1、减少解析几何运算量的若干方法在解决有些解析几何问题时，如果方法选择不当，往往导致计算量过大，如果不具备较高的解几运算能力，就不易得到正确的运算结果。那么如何正确地选择方法，减少解析几何题的计算量呢？下面介绍几种减少计算量的常用方法。一、 回归定义，以简驭繁圆锥曲线的许多性质是由定义派生出来的。解题时，应善于运用圆锥曲线的定义，以数形结合的思想为指导，把定量的分析有机结合起来，则可使解题计算量大为简化，使解题构筑在较高的水平上。例 1、在面积为 1 的 PMN 中， = , ,建立适当的坐标系，tgPMN21tg2P求以 M、N 为焦点且过点 P 的椭圆方程(93 年高考题)分析：在该题的题设条
2、件中，其实是给出了 PMN 的两内角的大小及它的面积。因此我们应考虑如何应用平几知识和椭圆定义将问题解决。解：建立如图 1 所示的坐标系，设所求的椭圆方程为 ，则由椭圆定义有12byax， ，过点 向 轴作垂线，垂足为 ，Pa2Nc2PxA ， 。由平面几何知识有:tgtg2A.,121,1MNAPA.3,4,3ANMP.315,2P, ， ， ，152Pa,2a432MNc2c。2cb所求的椭圆方程为 34yx说明：在上述解题过程中， 是所求椭圆的长轴长，它是减轻本题运算量的关键。PN例 2、长度为 a 的线段 AB 的两端点在抛物线 =2py(a2p0) 上运动，以 AB 的中点 C 为2
3、x圆心作圆和抛物线的准线相切，求圆的最小半径（85 年湖北省六市高考预选题） 。分析:这里其实就是要求定长弦 AB 的中点 C 到准线的最小距离。由于 AB 中点到准线的距离等于 AB 两端点到准线的距离的算术平均值，所以问题就进一步转化为求 A、B 两点到准线图 2距离之和的最小值。由抛物线的定义知：A 、B 两点到准线的距离分别等于它们到焦点的距离，所以当线段 A、B 过焦点时，A、B 两点到焦点的距离之和取得最小值 ，这时 A、B 两点到准a线的距离之和也取得最小值 ，所以点 C 到准线的距离取得最小值 。a2解：如图 2，过弦 AB 的两端分别作准线的垂线，垂足为G、H,又设圆 C 与
4、抛物线的准线切于 D,设抛物线的焦点 F,连CD、AF 、BF 。由抛物线的定义， ，且AFG.BFH a。AD21B2121上式中的等号当且仅当 AB 过焦点 F 时成立。所以圆 C 的最小半径是 a.说明：因为过抛物线焦点的弦中，弦长最小的是通径（即过焦点且与对称轴垂直的弦） ，由于通径长为 ，所以抛物线的定长弦的长度 大于等于 时，本例的上述解法才成立，如p2ap2果 时，弦 AB 就不可能经过抛物线的焦点，这时应该是当 AB 与 轴垂直时，AB 中点 yC 到准线的距离最小。设 AB 所在直线方程为 ，将它代入抛物线方程 ，得： ，myxpmx2，pmx2 ， ，故点 C 到准线 的距
5、离为 。aABp82),0(ya82所以这时圆 C 的最小半径为 例 3、设 是曲线 上三点，求证： 的垂心 也在该曲线上。1xyAB0,yxH分析：证垂心在曲线 上，故只需求 之值，而无需求 、 。0yx解： 、 、 。则 从而知1,xA2,B3,C,132kC.32xkA:H1132xy同理， .2故有 ，201320xxy 4131020323yxxy并消去 得：432y12012 2x0y二、 设而不求，整体运算在某些解析几何问题中，灵活把握曲线方程的特点，采用设而不求、整体代入、整体运算等方法，常可以简化运算过程，提高解题速度，并从中感到整体思维的和谐美。例 4、椭圆 上有两点 P、
6、Q， 是原点，若 OP、OQ 斜率之积为 。 （1）求1462yxO4证：|OP| 2+|OQ|2 为定值。 （2）求 PQ 的中点 M 的轨迹方程。解：（1）设 P、Q 的两点坐标分别为 、Q ,P、Q 分别在椭圆上，且1,yx2,y，4OPK.41,6,42121xyyx 3.,61212xy得214,621221y（3）代入（4）得 ， （1）+（2）得6 4182xy。OQP021yx（2）设 P、Q 的中点 M 的坐标为 M ，则有 ， ，,x21y21（1）+（2）+（3） 得 ，243x。2124xy即： ， 中点 M 的轨迹方程为6x8yPQ128y三、 充分运用图形几何性质，
7、简化（或避免）计算解析几何中，曲线或图形都具有某些特殊的几何性质，若能发掘并充分运用这些几何性质，往往能简化运算或避免运算。例 5、已知圆 ，动圆 与 轴相切，又与圆 外切，42:yxO轴 右 侧在 yyO过 作动圆 的切线 ，求切点 的轨迹。0,4AMAN解：设动圆 与 轴切于点 ，动圆 与定圆 切于BO点 ，切点在 ， ，故 = ，C/MCA从而 = ， 、 、 共线。由切割线定理，B（9） 。又在 中， ，N2RtB故 （10） 。由（9） 、 （10） ，知162AO。故 的轨迹为圆 （41642yx）0,yx说明：该题解题过程简捷，运算量小，主要得益于利用平几知识推导出 N例 6、已
8、知 是圆 内的一定点，以 为直角顶点作直角 ， 、,3A25yxAABC图 3在圆上。求 的中点 M 的轨迹方程。CB解：如图所示，设 ，连结 在 中， 是 的中点，yx, MAOC,RtBCM ， 。在 中， 。OA21t 22O。 。 点的轨迹方程为2C 5322yx。083xy说明：这里利用直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半，因此有 。从而不必MA22OC进行复杂的运算就可将问题解决。在初中平面几何中详细介绍过直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系以及圆的一些性质，所以在解有关直线与圆、圆与圆的有关问题时更要注意充分利用图形的几何性质，这样必将大大减少运算量。四、 用“降维法”减少计算
9、量变量的个数也称“维数” 。确定直角坐标平面上的点只需两个量，因而直角坐标平面称为二维空间；但确定直线上的点只需一个量，直线称为一维空间。某些解析几何问题能通过投影等方法化为只与横坐标（或纵坐标）有关的问题，这种把高维空间问题转化为低维空间的方法称为降维法。例 7、已知；直线 和曲线 交于 、 两点， 是这条直线mxy0142yxABP上的点，且 。求当 变化时，点 的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形（85 年2PBAP上海考题）解：设 、 、 在 轴上的射影分别是 、 、 ，,1,2, ， ，这里 是直线 的倾斜角， 。sinsin mxy45， ，即 ， （此式只与 有关）也就是2121yy
10、（1）将 代入 得：12yymx04（2） ， 。将它们代入03m321321y（1） ，得 （3）再将 代入（3）以消去 ，即得轨32y xm迹方程 。由于方程（2）当且仅当14x0 时有实根（即直线与二次曲线有交点） ，因此2 。所以所求的轨迹是夹在两条平行直线 和/31m/3 2/31xy之间的椭圆 的一部分，以及点 。xy13622yx,0例 8：如图，给出定点 和直线 ，B 是直线 上的动点， 的角平分0,aA:xllAOB线交 AB 于点 C，求点 C 的轨迹方程，并讨论方程表示的曲线类型与 值的关系。a解：设点 C 的坐标为 ，则 AC 的方程为： ，于是 Byx, xy图 4。
11、由角平分线性质知： 。设 C 在 轴上的射影为 ，于是axy1, OBAxCAC 与 CB 之比等于它们在 轴上的射影之比，即 。又由于 OBxD1a有 。21axy211axy2211axyx21xa0ya0122y点 C 的轨迹方程为： 。 （）当 时，点 C 的0yax1a轨迹为椭圆；（）当 时，点 C 的轨迹为抛物线（）当 时，点 C 的轨迹为双曲1线。说明：将 AC 与 CB 之比转化为它们在轴上的射影之比，从而转化为 A、C、B 三点横坐标有关的比值，是该例解题过程中能够减少运算量的关键。五、 利用韦达定理化繁为简某些涉及线段长度关系的问题可以通过解方程、求坐标，用距离公式计算长度
12、的方法来解；但也可以利用一元二次方程，使相关的点的同名坐标为方程的根，由韦达定理求出两根间的关系或有关线段长度间的关系。后者往往计算量小，解题过程简捷。例 9、一直线截双曲线和它的渐近线，证明夹在渐近线与双曲线间的线段相等。 （数学通报80 年第 6 期 ）2P分析：如图，要证夹在渐近线间的线段相等，即证 ，只要证CDAB，即证： ，于是只要证：AD 的中点与 BC 的中点重CDABxxDACBxx合即可证明：如图设双曲线方程为（ ） ，则它的渐近线方22bayb0,程为 设直线 与双曲线的两0xmkxy支和它的两条渐近线交于（从左到右） 、1,yA、 、 。由 ，2,B3,C4,D消去 得：
13、2bayxby。设其两02kxk根为 、 ，依韦达定理，有：14。由 ，2abmxy消去 得：02y。02kxk 图 5设其两根为 、 ，依韦达定理，有： 。因此，2x3 232kabmx，即 。由于 ，41x341x1xAB。当直线垂直于 轴时结论显然成立。43kCDCDAB说明：A、D 两点是直线与双曲线的两交点，所以将直线方程与双曲线联立，不解方程可以求出 AD 中点的坐标；而 B、C 两点是直线与双曲线两渐近线的两交点，方程是两渐近线的合成，因此只要将直线方程与两渐近线的合成方程022yaxb联立，不解方程可以求出 B、C 中点的坐标，而不必分别求直线与两条渐近线的交点。例 10、已知
14、圆 ，及直线 交于 、 ，圆的动弦 的中22ryxray0ABCD点在 上，是否存在抛物线，恒与直线 相切。ABD解：连 。令 ,则 ,OMXctgM, 。tgkctgkCD故 。xay: 02yaxtt（1）视（1）为 的一元二次方程，点 在直线t ,上 0 （2） 。由y42y4（2）知直线 上的点 在抛物线 的外部x,x区域（不含焦点的区域）或在抛物线 上。a2将 的方程 代入 中得CDctgtyay42， 。故存在抛物线0422cgxtx 016ctg恒与 相切。a六、 换元引参，功于渗透换元引参是一种重要的数学方法，特别是解析几何中的最值问题、不等式问题等换元引参，往往起到化难为易、
15、事半功倍之效。在换元过程中，还要注意代换的等价性，防止扩大或缩小原来变量的取值范围或变原题条件。例 11、已知椭圆 ， 、 是椭圆上的两点，线段 的垂直一12byax)0(aABAB平分线与 轴交于点 ，证明 （92 高考题）0,mPabmb22分析 ：要证的是不等差数列式，由此联想到正余弦函数的有界性，联想到三角换元。证明： 、 两点在椭圆 上，设 、AB12byax)0(sin,cobA， ，则sin,cobakAB中点 , ,又 ,故Msin,2cos csiinabkABMP， 的垂直平分线的方程为siiakP 图 6。 点在直线 上，其坐 2cossinico2sin axbaby
16、PM标满足上面的方程， ，202cossini amb，又 ， 且amcos1co1co。 ，又因 ， ，从而Zk,2 2s0ba0ababab2七、 选用方程适当形式，减少运算量例 12、离心率为 的圆锥曲线中，过焦点 F 的对称轴与相应准线交于 ，过 F 的弦交曲线e A于 M、N 两点，过 A 而平行于 MN 的直线交曲线于 B、C 两点。求证：（摘自数学通报 ）CBF2 15.38P解：设圆锥曲线的方程为： （1）02122pexyxeMN 的方程为： （ 为参数） （2）将（2）代入（1） ，有：sincotyxt， ，设 AC 的02cos12 pepee 22cos/eFNM方程
17、为 （ 为参数） （3）将（3）代入（1）有：ictyxt， 。oss22ecs1/2epACB。ACBFNM例 13、过椭圆 （ ）的中心 O 作互成 角的三条半径bayxb00、 、 ，求证： 为定值。1OP23 2321POP解：椭圆的普通方程化为极坐标方程：。设 与 轴所成的角为 ，由2cos/ebx题意知 、 与 轴分别成 、 的角。23x01211POP 2coscos2eb（定值） 。3由例 12、例 13 可见，方程形式的选择要适当（读者可对照数学通报85 年第 3 期第 15页的解法） 。一般地，涉及过定点的同一直线上的线段的和、差、积等问题，用直线的参数方程图 7较好；涉及
18、过圆锥曲线的焦点（或中心）的线段问题，曲线用极坐标方程为好。八、巧用圆心，避免复杂运算当我们需求解圆周上一动点到二次曲线上一动点距离的最值问题时，如用“心”去解，则可避免复杂运算，达到化繁为简的效果。例 14、己知点 P 是椭圆 上一动点，点 Q 是圆 上一动点，试1925yx 1)5(22yx求|PQ|的最大值。分析：如图 8，当点 、 、Q 不共线时，O，因此，要求 |PQ|的最大值，就1OQP应该使 达到最大，即圆 的圆心1)(22yx到椭圆上的动点 P 之间距离达到最大，将该最大值加半径就得所求。解：先求点 到椭圆 上任一点 P5,092的距离的最大值。设 ，于是 ,sin3,coP2
19、25sin3co5 PO=sin309252O 1645sin160162当 时，取最大值 ， 取最大值 ，于是 。16sin44PQ说明： 、若该题直接设 、 ，则sin3,co5Psin5,coQ是一个含有与的二元最值问题，我们不易对22sco5PQ它作进一步的运算，因此不能直接计算。、若我们从图形的特点出发，认为图 8 中 （即圆与 轴上方的交点）十分特殊，它2 0y与椭圆上点 P 的距离 ，则会产生错误， ，所以在0 10PQOP该题求解过程中， 没有利用价值。、若在例题中增加求当 达到最大值时，P、Q 两点的坐标，则应先求 P 点坐标。3的延长线与圆的交点就是达到最大值时 Q 点的坐
20、标。O、从本例题的求解过程中，可以发现圆心的作用十分突出。当我们求解这类最值时，就4应用“心”去解，才能避免复杂运算，化繁为简。练习：1、己知 为椭圆 的两个焦点，过 作椭圆的弦 AB。2,F012bayx 2F（1）求证： 的周长为常数（2）若 的周长为 16，椭圆离心率 ，求椭圆BA1BAF123e的方程。PQOQxyO图 82、已知双曲线 上的三点 、 、 的横坐标、 、 成等差数列，求证：12byax1P231x23、 、 到焦点 （右焦点）的距离也成等差数列。1P3F3、设 A，B 是抛物线 上的点，且满足px（ 是坐标原点，见图 9） 。90O求证：直线 AB 过定点，并求该定点的
21、坐标。4、在 中， ， 在直线 上移动，求 外心的轨迹方程，并说AOB3AB3xAOB明是什么图形？5、若抛物线 上存在两点关于直线2xy对称，求 的取值范围。3my6、如图 10，已知曲线 ，21:xyc，直线 ，:2xc mL、 从左到右的交点依次是 、1L与 A、 、 ，BCD（1） 求证： 是定值；A（2） 为何值时， 有最小值，最小值是mCB多少？7、如图 11 所示，己知椭圆 ，直线1624yx。P 是 上一点，射线 OP 交椭圆于点182:yxllR，又点 Q 在 OP 上且满足 ，当点2ORQP 在 上移动时，求点 Q 的轨迹方程。l8、己知：点 P 是椭圆 上一动点，点 Q
22、是圆 上一动点。试求1632yx132yx的最小值。9、己知：点 P 是抛物线 上一动点，点 Q 是圆 上一动点。试求|PQ|的42 4最小值，及达到最小值时 P、Q 的坐标。练习解答：1、 （1）证明：由椭圆定义，得 的周长= （常数）BAF1aBFA4121（2）解：由第（1）小题结论知： ， 。64a4xyOAB图 9xyP3P2P3O图 12图 10yxOQR P图 11又有 ， ， 。23ac3c422cab所求椭圆方程为 。146yx2、证明：如图 12,设点 、 、 到右准线 的距P23cx2离分别为 、 、 ，椭圆的离心率为 ，则由双曲线1d23e的第二定义，得 ，,1iexc
23、aFii，iiieP2。 ，,3131xeaF 22exaFP231x。故 、 、 成等差数列22 33、证：设 ， ，则 ， ，即 。1,yxA,yB21px90AOBOBA， ， 。过 ，21y yx21214p1,yx的直线 AB： ， ，,xBxy 2y， AB： ，2121yp 121yp,2xp, 故直线 AB 恒过定点 。x410,2p4、解：设 为 的外心， ， ，又 ，yPAOB3AB3APPBA 是等腰三角形，过 作 于 ，则 ，ABPDD。D21， 。3yx124yx外心 的轨迹为双曲线的左支。,P上述解法利用了平几知识大大减少了运算量给人耳目一新之感。5、解：如图 13
24、，设抛物线上两点 关于21,yxBA直线 对称，AB 中点为 ，显然3xmy 0MxyOAB图 13。 ， ，0mlAB1mk-21xykx221，x0211y211xx，2xm1中点 在直线 上， 。 ，AB0,yMl30xmy 32121mx-2312x由 、并根据韦达定理的逆定理知： 是方程 两相异21,x 03211t实根，有 ，即 ，整理得：003412mm。6122m01562221m6、解：本题涉及 上的线段的和、差问题， 的方程宜选用参数方程。LL设 （ 为参数）代入 中得： ， ，tmyx2: 2xy02t 21t。代入 中得： ， ，t213x3mtt 43t。图中， ，
25、， ，3401tPA02D0tPB0C（1） 为定值。CDAB423t214tt2dB433tt。令 ，则 。482mt tm102d。 。102t 1022td2t0 。当 时，有 ，从而 。故dt5549m的最小值为 ，对应的 的值为 。CDAB497、解：以直角坐标原点为极点， 轴正方向为极轴，建立极坐标系，则 。于是椭x sincoyx圆 的极坐标方程为： ，直线 的极坐标方程为：1624yx 22sin4818x；由于 ， ，cossin3ORQP 2sin48co2si34。故 Q 点的极坐标方程为： ，2i4OQin6， ，配方得：cos4sin6s2 xyyx42。这就是 Q
26、点的轨迹方程。1351yx8、解：先求圆心 到椭圆上一点距离的最小值。设 ，0,O sin4,co6P222sin4cos6P 2219s3cos6。当 时， 取最小值53051409 0PO。 取最小值 。故|PQ|最小值为 。5141229、解：设 ，圆心 。tP4,O （当 时） 。22tO142t 4324t 21t|PQ|的最小值为 。当 时，即 时，|PQ|达到最小值。3tt这时 P 点的坐标为 或 。2,（）当 P 点的坐标为 时， 与 P 所连线段与圆 相0,4O2,142yx交于 。.36,24（）当 P 点的坐标为 时， 与 P 所连线段与圆 相交2,2yx于 。,综合（） （）知：当|PQ|取最小值 时，P、Q 两点的坐标分别为 P 、Q232,或 P 、Q 。.362,42, 6,4
