1、4.1.2 圆的一般方程,目标定位 1.正确理解圆的方程的形式及特点，会由一般式求圆心和半径.2.会在不同条件下求圆的一般式方程.3.体验求曲线方程(点的轨迹)的基本方法，概括其基本步骤.,1.圆的一般方程的定义,自 主 预 习,D2E24F0,D2E24F0,2.由圆的一般方程判断点与圆的位置关系,已知点M(x0，y0)和圆的方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，则其位置关系如下表：,即 时 自 测,1.判断题,(1)方程x2y2DxEyF0表示的是一个圆.( ) (2)点M(x0，y0)在圆x2y2DxEyF0外，满足xyDx0Ey0F0.( ) (3)给出圆上三个点的坐标时，用一般
2、方程求圆的方程.( ) (4)二元二次方程Ax2By2CxyDxEyF0表示圆的条件是AB0，C0，D2E24F0.( ),2.圆x2y24x6y0的圆心坐标是( ),A.(2，3) B.(2，3) C.(2，3) D.(2，3),答案 D,3.方程x2y22ax2bya2b20表示的图形为( ),A.以(a，b)为圆心的圆 B.以(a，b)为圆心的圆 C.点(a，b) D.点(a，b),解析 原方程可化为：(xa)2(yb)20.所以它表示点(a，b).,答案 D,4.圆x2y22x4ym0的直径为3，则m的值为_.,类型一 圆的一般方程的概念 【例1】 下列方程能否表示圆？若能表示圆，求出
3、圆心和半径.,(1)2x2y27y50； (2)x2xyy26x7y0； (3)x2y22x4y100； (4)2x22y25x0.,规律方法 二元二次方程Ax2BxyCy2DxEyF0表示圆，应满足的条件是：AC0，B0，D2E24AF0.,【训练1】 如果x2y22xyk0是圆的方程，则实数k的范围是_.,类型二 求圆的一般方程 【例2】 已知ABC的三个顶点为A(1，4)，B(2，3)，C(4，5)，求ABC的外接圆方程、圆心坐标和外接圆半径.,规律方法 应用待定系数法求圆的方程时： (1)如果由已知条件容易求得圆心坐标、半径或需利用圆心的坐标或半径列方程的问题，一般采用圆的标准方程，再
4、用待定系数法求出a，b，r. (2)如果已知条件与圆心和半径都无直接关系，一般采用圆的一般方程，再用待定系数法求出常数D、E、F.,【训练2】 已知A(2，2)，B(5，3)，C(3，1)，求三角形ABC的外接圆的方程.,类型三 求动点的轨迹方程(互动探究) 【例3】 等腰三角形的顶点是A(4，2)，底边一个端点是B(3，5)，求另一个端点C的轨迹方程，并说明它的轨迹是什么.,思路探究 探究点一 直接法求轨迹方程的一般步骤是什么？,提示 求轨迹方程的一般步骤： 建系：建立适当的平面直角坐标系； 设点：用(x，y)表示轨迹(曲线)上任一点M的坐标； 列式：列出关于x，y的方程； 化简：把方程化简
5、为最简形式； 证明：证明以化简后的方程的解为坐标的点都是曲线上的点. 因为除个别情况外，化简过程都是同解变形过程，所以步骤可以不写，如果有特殊情况，可适当予以说明.,探究点二 动点的轨迹与轨迹方程有什么区别与联系？,提示 (1)求动点的轨迹往往是先求出动点的轨迹方程，然后由方程研究轨迹图形；求动点的轨迹方程有时会根据已知条件先判断出轨迹图形，然后再由图形求方程. (2)“轨迹”是图形，要指出形状、位置、大小(范围)等特征；“轨迹方程”是方程(等式)，不仅要给出方程，还要指出变量的取值范围.,【训练3】 已知直角ABC的两个顶点A(1，0)和B(3，0)，求直角顶点C的轨迹方程.,法二 ABC是
6、以C为直角顶点的直角三角形，设顶点C(x，y)，因为A，B，C三点不共线，所以x3且x1. 由勾股定理得|AC|2|BC|2|AB|2， 即(x1)2y2(x3)2y216， 化简得x2y22x30. 因此，直角顶点C的轨迹方程为 x2y22x30(x3且x1).,课堂小结 1.圆的一般方程x2y2DxEyF0(D2E24F0)，来源于圆的标准方程(xa)2(yb)2r2.在应用时，注意它们之间的相互转化及表示圆的条件. 2.圆的方程可用待定系数法来确定，在设方程时，要根据实际情况，设出恰当的方程，以便简化解题过程. 3.对于曲线的轨迹问题，要作简单的了解，能够求出简单的曲线的轨迹方程，并掌握求轨迹方程的一般步骤.,答案 D,2.若方程x2y2DxEyF0(D2E24F)表示的曲线关于直线yx对称，那么必有( ),A.DE B.DF C.EF D.DEF,答案 A,3.圆C：x2y22x4y40的圆心到直线3x4y40的距离d_.,答案 3,4.求过三点A(0，5)，B(1，2)，C(3，4)的圆的方程.,
