1、第1讲 空间几何体,专题四 立体几何,板块三 专题突破核心考点,考情考向分析,1.以三视图为载体，考查空间几何体面积、体积的计算. 2.考查空间几何体的侧面展开图及简单的组合体问题.,热点分类突破,真题押题精练,内容索引,热点分类突破,1.一个物体的三视图的排列规则 俯视图放在正(主)视图的下面，长度与正(主)视图的长度一样，侧(左)视图放在正(主)视图的右面，高度与正(主)视图的高度一样，宽度与俯视图的宽度一样.即“长对正、高平齐、宽相等”. 2.由三视图还原几何体的步骤 一般先依据俯视图确定底面再利用正(主)视图与侧(左)视图确定几何体.,热点一 三视图与直观图,例1 (1)(2018全国
2、)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是,解析,答案,解析 由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.,解析,(2)有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，ABC45，ABAD1，DCBC，则这块菜地的面积 为_.,答案,解析 如图，在直观图中，过点A作AEBC，垂足为点E，,而四边形AECD为矩形，AD1，,由此可还原原图形如图所示.,且ADBC，ABBC，,空间几何体的
3、三视图是从空间几何体的正面、左面、上面用平行投影的方法得到的三个平面投影图，因此在分析空间几何体的三视图问题时，先根据俯视图确定几何体的底面，然后根据正(主)视图或侧(左)视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置，再确定几何体的形状，即可得到结果.在还原空间几何体实际形状时，一般是以正(主)视图和俯视图为主，结合侧(左)视图进行综合考虑.,答案,解析,跟踪演练1 (1)(2018衡水模拟)已知一几何体的正(主)视图、侧(左)视图如图所示，则该几何体的俯视图不可能是,解析 由选项图可知，选项D对应的几何体为长方体与三棱柱的组合， 其侧(左)视图中间的线不可视，应为虚线
4、， 故该几何体的俯视图不可能是D.,(2)(2018合肥质检)在正方体ABCDA1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，用过点A，C，E的平面截正方体，则位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图为,答案,解析,解析 如图所示，取B1C1的中点F，,连接EF，AC，AE，CF，则EFAC，平面ACFE， 即为平面ACE截正方体所得的截面， 据此可得位于截面以下部分的几何体的侧(左)视图如选项A所示.,热点二 几何体的表面积与体积,空间几何体的表面积和体积计算是高考中常见的一个考点，解决这类问题，首先要熟练掌握各类空间几何体的表面积和体积计算公式，其次要掌握一定的技巧，如把不规则几何体分割成几个规则
5、几何体的技巧，把一个空间几何体纳入一个更大的几何体中的补形技巧.,例2 (1)某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 A.34 B.44 C.64 D.84,答案,解析,解析 由三视图可得该几何体由上下两部分组成，上部分是半径为1的四分之一球，下部分是底面圆半径为1，高为2的半圆柱. 故该几何体的表面积为,(2)(2018内蒙古鄂伦春自治旗模拟)甲、乙两个几何体的三视图如图所示(单位相同)，记甲、乙两个几何体的体积分别为V1，V2，则,A.V12V2 B.V12V2 C.V1V2163 D.V1V2173,答案,解析,解析 由甲的三视图可知，该几何体为一个正方体中间挖掉一个长方体，正方
6、体的棱长为8，长方体的长为4，宽为4，高为6， 则该几何体的体积为V183446416； 由乙的三视图可知，该几何体是一个底面为正方形，边长为9，高为9的四棱锥，,V1V2416243173.,(1)求多面体的表面积的基本方法就是逐个计算各个面的面积，然后求和. (2)求简单几何体的体积时，若所给的几何体为柱体、锥体或台体，则可直接利用公式求解；求组合体的体积时，若所给定的几何体是组合体，不能直接利用公式求解，常用转换法、分割法、补形法等进行求解；求以三视图为背景的几何体的体积时，应先根据三视图得到几何体的直观图，然后根据条件求解.,跟踪演练2 (1)(2018黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学模
7、拟)已知某几何体是一个平面将一正方体截去一部分后所得，该几何体三视图如图所示，则该几何体的表面积为,解析,答案,解析 由三视图可知，正方体棱长为2，截去部分为三棱锥，作出几何体的直观图如图所示，,故选B.,答案,(2)(2018孝义模拟)某几何体的三视图如图所示(实线部分)，若图中小正方形的边长均为1，则该几何体的体积是,解析,解析 由三视图可知，该几何体是由半个圆柱与半个圆锥组合而成，,其中圆柱的底面半径为2，高为4，圆锥的底面半径和高均为2，,热点三 多面体与球,与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接.解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的
8、截面图.如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径.球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径.球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心(或“切点”“接点”)作出截面图.,例3 (1)(2018百校联盟联考)在三棱锥PABC中，ABC和PBC均为边长为3的等边三角形，且PA ，则三棱锥PABC外接球的体积为,答案,解析,解析 取BC的中点D，连接PD，AD， 因为ABC和PBC均为等边三角形， 所以ADBC，PDBC，ADPDD， AD，PD平面PAD， 所以BC平面PAD， 因为ABC和PBC
9、均为边长为3的等边三角形，,过ABC的外心O1作平面ABC的垂线， 过PBC的外心O2作平面PBC的垂线， 设两条垂线交于点O， 则O为三棱锥PABC外接球的球心.,(2)(2018衡水金卷信息卷)如图是某三棱锥的三视图，则此三棱锥内切球的体积为,答案,解析,解析 把此三棱锥嵌入长、宽、高分别为20,24,16的长方体ABCDA1B1C1D1中， 三棱锥BKLJ即为所求的三棱锥， 其中KC19，C1LLB112，B1B16，,则KC1LLB1B，KLB90， 故可求得三棱锥各面面积分别为 SBKL150，SJKL150，SJKB250，SJLB250， 故表面积为S表800.,三棱锥PABC可
10、通过补形为长方体求解外接球问题的两种情形 (1)点P可作为长方体上底面的一个顶点，点A，B，C可作为下底面的三个顶点. (2)PABC为正四面体，则正四面体的棱都可作为一个正方体的面对角线.,跟踪演练3 (1)(2018咸阳模拟)在三棱锥PABC中，PA平面ABC，ABBC，若AB2，BC3，PA4，则该三棱锥的外接球的表面积为 A.13 B.20 C.25 D.29,答案,解析,解析 把三棱锥PABC放到长方体中，如图所示，,答案,解析,(2)(2018四川成都名校联考)已知一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，记该圆锥的内切球的表面积为S1，外接球的表面积为S2，则 等于 A.12 B.13 C
11、.14 D.18,解析 如图， 由已知圆锥侧面积是底面积的2倍， 不妨设底面圆半径为r，l为底面圆周长，R为母线长，,解得R2r，故ADC30，则DEF为等边三角形， 设B为DEF的重心，过B作BCDF， 则DB为圆锥的外接球半径，BC为圆锥的内切球半径，,真题押题精练,1.(2018全国改编)某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图.圆柱表面上的点M在正(主)视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在侧(左)视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为_.,真题体验,答案,解析,解析 先画出圆柱的直观图，根据题中的三视图可知，点M，N的位置如图所示. 圆柱的侧面
12、展开图及M，N的位置 (N为OP的四等分点)如图所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径.,2.(2017北京改编)某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为_.,解析,解析 在正方体中还原该四棱锥，如图所示， 可知SD为该四棱锥的最长棱. 由三视图可知，正方体的棱长为2，,答案,3.(2017天津)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上，若这个正方体 的表面积为18，则这个球的体积为_.,解析,答案,答案,解析,4.(2017全国)已知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径.若平面SCA平面SCB，SAAC，SBBC，三棱锥SABC的体积为9，则球O的表面积
13、为_.,36,解析 如图，连接OA，OB. 由SAAC，SBBC，SC为球O的直径知， OASC，OBSC. 由平面SCA平面SCB，平面SCA平面SCBSC， OA平面SCB. 设球O的半径为r，则 OAOBr，SC2r，,押题预测,答案,解析,押题依据,押题依据 求空间几何体的表面积或体积是立体几何的重要内容之一，也是高考命题的热点.此类题常以三视图为载体，给出几何体的结构特征，求几何体的表面积或体积.,1.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的表面积为,高PD2的四棱锥PABCD， 因为PD平面ABCD，且四边形ABCD是正方形， 易得BCPC，BAPA，,答案,解析,押题依据
14、,押题依据 灵活运用正三棱锥中线与棱之间的位置关系来解决外接球的相关问题，是高考的热点.,2.在正三棱锥SABC中，点M是SC的中点，且AMSB，底面边长AB2 ，则正三棱锥SABC的外接球的表面积为 A.6 B.12 C.32 D.36,解析 因为三棱锥SABC为正三棱锥，所以SBAC， 又AMSB，ACAMA，AC，AM平面SAC， 所以SB平面SAC， 所以SBSA，SBSC，同理SASC，,所以SASBSC2， 所以(2R)232212， 所以球的表面积S4R212，故选B.,解析,押题依据,押题依据 求空间几何体的体积是立体几何的重要内容之一，也是高考的热点问题之一，主要是求柱体、锥体、球体或简单组合体的体积.本题通过球的内接圆柱，来考查球与圆柱的体积计算，命题角度新颖，值得关注.,3.已知半径为1的球O中内接一个圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体 积与圆柱的体积的比值为_.,答案,解析 如图所示，设圆柱的底面半径为r，,
