1、题型五 二次函数与几何综合题,类型五 相似三角形问题,导,方,法,指,对于三角形相似的存在性问题，解决此类问题的一般步骤如下： ABC与DEF相似，在没指明对应点的情况下，理论上应分六种情况讨论，但实际问题中不超过四种，比如相似常见有如下两种类型，每类分两种情况讨论就可以了.,导,方,法,指,先确定已知三角形的特征，再确定动态三角形中固定的因素，是否与已知三角形中有相等的角；再根据相似列比例求解 类型：分别用点的横坐标表示边长，然后根据对应关系列式： 可知两个三角形中分别存在直角，分类讨论直角边的两种对应情况；已知一条对应边，只需要讨论另外两条边的对应关系，列关系式求解；若已知三角形有可求出的
2、角度(对应角)，然后分类讨论另外两个角的对应情况，列关系式求解,例(2017郴州)如图，已知抛物线y=ax2+ x+c与x轴交于A、B 两点，与y轴交于点C，且A(2,0)、C(0,-4).直线l:y=- x-4与x轴 交于点D，点P是抛物线y=ax2+ x+c上的一动点，过点P作 PEx轴，垂足为E,交直线l于点F. (1)试求该抛物线表达式； 【思维教练】将点A、C坐标代入抛物线解析式，可得到关于 a、c的方程组，然后求出a、c的值，抛物线表达式；,例题图,典例精讲,(2)如图，若点P在第三象限，四边形PCOF是平行四边形，求P点的坐标； 【思维教练】设点P的横坐标为x，根据PEy轴的条件
3、可用x表示出点P和F的横、纵坐标.利用平行四边形对边相等，即PF=OC,可列出一个关于x的方程，求解即可；,(3)如图，过点P作PHy轴，垂足为H，连接AC. 求证：ACD是直角三角形； 试问当P点横坐标为何值时，使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似？ 【思维教练】先求得直线l与x轴的交点D的坐标，再利用已知A、C的坐标求出AC、CD、AD的平方，根据勾股定理的逆定理证明ACD是直角三角形； 【思维教练】设点P的横坐标为m，则点P和H的横、纵坐标均可用m来表示，从而CH和PH也可用m表示出来.由中结论可知，点C与点H为对应顶点，但其他两点的对应性不确定，所以分两种情况讨论，得到两组对应
4、线段成比例，从而列出方程，求解并检验即可.,（1）解：把A(2,0)、C(0,-4)代入y=ax2+ x+c得：4a+ +c=0 a=15c=-4, c=-4,该抛物线表达式为：y= x2+ x-4;（2）解：设P（x, x2+ x-4）,则 F（x, - x-4）,PF=- x-4-( x2+ x-4)=- x2- x.,，解得,在平行四边形PCOF中, PF=OC=4, - x2- x=4, 解得x1=-8,x2=- , P点的坐标为（-8,-4）或（- ,- ）； （3）证明：把y=0代入y=- x-4，解得x=-8, D(-8,0). 又A（2,0）,C（0,-4）, AC2=20,CD2=80,AD2=100, AC2+CD2=AD2, 即ACD=90, ACD是直角三角形；,解：设P（m, m2+ m-4）,则 H(0, m2+ m-4). C(0,-4), CH=|-4-( m2+ m-4)| =| m2+ m|, PH=|m|. (i)当PCHADC时，有 ，即 ， 解得m10(舍去)，m22，m318； (ii)当PCHDAC时，有 ，即 ， 解得m10(舍去)，m2 ，m3 .,综上所述,当P点的横坐标为2或-18或- ,- 时,使得以点P、C、H为顶点的三角形与ACD相似.,
