 a b4 c a， b a c，求 的最大值ba考点 非线性目标函数最值问题题点 求斜率型目标函数的最值13解 题设条件可转化为Error!记 x ， y ，则Error!ac bc且目标函数为 z ，它表示区域内的点与坐标原点连线的斜率上述区域表示第一象限内yx三直线围成的如图所示的三角形及其内部由方程组Error!得交点坐标为 C ，(12， 72)此时 zmax7，即 的最大值为 7.ba
