1、2016 年竞赛与自主招生专题第二讲 均值、柯西、排序不等式从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政 策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后再考自主招生， 是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度 基本稳定，维持原自主招生难度，原 来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。在近三年自主招生试题中，不等式部分通常占 10%-15%，其中绝大多数涉及到不等式的证明或涉及到一些考纲之外的特殊不等式。来源 :学科网一、知识精讲1.两个重要的不等式（二元
2、均值不等式）： ，当且仅当 时等 号成立。),(22Rbaaba ，当且仅当 时等号成立。*2.最值定理：若 ，则：PxySyx,如果 P 是定值, 那么当 时，S 的值最小；如果 S 是定值, 那 么当 时，P 的值最大。注意：前提：“一正、二定、三相等” ，如果没有满足前提，则应根据题目创设情境；还要注意选择恰当的公式；“和定 积最大，积定 和最小” ，可用来求最值；均值不等式具有放缩功能，如果有多处用到，请注意每处取等的条件是否一致。1.均值不等式：设 是 个正实数，记 ，123,na221nnaQ，12nnaA， ，则 ，其中等号成立的12nnG 12nHaa nnAGH条件是 。 分
3、别称为平方平均、算术平均、几何平均、12na ,nQAG调和平均。2.柯西不等式：柯西不等式的二维形 式：若 都是实数，则dcba,，当且仅当 时，等号成立。22()()()abcdac柯西不等式的一般形式：设 ， 是实数，则n,.321 nb,.321，当且仅当221221 )().).(.( nn abab来源:Zxxk.Com0ib或存在一个数 ，使得 时，等号成立。),.2( kiik),.21(n3.柯西不等式的几个推论：（1）当 时，柯西不等式即为121nb，若 （ ） ，则2 22()()nnaa iaR1,2in，此即上面提到的平方平均 算术平均。2121n （2）当 （ ）时
4、，有 。iiba, 22 21 21()()nnaaa （3）当 （ ） ，则,iR1,2n。2121212()nnnbaab 4.排序不等式（又称排序 定理）：给定两组实数 ； 如果 ；12na， ， ， 12nb， ， ， 12na那么 12nb11na+12niiia+12nbb+（反序和） （乱序和） （同序和）其中 是 的一个排列12nii ， ， ， ， ， ，该不等式所表达的意义是和式 在同序和反序时分别取得最大值和最小1jnijab值来源:学科网2、竞赛题目精练【2013 江苏竞赛】13. 设实数 ， 满足 . 证明：ab102ab()cosbab证明：设 f (x) 2x+c
5、osx，欲证不等式转化为 f (b) f (a).由于 f (x) 2sinx，f (x) 2cosx.当 x(0 , )时，f (x) 2cosx0，当 x( ,1)时，f (x) 2cosx0，1 12所以 f (x)在区间 0, 上单调减，在区间 ,1上单调增.因为 f (0) f (1) 2 和 f ( ) 20，所以存在 和 ，0 1，使得 f () f 1 2() 0，f (x) 0 当且仅当 x( ,). .10 分于是函数 f (x)在区间0, 和 ,1上单调增，在区间 ,上单调减.因为 f (0) f ( ) f (1) 1，故对于 x0 , 有 f (x)1，对于 x ,1
6、有 f (x)1. 特别地 ，21212f (b) 1 f (a). .20 分3、典例精讲例 1.证明柯西不等式证法一：若 ，则柯西不等式120naa显然成立。2 2 21 12()()()n nabbab 若 不全为零， （ ） ，i ,i令 。22 221 121()()()n nnfxaxxb 一方面，因 22222211()()()nnfbabxax（*）2()0naxx另一方面，由 ， 恒成立21 (fx222211()4)()0n nnbabab ，此即柯西不等式。21 22(a 由(*)知等号成立的条件为 （ ） 。ii,证法二：来源:学科网 ZXXK将平面向量、空间向量推广到
7、 维向量。令 ，n12(,)naa，12(,)nb。 ，由于 ，naba |cos(,)bab|cos(,)|1ab故 |2222121|nnn 222221211()()()n nnabababb 等号成立的条件是 共线，即 （ ）,iiR注：柯西不等式的证明方法很多 ，有十几种，以上两种方法是中学生比较容易接受的。例 2.证明：对任意实数 a1,b1， 有 .812ab分析：由对称性，容易算出当 时等号成立，此时4)(1)(4122aba证明 ：22().()b即 来源:学科网aba4)1(2同理 )(2两同向不等式相加得 ， 时等号成立812ab2b说明：不等式中什么时候等号成立，应该看
8、作是一种信息，有时能帮助我们找到证题的入口本题对平均不等式用得巧妙、简捷、富有启发性链接：本题可以稍作引申：当 、 、 时，证明：1a b 1c 1212acb例 3.设 ，那么 的最小值是_0 2()ab分 析：本题取自人教社版课本的一个习题（第二册（上） ） ，题中有两个变量a， b，解题时总希望字母愈少愈好，故最好把原式处理成一个变量问题，再证明它大于或等于一个常数在这中间我们又注意到和 之和为 ，因式ab2)(abab解： )(124，因此 的最小值是 42()ab2a21()ab当 时取得最小值2说明：当若干个变量的和为常量或积为常量时，我们就 可以考虑用平均值不等式，再说在短短的演
9、算过程中两次使用了平均值不等式链接：如果题目变为 ，求 的最小值，你会做吗？0ab 21()ab例 4. 为正的常数， ， ，求 的最小值.ab、 xxf)(f分析：利用不等式解决极值问题，通常设法在不等式一边得到一个常数，并寻找不 等式取等号的条件，这个函数的解析式是两部分的和， 可看作1abx、，如再能出现 ，则可用，注意到 .21a、 21b、 1x解法一：用柯西不等式，22)()1()( baxbxaxax 因此 ，当且仅当 ，即 时，2min)()bf 取得最小值。解法二：用平均值不等式，同时abxbabxaxxa 21)()1)(1 可以算得，当且仅当 时，即 时取得最小值。x说明
10、： 解法一和解法二都作了凑配 ，凑配之后，才能用上相应的不等式。例 5. （2011 复旦千分考）设 是一个正整数，则函数 在正实半轴上的n1nx最小值是（ ） 。（A） （B） （C） （D）1n21n1n1n分析与解：由 个正实数的算术平均根几何平均数，即知：12121nnaa ，等号成立当且仅当1()nn nnxxx个时，1,1nx故选 。C例 6. （2002 交大）若 满足关系： ，则 ,ab2211aba2b。分析与解：由柯西不等式， ，当22221()()()时取等号，化简得 。221ba21ab例 7. （2009 南大） 为 内一点，它到三边 的距离分别为PABC,BCA，
11、为 的面积。求证： （这里 分123,dS2123()abcabcdS,abc别表示 的长） 。,BCA分析与解：如图 2-1，易见 。123Sadbcd由柯西不等式， 2123123()()()abc2123()()abcSabcd。2123S例 8. （2010 浙大）有小于 1 的正 数 ，且 。求12,nx 1231nxx证：d3 d2d1B C A P2-1。3331214nxxx分析与解：解法一：由柯西不等式，333 212 333121()()()n nxxxxx 注意到： 33 312 112()()()n nx ，而 ， （ ） ，32()nxx 0ix3iix,3112n
12、故 。332()(,nxx从而 ，显然 ，故233312nx n。3331214nxx解法二：先证明一个局部不等式： （ ） （*）314iix1,23n 事实上， （*） ，显然成立。244210()0iiii ix所以 ，当 且仅当1233312 (4nnxxx 时等号成立。(,)ii例 9. 设 的三内角 所对的边分别为 ，其周长为 1.ABCBC、 、 abc、 、求证： .1)(3cbAa分析：由问题的对称性，不妨设 ，三角形中大边对大角，于是有（这种形式是题目所需要的） 。这样既不改变问题的实质，又增ABC1加了 已知条件：两组有序实数 ，及 。这就为应用排序原理cba1CBA创设
13、了很好的情境。证法一：用排序原理。不妨设 ，于是有 。cbaCBAA1由排序不等式 （同序和大于或等于反序和） ，也就是CAcCa11，同理 ， ，相加得AcaBb ba，不等式两边同加 ，并注意到cBb2CcBA，就得1caC1)(3bAa证法二：比较法 )(BcccbCBA22)(3 )()()()( CcaABbaACbabaab ，0)( CcAcABc因此 。CBA1(3说明：利用排序原理证明其他不等式时，必须制造出两个合适的有序数组。五、真题训练1.（2009 复旦）设 满足 ，则 的最,0xyz12xyz422logllogxyz大值是（ ）（A）3 （ B）4 （C）5 （D）
14、6 2.（2009 复旦）设实数 ， 成等差数列，则下列一定成立的,0abc,cab是（ ）（A） （B） （C） （D）|bac2|22abc来源:学科网|23.（2007 复旦）当 和 取遍所有实数时，函数ab所能取到的最小值为（ ）22(,)53|cos|)(|sin|)fabb（A）1 （B）2 （C）3 （D）44.（2007 复旦）给定正整数 和正常数 ，对于满足不等式 的所有a21na等差数列 和式 的最大值为（ ） 。123,a21niia（A） （B） （C） （D）0()n025(1)2an52an5.（2005 交大）方程 的两根 满足 ，则221xp12,x412x（
15、）pR6.（2003 交大）已知 ， ，则 的最小值是 ,xy21xy2xy。7.（2002 交大）若 且 ，则 的最小值为 ,0xyz221xyz221xyz。8.（2001 交大） ，求 的最小值。xR66331()2()1xxf来源:Z,xx,k.Co m来源:学.科.网 Z.X.X.K9.（2009 清华）已知 ， 是 的一个排列。求证 。,0xyz,abc,xyz 3abcxyz10.（2004 复旦）比较 与 的大小。24log525l6【参 考答案】 1.A ，故2231264xyzxyz，424logllogllog3当 时取等号。,xyz2.D 显然 同号，不妨设 。取 ，知
16、 A 错,bca,0abc231,abc误。取 ，知 BC 不对。下证 。62,13 由题意， ，而 ，故有2cabacb2()4ac，得证。2()42acacb3.B 由柯西不等式， （均值不等式）来源:学#科#网 22 2211(,)53|cos|)(|sin|)(53|cos|in|)(53)f bb，当时取等号。1,0ab4.A ，由柯西不等式21211 3()()2nnniiaa ，故 （当221(3)(3)0n n 10na时取等号） ，从而 的最大值是 。211,nnaa21iin1()2an5. 。由韦达定理知 ，故 ，8212xp222111()xxp来源:学科网4222 4
17、1114()()22xxppp而 ，故 ，等号在 时取到，即44pp4141。8126. 由柯西不等式， ，当且64 22()2()64xyxy仅当 时取等号。21,2xy7.9 由柯西不等式 ，当222 211()()9xyzxyzxyz时取等号。3xyz8.6 设 ，则 ，12tx33311()()xxt632()()xt故 ，即 的最小值是 6，当且仅当 时取623)36tf tt()fx1x最小值。9.由均值不等式， ，得证。3abcabcxyzxyz10.分析与解：解法一：先作差并化为同底，下面比较 与22425lg5lgl4g26logl64652lg5的大小，l由均值不等式， 22lg246lg(24)l(51)2lg(51)llg246 lg5，故 。从而 。2ll52425lol6解法二： ，而 ，所以24og1,g1o25614，2456ll所以 。2注：此题的结论可推广为 。(1)log()l2()xx
