1、高初中衔接教材 因式分解- 1 -第二讲 因式分解因式分解是代数式的一种重要的恒等变形，它与整式乘法是相反方向的变形在分式运算、解方程及各种恒等变形中起着重要的作用是一种重要的基本技能因式分解的方法较多，除了初中课本涉及到的提取公因式法和公式法(平方差公式和完全平方公式) 外，还有公式法(立方和、立方差公式 )、十字相乘法、分组分解法、求根公式法、配方法等等一、公式法(立方和、立方差公式) 322()abab这就是说，两个数的立方和(差)，等于这两个数的和(差)乘以它们的平方和与它们积的差(和)运用这两个公式，可以把形式是立方和或立方差的多项式进行因式分解【例 1】因式分解：(1) (2) 3
2、8x 30.1257b解：(1) .32()4)x(2) 3 20.1570.(.()bb.2()(159)说明：(1) 在运用立方和(差)公式分解因式时，经常要逆用幂的运算法则，如 ，这338(2)ab里逆用了法则 ；(2) 在运用立方和(差)公式分解因式时，一定要看准因式中各项的符号nab【例 2】因式分解：(1) (2) 348176ab解：(1) 3 22(27)(3)9)ab(2) 7663ab2222()().ab76624242222()().abb二、分组分解法从前面可以看出，能够直接运用公式法分解的多项式，主要是二项式和三项式而对于四项以上的多项式，如 既没有公式可用，也没有
3、公因式可以提取因此，可以先将多项式分组处mabn理这种利用分组来因式分解的方法叫做分组分解法分组分解法的关键在于如何分组【例 3】把 分解因式2105xybx解： .2()(5)()2ayxyab说明：用分组分解法，一定要想想分组后能否继续完成因式分解，由此合理选择分组的方法本题也可以将一、四项为一组，二、三项为一组，同学不妨一试高初中衔接教材 因式分解- 2 -【例 4】把 分解因式22()()abcdabcd解： 22acdb22()().()ccc【例 5】把 分解因式2248xyz解： 2(4)xyz.2()()(三、十字相乘法1 型的因式分解2()xpqx(1) 二次项系数是 1；(
4、2) 常数项是两个数之积；(3) 一次项系数是常数项的两个因数之和.22()()()pxqxpqxpxq因此， .()()x【例 6】因式分解：(1) (2) 276x2136x解：(1) (1)(6)(x(2) .21349【例 7】因式分解：(1) (2) 226xy22()8()1xx解：(1) .23xy(2) .22 2()8()1(6)()(3)(2)1x2一般二次三项式 型的因式分解abc大家知道， 21211212xacaxc反过来，就得到： 2()()()x我们发现，二次项系数 分解成 ，常数项 分解成 ，把 写成 ，这里按斜11212,a12c线交叉相乘，再相加，就得到 ，
5、那么 就可以分解成 2ac2abc()()xa这种借助画十字交叉线分解系数，从而将二次三项式分解因式的方法，叫做十字相乘法【例 8】因式分解：(1) (2) 215x22568xy解：(1) .(32)41x34 1(2) .22568(5)xyy5【例 9】因式分解：(1) (2)22()78xaxx512分析：用十字相乘法分解因式也要注意分解彻底，有时可能会多次使用十字相乘法，并且对于项数高初中衔接教材 因式分解- 3 -较多的多项式，应合理使用分组分解法，找公因式，如五项可以三、二组合.解：(1)原式 .)82)(1(2xx )4(2)1(x(2)原式 . 5a 53a)3(ax四、配方
6、法【例 10】因式分解 (1) （2）261x 24xy解：(1) .2 261(3)5x(8)(2) 2 244yy.()8()()xxy说明：这种设法配成有完全平方式的方法叫做配方法，配方后将二次三项式化为两个平方式，然后用平方差公式分解 五、拆(添)项法【例 11】因式分解 324x解： 32(1)(3)xx2(1) (1)3(1)xx.2 2)(x说明：一般地，把一个多项式因式分解，可按下列步骤进行：(1) 如果多项式各项有公因式，那么先提取公因式；(2) 如果各项没有公因式，那么可以运用公式法或分组分解法或其它方法(如十字相乘法)来分解；(3)因式分解必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止
