1、 2016 年竞赛与自主招生专题第一部分 近年来自主招生数学试卷解读从 2015 年开始自主招生考试时间推后到高考后，政策刚出时，很多人认为，是不是要在高考出分后 再考自主招生，是否高考考完了，自主招生并不是失去其意义。自主招生考察了这么多年，使用的题目的难度其实已经很稳定，这个题目只有出到高考以上，竞赛以下，才能在这么多省份间拉开差距.所以，笔试难度基本稳定，维持原自主招生难度，原来自主招生的真题竞赛真题等，具有参考价值。总的来说，函数、方程、数列、不等式、排列组合等内容是高频考点。应试策略：1、注重基础：一般说来，自主招生中，中等难度题目分数比例大约60% 左右。2、联系教材，适度拓宽知识
2、面：注意课本上的自主.探究和阅读材料，对和大学数学联系紧密的内容进行深度挖掘。自主招生中，有不少试题都来源于这些材料。3、掌握竞赛数学的基本知识和解题技巧，着重培养数学思维能力。4、考前进行模拟训练，熟悉每个高校的命题特点，掌握答题技巧。高频考点一览：不等式 均值不等式与柯西不等式的综合运用，凸函数的性质，证明不等式的常用方法杂题 常见的组合数学问题（组合计算、组合构造、博弈问题、染色问题）解析几何 解析几何的基本运算、取值范围与最值问题以及探索性问题平面几何 平面几何的基本计算和证明、三角形五心问题、图形变换函数 函数的奇偶性、周期 性、单调性的证明与应用来源:Zxxk.Com三角函数 一些
3、具有技巧性的三角变换，三角恒等式和简单的三角不等式问题来源:学科网 ZXXK立体几何 复杂的空间几何构型，空间范围内的旋转对称等变换问题排列组合 比较具有技巧性的排列组合问题和一些复杂的概率问题方程和多项式 高次方程， 无 理方程的技巧性处理，一些简单的多项式知识数列 非等比等差数列的递推公式、通项公式、求和公式的常见解法一、 试题特点分析：1. 突出对思维能力的 考查。【2014 年北约】已知 求证：01,2.,ixn1.ix121.nniix【解析】不等式；柯西不等式或 平均不等式.AMG法一： 不等式. 调和平均值 ，AMG 212nn iiiiHGxx则 ，122niniii xx22
4、2nni ini iii xxx可得 ，22nniiii xx2niniii xx上述两式相加得 ，1222nnini iiii nxxx即 ，即来源:Zxxk.Com21nii1niix法二：由 及要证的结论分析，由柯西不等式得 ，1.nix 212iix从而可设 ，且 从而本题也即证iiyx11.nniiyx 12.nniiy从而 ，即 ，22n nii i221n niiix假设原式不成立，即 则11,nniix1.niiy从而 ，矛盾.得证.22niiixy2. 注重和解题技巧，考查学生应用知识解决问题的能力。【2014 年北约】10、已知实系数二次函数 与 和 有fx,gfxg30f
5、xg两重根， 有两相异实根，求证： 没有实根.fx【解析】设 2,fabxc2,gdxef则由 ，可得f22 0,40.adxbecfbeadcf由 可得30fg2230,3430.adxbexcfbeadcf化简得 即 又314,ad2efc2.b没有实根.240.edfgx二、 应试和准备策略1. 注意知识点的全面数学题目被猜中的可能性很小，一般知识点都是靠平时积累，因此，要求学生平时要把基础知识打扎实。剩下的就是个人的现场发挥。2. 注意适当补充一点超纲内容如上面提及的一些平时不太注意的小章节或高考不一定考的问题，如矩阵，行列式等也不可忽视。3. 适当做近几年的自主招生的真题俗话说，知己
6、知彼，百战百胜。同学们可适当地训练近几年自己所考的高校自主招生的试题，熟悉一下题型和套路还是有益的。总之，同学们若是注意一些知识点的延伸和加深，考试时必定会有一种居高临下的感觉。来源:学科网 ZXXK2016 年竞赛与自主招生专题第一讲 ：集合与命题（教师版）一、 知识补充：容斥原理基本公式:(1)card(AB)card(A)card(B)card(AB)； (2)card(ABC)=card(A)+card(B)+card(C)-card(AB)-card(AC)-card(BC)+card(ABC)问题：开运动会时， 高一某班共有 28 名同学参加比赛，有 15 人参加游泳比赛，有 8
7、人参加田径比赛，有 14 人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 3 人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有 3 人，没有人同时参加三项比赛，问同时参加田径比赛和球类比赛的有多少 人？只参加游泳一项比赛的有多少人？解：设 A参加游泳比赛的同学，B参加田径比赛的同学，C参加球类比赛的同学,则 card(A)=15，card(B)=8，card(C)=14，card(ABC)=28,且card(AB)=3，card(AC)=3，card(ABC)=0,由公式得281581433card(BC)+0,即 card(BC)=3,所以同时参加田径和球类比赛的共有 3 人，而只参 加游泳比赛的人有 1
8、5339(人) 来源:学+科+网二抽 屉 原 理抽屉原理的基本形式 定理 1、如果把 n+1 个元素分成 n 个集合，那么不管怎么分，都存在一个集合，其中至少有两个元素。 证明：（用反证法）若不存在至少有两个元素的集合，则每个 集合至多 1 个元素，从而 n 个集合至多有 n 个元素，此与共有 n+1 个元素矛盾，故命题成立。例 1 已知在边长为 1 的等边三角形内（包括边界）有任意五个点（图 1）。证明：至少有两个点之间的距离不大于 .分析：5 个点的分布是任意的。如果要证明“在边长为 1 的等边三角形内（包括边界）有 5 个点，那么这 5 个点中一定有距离不大于 的两点”，则顺次连接三角形
9、三边中点，即三角形的三条中位线，可以分原等边三角形为 4 个全等的边长为 的小等边三角形，则 5 个点中必有 2 点位于同一个小等边三角形中（包括边界），其距离便不大于 。 以上结论要由定理“三角形内（包括边界）任意两点间的距离不大于其最大边长”来保证，下面我们就来证明这个定理。如图 2，设 BC 是ABC 的最大边，P，M 是ABC 内（包括边界）任意两点，连接 PM，过 P 分别作 AB、 BC 边的平行线，过 M 作 AC 边的平行线，设各平行线交点为 P、Q、N，那么PQN= C，QNP=A 因为 BCAB，所以AC，则QNPPQN，而QMPQNPPQN（三角形的外角大于不相邻的内角）
10、，所以 PQPM。显然 BCPQ，故 BCPM。由此我们可以推知，边长为 的等边三角形内（包括边界）两点间的距离不大于 。 三、针对性训练1对集合1，2，n及其每一个非空了集，定义一个唯一确定的“交替和”如下：按照递减的次序 重新排列该子集，然后交替地减或加后继的数所得的结果，例如，集合 的“交替和”是 9-6+4-2+1=6. 的“交替和”是6-5=1， 的交替和是 2。那么，对于 n=7。求所有子集的“交替和”的总和。解：集合1，2，3，4，5，6，7的子集中，除去7外还有 个非空子集合，把这 个非空子集两两结组后分别计算每一组中“交替和”之和，结组原则是设 这是把 结合为一组，显然，每组
11、中，“交替和”之和应为 7，共有 组.所以,所有“交替和”之和应该为 。2n 元集合具有多少个不同的不交子集对？分析：我们一般想法是对于一个子 集，求出与它不交的 子集个数，然后就可以求出总的子集对来了。解：如果 子集对是有序的，即在子集对中可以区分第一个子集与第二个子集，则第一个子集若是 k 个元素，第二个子集就由其余 n-k 个元素组成，可能的情况是 种，而这时第一个集合的选取的可能情况应为 种，那么 k 从 o 变到n，总的情况可能就是 。如果子集对是无序的，即两个子集相同但次序不同的子集对不认为不同，则 对有序子集对中有一对是由两个空集组成，而对其它 个有序对，每一对中交换两个子集的次
12、序，得到的是同一个无序子集对，因此有 个无序子集对，其中至少有一个子集非空，于是无序子集对的总数为分析二：我们可以从元素的角度 来思考问题。对一个元素来说，它有三种不同的选择，在第一个集合中，在第二个集合中，或者不在两个集合中。解法二：在计算有序对的数目时，对每一个元素来说有三种可能：它或在第一个子集，或在第二个子集，或不在其中任意一个子集，因此不同的不交有序子集对的总数 ，以下同解法一。3.以某些整数为元素 的集合 具有下列性质： 中的元素有正数，有负数；PP 中的元素有奇数,有偶数；1 ；若 ， ,则 。试PxyxyP判断实数 0 和 2 与集合 的关系。解：由若 ， ,则 可知，若 ，则
13、xyxy )( Nk（1） 由可设 ， ，且 0， 0，则 | | (| | )Pyxy来源:学科网故 , ,由, 0( )+ 。y xP（2）2 。若 2 ，则 中的负数全为偶数，不然的话，当（ ）P 12k（ ）时， 1（ ） ，与矛盾。于是，由知 中Nk12k P必有正奇数。设 ，我们取适当正整数 ，使),( ,NnmP q，则负奇数 。前后矛盾。2|nmq Pq4.若 为非空集合，对于 1，2，3 的任意一个排列 ，若31,S kji,，则jiyxkSyx（1） 证明：三个集合中至少有两个相等。（2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若 ，则 所以每个集合中jiyx,
14、 ikSxySxy)(,均有非负元素。当三个集合中的元素都为零时，命题显然成立。否则，设 中的最小正元素为 ，不妨设 ，设 为 中最321,Sa1b32,小的非负元素，不妨设 则 。,2b3S若 0,则 0 ，与 的取法矛盾。所以 =0。ba任取 因 0 ,故 0 。所以 ，同理 。所以,1Sx2x313S31S= 。13（3） 可能。例如 = =奇数， =偶数显然满足条件， 和 与 都123S123无公共元素。5.设 ，且 A 具有下列性质：（1）对GaAS 10321,0,2任意 ，恒有 ；（2） 。1ji jia081i试证 A 中的元素为奇数的个数是 4 的倍数，且 为定值.102ia
15、证明：考虑 ，每个集合中取一个元素，,19,2,0110GG但注意到 2+4+200=1010010080，不妨设不属于 A 的偶数为 ，ka,21则相应的奇数 应在 A 中，且对应差的和为 20.kaa,2216(2010 年江苏五校)已知集合 A a1， a2， a3， an，其中aiR（1 i n， n2）， l(A)表示 ai aj(1 i j n)的所有不同值的个数（1）已知集合 P2，4，6，8， Q2，4，8，16，分别求 l(P)， l(Q)；（2）若集合 A2，4，8，2 n，求证： l(A) ；n(n 1)2（3）求 l(A)的最小值解：（1）由246，268，2810，4
16、610，4812，6814，得 l(P)5，由 246，2810，21618，4812，41620，81624，得 l(Q)6 （2）证明：因为 ai aj(1 i j n)共有 项，所以 l(A) n(n 1)2 n(n 1)2又集合 A2，4，8，2 n，不妨设 am2 m， m1，2， ， nai aj， ak al(1 i j n，1 k l n)，当 j l 时，不妨设 j l，则 ai aj2 aj2 j1 al ak al，即ai aj ak al，来源:Z#xx#k.Com当 j l， i k 时， ai aj ak al，因此，当且仅当 i k， j l 时，ai aj ak
17、 al即所有 ai aj(1 i j n)的 值两两不同，因此 l(A) n(n 1)2（3）不妨设 a1 a2 a3 an，可得a1 a2 a1 a3 a1 an a2 an a3 an an1 an，故 ai aj (1 i j n)中至少有 2n3 个不同 的数，即 l(A)2 n3 事实上，设 a1， a2， a3， an成等差数列，考虑 ai aj (1 i j n)，根据等差数列的性质，当 i j n 时， ai aj a1 ai j1 ；当 i j n 时， ai aj ai j n an；来源:学#科#网因此每个和 ai aj(1 i j n)等于 a1 ak(2 k n)中的
18、一个，或者等于al an(2 l n1)中的一个故对这样的集合 A， l(A)2 n3，所以 l(A)的最小值为 2n3 数.7通信工程中常用 n 元数组 表示信息，其中 或 1，123,naa0ia设 ， ， 表示 和 中相inN、 123(,)nu123(,)nvb(,)duvv对 应的元素不同的个数（） 问存在多少个 5 元数组 使得 ；(0,) (,)1（） 问存在多少个 5 元数组 使得 ；1uv3duv（）令 ， ， ，求证：0(,)nw个123(,)nua12(,)nb(,)(,)(,)duvd解： 5；1；230C记 中对应项同时为 0 的项的个数为 ，对应项同时为 1 的项的个uv、 p数为 ，则对应项一个为 1，一个为 0 的项的个数为 ；q nq()pNn、 ，即是 中 1的个数， 即是 中 1 的个数， 是 中对,)duw(,)dvw(,)duv、应项一个为 1，一个为 0 的项的个数。于 是有 (,)vnpq中 1 一共有 个，即u、 2()(,)(,)duvwnpq所以有 (,)(,)(,20duwvduq于是 来源:学科网 ZXXK
