1、高考数学常用结论集锦一. 函数1.函数 的图象的对称性:()yfx函数 的图象关于直线 对称xa()()fxfa(2)(faxf. 函数 的图象关于点 对称(,)b2b2.两个函数图象的对称性:函数 与函数 的图象关于直线 (即 轴)对称.()yfxyf0y函数 与函数 的图象关于直线 对称.ma()mx2axm特殊地: 与函数 的图象关于直线 对称()ffa函数 的图象关于直线 对称的解析式为yx ()yf函数 的图象关于点 对称的解析式为 (,0)ax3. 对数的换底公式 .推论 .loglmaNllogmnab对数恒等式 （ ）logaN,14. 导数： 导数定义：f(x)在点 x0 处
2、的导数记作 ；xffxfyx )(li)(0000常见函数的导数公式: ； ； ；C1)(nn coss ； ； ； ；xsin)(coaxl)( xe 1(lg)laaex 。 导数的四则运算法则：x1l ;)( 2vuuvuv 二.数列1. 若数列 是等差数列， 是其前 n 项的和， ，那么 ， ， 成等差数列。如图所示：naS*NkkSk2kS23 k kk SkSk aaa3 232k 3121S321 其前 n 项和公式 ()nns()d1()ndn5. 若等差数列 的前 项的和为 ，等差数列 的前 项的和为 ，则 。12nb12nS12nSba等比数列 的通项公式 ；等比数列 的变
3、通项公式na1*()naqNnamq其前 n 项的和公式 或1(),s1,nnqs三.三角函数1 同角三角函数的基本关系式 ， = ，2icotacosit1221tancos2. 正弦、余弦的诱导公式21()sin,sin(2co为 偶 数为 奇 数 21(),s(inn为 偶 数为 奇 数即:奇变偶不变,符号看象限,如 )i,scos2si(co()3. 和角与差角公式; ;sin()sicosincos()csosin. (平方正弦公式);tanta1t22()ii.22co()()= (辅助角 所在象限由点 的象限决定, ).sisbsi)b()abtanb4. 二倍角公式 .inco
4、.（升幂公式）2222co1sin（降幂公式） .21sss,i 2tnta15.万能公式: , 2tain2cot6.半角公式: si1stin7. 三函数的周期公式 函数 ，xR 及函数 ，xR(A, 为常数，且 A0，)的周期 .i()yAxc()yAx 2|T函数 ， (A, 为常数，且 A0，0)的周期 .tan,2kZ8. 的单调递增区间为 单调递减区间为 ，对称轴为siyx,2kkZ 32,2kkZ,对称中心为()2xkZ,0()9. 的单调递增区间为 单调递减区间为 ，对称轴为 ,对称中心为cosy2kk,Z()x,0()10. 的单调递增区间为 ，对称中心为tanx,Z(,0
5、)2k11. 正弦定理 2sisinbcRABC12面积定理（1） （ 分别表示 a、b、c 边上的高）.112abcShhabc、 、（2） .iniiac(3) = ( 为 的夹角)22(|)()OABOtnAB,OAB13.三角形内角和定理 在ABC 中，有.()CCB2()四.平面向量1.平面两点间的距离公式= (A ，B ).,ABd|A2211()()xy1(,)xy2(,)2.向量的平行与垂直 设 a= ,b= ，且 b 0，则ab b=a .1210ya b(a 0) ab=0 .23线段的定比分公式 设 ， ， 是线段 的分点, 是实数，且 ，则1(,)Px2(,)y(,)P
6、x1212P（ ）.12xy12OP12()tOPt14若 ,O 不在直线 AB 上,则 A,B,C 共线的充要条件是 x+y=1。ABC五.直线和圆的方程1直线方程的五种形式:（1）点斜式 (直线 过点 ，且斜率为 )11)ykxl1(,)Pxyk（2）斜截式 (b 为直线 在 y 轴上的截距).b（3）两点式 ( )( 、 ( ).21212,2,xy12x（4）截距式 (,xyax分 别 为 轴 轴 上 的 截 距 且 a0b)（5）一般式 (其中 A、B 不同时为 0).0ABC2两条直线的平行和垂直 （1）若 ，1:lyk22:lykx ; .112,lkb2(2)若 , ,1:xy
7、2:0lxC ； ；12121210lA且 12120lAB3.夹角公式 .( ， , )tan|k:lykb2:ykxb( , , ).121tB1AxB2lB12直线 时，直线 l1 与 l2 的夹角是 .12l直线 l1 到 l2 的角是 ( ， , )12tank1:lykxb22:lykxb14点到直线的距离 (点 ,直线 ： ).0|AxBCd0)P0AByC5两条平行线的间距离 (直线 ： ).21|CdABl112212,)ylAxy5.圆中有关重要结论:(1) 若 P( , )是圆 上的点,则过点 P( , )的切线方程为0xy2)(xabr0 200()()xaybr特例:
8、若 P( , )是圆 上的点,则过点 P( , )的切线方程为yxy2r(2) 若 P( , )是圆 外一点, 由 P( , )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B 则直线 AB 的方程为022)00()(xar特例: 若 P( , )是圆 外一点,由 P( , )向圆引两条切线, 切点分别为 A,B0y22x0xy则直线 AB 的方程为 0(3) 若 P( , )是圆 内一点,以过 P( , )的弦的端点为切点向圆作两条切线,则两切线的交点的轨迹方程0x22()aybr0为 0(a特例: 若 P( , )是圆 内一点, 以过 P( , )的弦的端点为切点向圆作两条切线,则两切线的交点的轨迹方
9、程y22x0xy为 0xr六.圆锥曲线1. 椭圆(!)椭圆 的参数方程是 .21(0)xyabcosinxayb(2)椭圆 焦半径公式 ， .2 10PFe20aex12,F分 别 为 左 右 焦 点(3)椭圆 的准线方程为 ,椭圆 的准线方程为()2xc()yb2ayc(4)椭圆 的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为210xyab2(5)P 是椭圆 上一点 ,F ,F 是它的两个焦点,F P F = ,则P F F 的面积= , 当点 与椭圆短轴(1212122tanbP顶点重合时 最大；P 是椭圆 上一点,A,B 是长轴的两端点,当点 P 在短轴端点时, 最大.21F(0)xyab AB
10、(6)若 AB 是过焦点 F 的弦,设 ,P 表示焦准距 ,则,AmBFnmnep2. 双曲线(1)双曲线 的准线方程为 双曲线 的准线方程为21(0,)xyab2xc21(0,)xyabb2ayc(2) 双曲线 的渐近线方程为 ,双曲线 的的渐近线方程为2 0ya2 0xb(3) P 是双曲线 上一点,F ,F 是它的两个焦点 ,F P F = 则P F F 的面积=(,)1212122ot(4)若 AB 是过焦点 F 的弦,设 ,P 表示焦准距,AB 交在同支时, ,AB 交在两支时, (设 )AmBnmnepmnep（5）双曲线的一个焦点到一条渐近线的距离等于虚半轴长。准线过垂足。 等轴
11、双曲线上任意一点到中心的距离是它到两个焦点的距离的比例中项（2）共轭双曲线： 与 其离心率分别为 12byax21xyab1,22e12其性质：渐近线相同；焦距相同（焦点不同）（3）渐近线相同的双曲线系方程为： 2渐近线方程都是00xyab（7）有心型二次曲线（圆、椭圆、双曲线）上任一弦中点与中心连线的斜率与弦所在直线的斜率之积为（对圆则是，为什么？）1x2焦 点 在 轴 上 ， e焦 点 在 y轴 上 ,3.抛物线(1) 上的动点可设为 P 或 P ，其中 .px2),2(yp或)2,(pt(,)xy2px(2)P( , )是抛物线 上的一点,F 是它的焦点,则|PF|= +0yx0p(3)
12、抛物线 y2=2px(p0)的焦点弦 AB 性质： x1x2= ；y 1y2=p 2； ；4pBFA2|1|以 AB 为直径的圆与准线相切； 以 AF（或 BF）为直径的圆与 轴相切； 。 焦点弦长ysin2SAOB6,其中 是焦点弦与 x 轴的夹角; 点 P 是抛物线 上的一点,F 是它的焦点, 则2sinpl 7x2,FP1coPFAB 的中垂线与 X 轴交于点 R，则 2ABF（6）抛物线 y2=2px(p0)，对称轴上一定点 ，则)0,(aA若 ，顶点到点 A 距离最小，最小值为 ； 若 ，抛物线上有关于 轴对称的两点到 A 的距离最小，最小ap px值为 。2（7）直线与圆锥曲线相交
13、：弦长公式 2221114ABkxa21124yk4、A，B 是抛物线 y2=2px(p0)上两点，则直线 AB 过定点 （或 ）,0Maap21x（1）先证“ ”设直线 AB： ，与抛物线方程联立得xm212ympy从而可得 21a（2）再证 “ ”设直线 AB： ，与抛物线方程联立得yr2120rrpar从而可证得直线 AB 过定点 ,0M5、抛物线 y2=2px(p0)与直线 相交于 且该直线与 轴交于点 ，kxb12,AxyBy30,Cy则有 136、过抛物线 y2=2px(p0)的焦点 的直线交该抛物线于 、 两点，自 、 两点向准线作垂线，垂足分别为 ，则FA1,AB；其逆命题：若
14、 ，则 A、F、B 三点共线。019AFB019若点 M 是准线上任一点，则 7、过抛物线 y2=2px(p0)的顶点 O 作两条互相垂直的动弦 OA，OB，则 22114,xpy直线 AB 过定点 的最小值为,pABS24p4.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 或11()xy2212|kkaA（弦端点 A ，由方程 消去 y 得到 ， , 为直线的斜率）. ),(,21yxB0,Fbk02cbxa若（弦端点 A 由方程 消去 x 得到 ， , 为直线的斜率）.则)x( 2ybc01221|ykakA5.圆锥曲线 关于点 成中心对称的曲线是 .(,)0Fx0(,)Pxy0(2-,)Fxy求圆锥曲线
15、的切线与切线有关的过定点问题1、已知点 是椭圆 上任意一点，求以点 为切点的切线方程。0,y21abP解：若 ， 切线为;22,xfb设 200021bxbxkfyaa2222000bxyaya21若 ，20,xyfba设 20bxkfay与同理得 021xyab若 ，则切线 亦满足。0,yP则 xa故所求的切线方程为 。02y2、已知点 是双曲线 上任意一点，求以点 为切点的切线方程。,x210,xbaP解：若 ， 切线为;022,yfb设 2021xbkfay222000bxxayaba21y若 ， 与同理得0,021ab若 ，则切线 亦满足。,yP则 x故所求的切线方程为 。02y3、已
16、知点 是抛物线 上任意一点，求以点 为切点的切线方程。0,x20xpP解： 2011ffp02yyx切 线 ：4、已知椭圆 ，点 是定直线 上一动点，过点 P 作椭圆的两条切线21ab,Pmt:lxmPA、PB，A、B 为切点，求证：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标。证明：设 ，由第 1 题的结论，则12,xy， ，则有12ab2xytab，xmyt,AB两 点 的 坐 标 满 足 21m故直线 AB： ，由于 ， ，即直线 AB 过定点21txyt定 变 20ayx令 定 值 2,0am点评：若点 定直线 上的动点呢？则直线 AB 过定点,P:l20,bt5、已知双曲线 ，点 是定直线
17、上一动点，过点 P 可作双曲线的两条切线210,xyab,Pmt:lxPA、PB，A、B 为切点，求证：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标。证明：设 ，由第 2 题的结论，则12,， ，则有12xyab21xy12xmytab，mt,AB两 点 的 坐 标 满 足 21故直线 AB： ，由于 ， ，即直线 AB 过定点2txyt定 变 20ayx令 定 值 2,0am点评：若点 定直线 上的动点呢？只要能过其上的点作两条切线，则直线 AB 过定点,P:l 20,bt6、已知抛物线 ，点 是定直线 上一动点，过点 P 可作抛物线的两条切线20xpy,Pmt:lytPA、PB，A、B 为切点，求
18、证：直线 AB 过定点，并求出定点的坐标。证明: 设 ，由第 3 题的结论，则12,故直线 AB： ，由于 ，1xmpytxyt,AB两 点 的 坐 标 满 足 xpytmxpytt变 定，即直线 AB 过定点0令 定 值 0,t7、已知椭圆 C： 的左、右顶点分别是 A、B ，设 是直线 上的动点，若直线21xyab,Qt:lx与椭圆 C 分别交于 M、N，求证：直线 MN 过定点,QAB 2,0am证明： 22tyxmab23420ttabm22,aMbtt 同理 3222,tabaNmtt22Mkbt直 线 MN:23222at abmtxty-令 ，故直线 MN 过定点0xm,0注意:
19、理解思路，试题一般会告知具体数字。变式：已知椭圆 C： 的上、下顶点分别是 A、B ，设 是直线 上的动点，若直线21yab,Qmt:lyt与椭圆 C 分别交于 M、N，求证：直线 MN 过定点,QAB 20,bt8、已知双曲线 C： 的左、右顶点分别是 A、B ，设 是直线 上的点，直线210,xyab,Qmt:lx与双曲线 C 分别交于 M、N，求证：直线 MN 过定点,QAB 2,0a9、已知抛物线 的顶点为 ， 为直线 上一动点，过点 作 轴的平行线与抛20ypxOPxPx物线交于点 ，直线 与抛物线交于点 ，则直线 过定点OPMN,0Aa证明：设 ，直线 ： 代入 得 ，2,maMp
20、则 myxa2ypx2pm直 线 MN:22yxp0a点评：过定点 的直线 与抛物线交于点 ，经过点 和抛物线顶点 的直线交定直线 于 ，,0AN,MNOlxa： P则 ；PNx轴过定点 的直线 与抛物线交于点 ，作 交定直线 于 ，则 三点共线。,aM,PxA轴 lxa： P,M10、已知点 是椭圆 C： 上210xyab不同于左、右顶点 A、B 的任意一点，直线 分别交直线 于点 ，则以 MN 为直径的圆经过,PAB:lxm,N定点证明： 2121, 1PAPBykymaema以 MN 为直径的圆： 20xy令 即过定点20by,ba11、过抛物线 的焦点 F 任意作直线 与抛物线交于点
21、两点，则在 轴上存在定点20pxl,ABx，使 始终平分 。,0pMFAMB证明：设 :2lykx不 存 在 时 显 然 成 立设 则由1,AB2pykx，则 ，2204pkx24AB1212.0MABpkxykpx始终平分 。F点评：过定点 作直线 与抛物线 交于点 两点，点 与点 关于 轴对称，则直线,02l2ypx,ABBx过定点ABp12、过椭圆 的左焦点 F 任意作直线 与椭圆交于点 两点，则在 轴上存在定点 ，21xyabl,x2,0aMc使 始终平分 。MFAB点评：过定点 作直线 与椭圆 交于点 两点，点 与点 关于 轴对称，则直线2,0cl210xyab,ABB过定点（即焦点
22、）AB ,F13、过双曲线 的右焦点 F 任意作直线 与双曲线交于点 两点，则在 轴上存在定点21xyabl,x，使 始终平分 。2,0aMcAMB点评：过定点 作直线 与双曲线 交于点 两点，点 与点 关于 轴对称，则直线2,cl210,xyab,ABBx过定点（即焦点）AB ,0F14、已知椭圆 上有一点 ，过 P 作倾斜角互补的两条直线 PM，PN 分别与椭圆交于异于点 P 的21xyab0,xy两点 M，N，则直线 MN 的斜率为定值 ，类似地，已知双曲线 上有一点 ，过 P 作倾斜角互20ba21xyab0,xy补的两条直线 PM，PN 分别与双曲线交于异于点 P 的两点 M，N，则
23、直线 MN 的斜率为定值 。20ba七.立体几何(一)向量法公式1.直线 与平面所成角 ( 为平面 的法向量).ABsin|ABmarc2二面角 的平面角 或 （ ， 为平面 ， 的法向量）.lo|cos|narm3.异面直线间的距离 ( 是两异面直线，其公垂向量为 ， 分别是 上任一点， 为 间的距离).|CDdn12,l CD、 12,ld12,l4.点 到平面 的距离 （ 为平面 的法向量， 是经过面 的一条斜线， ）.B|ABABA(二) 其他公式1. 2213ll2213coscos1（长度为 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 ，夹角分别为 ） （立几中长方体对角线长的
24、公123l、 、 123、 、式是其特例）.2. 面积射影定理 csS3.球的半径是 R，则其体积是 ,其表面积是 34VR24SR4. 1,3VSh锥 柱(三)与正多面体有关的结论1.正多面体与球的关系(设正多面体棱长为 ,外接球.内切球半径分别为 R. )ar2.与正多面体有关的角度问题.(1) 正四面体相邻两侧面所成二面角的余弦值为 , (2) 正六面体相邻两侧面所成二面角的余弦值为 0,13(3) 正八面体相邻两侧面所成二面角的余弦值为 , (4) 正四面体中心对任两个顶点所张角的余弦值为 , 13(5) 正六面体中心对任两个顶点所张角的余弦值为 , (6) 正八面体中心对任两个顶点所张角的余弦值为 0,(7)若正四棱锥的侧面与底面所成角为 ,相邻两侧面所成二面角为 ,则 .2cos(四) 两个小问题1.若一个多面体的内切球半径分别为 ,多面体的表面积为 S,则其体积为 ,r 13VSr2.过正方体 的任一顶点,作直线与 都成 ,这样的直线能作_3_条;都成 的直线能作_1_条;都成1ABCD1,ACB60 30的直线能作_4_条.70正多面体 R r R/r正四面体 64a123/1正六面体 3/13正八面体 2a 6/1
