1、第一部分 考点研究,第三单元 函数,第12课时 反比例函数,考点特训营,反比例函数,概念：一般地，形如y=kx（k为常数且k0）的函数叫做反比例函数，k叫做比例系数，反比例函数自变量的取值范围是一切_实数,图象及性质,比例系数k的几何意义,反比例函数解析式的确定,非零,图象及性质,减小,增大,原点或(0，0),温馨提示: 双曲线不是连续曲线，是两支不同的曲线，所以比较函数值大小时，要注意所判断的点是否在同一象限，再结合每个象限内反比例函数图象的增减性来比较，解决这种问题的一个有效办法是画出草图，标上各点，再比较大小.,比例系数k的几何意义,1.k的几何意义：如图，过反比例函数图象上任一点P（x
2、，y）作x轴、y轴的垂线PM、PN，所得矩形PMON的面积S=PMPN|y|x|xy|_ 2.常见的反比例函数图象中有关图形面积的类型:,|k|,反比例函数解析式的确定,待定系数法,1.设出反比例函数解析式y= ; 2.找出满足图象上的点P（a，b）; 3.将P（a，b）代入解析式得k=ab; 4.确定反比例函数解析式y=,利用k的几何意义：若题中已知面积的情况，可考虑用k的几何意义求解,重难点突破,一 、反比例函数的图象及性质 例 1 已知反比例函数y . (1)若该函数y随x的增大而增大，则m的取值范围为_，该函数的图象在第_象限； (2)若C(2，3)与D(2，n)都在该函数图象上，则n
3、的值为_；,m1,二、四,3,(3)在(2)的条件下，M(x1，y1)与N(x2，y2)在该函数图象上，若y1y20，则x1_x2； (4)正方形ABCO的边OA，OC分别在x轴、y轴的正半轴，且OA4，反比例函数y 经过AB边的中点D，与BC边相交于点E，则m的值为_，已知点( ，n)也在反比例函数图象上，则n的值为_,9,【解析】四边形ABCO为正方形，OA4，D是AB的中点，D(4，2)，又点D在y 上，m1248，m9，又( ，n)也在y ， n8，n .,利用增减性比较函数值的大小忽略象限而出错 已知点A(1，y1)，B(1，y2)和C(2，y3)都在反比例函数y(k0)的图象上，则
4、_0)中k0，y随x的增大而减小，112，y1y2y3.,y1,y3,y2,【解析】当k0时，图象在第一、三象限，当x0时，y0；当x0时，y0，y2y30，y10，y1y3y2.错解在于未考虑反比例函数图象在不同象限的y值情况,【正确答案】_ 【名师提醒】1.同一象限内的点直接利用函数增减性进行比较； 2不同象限内的点，先判断函数值的正负，再利用增减性进行比较,二 反比例函数与几何图形结合,1与几何图形结合求k值时，要明确图形顶点(或其他点)在反比例函数图象上，需将图形的边长(或其他线段长)转化为点坐标，然后利用待定系数法求得k值有时会利用相似、全等、勾股定理等知识进行解答,2与几何图形结合
5、求点坐标时，若未知解析式，先利用待定系数法求出反比例函数解析式，然后根据图形的特征，结合反比例函数解析式，求得所求点的坐标有时会利用直角三角形的性质，比例线段的性质来求解；若已知解析式时，则需设出图形上顶点的坐标，将含有未知数的坐标值代入反比例函数解析式，求得其坐标 3涉及到图形变换时，要注意变换前后图形与反比例函数图象的交点位置的变化，进而利用反比例函数图象上的点的特征、及已知条件进行相关计算,例 2 在ABC中，ACB90，将RtABC放在如图所示的平面直角坐标系中，ABC的边ACx轴，AC1，点B在x轴上，点C在函数y (x0)的图象上先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个单
6、位长度得到A1B1C1，此时点A1在函数y (x0)的图象上，B1C1与 此图象交于点P，则点P的纵坐标是( ) A. B. C. D. ,例2题图,【思维教练】可由边ACx轴，AC1，点C在函数y (x0)的图象上，求得点C的坐标，继而求得点A与点B的坐标，然后由旋转的性质、平移的性质，求得A1B1C1各顶点的坐标，再由点A1在函数y (x0)的图象上，B1C1与此图象交于点P，求得答案,【解析】ACx轴，AC1，点C的横坐标为1，点C在函数y (x0)的图象上，y2，点C的坐标为(1，2)，点A 的坐标为(0，2)，点B的坐标为(1，0)，先将此三角形作关于原点O的对称图形，再向右平移3个
7、单位长度得到A1B1C1，A1的坐标为(3，2)，B1的坐标为(4，0)，C1的坐标为(4，2)，,点A1在函数y (x0)的图象上，kxy3(2)6，此反比例函数的解析式为：y ，线段B1C1的解析式为x4，点P的横坐标为4，点P的纵坐标为：y .,练习1 如图，反比例函数y- 经过正方形ABCO的边AB的中点D，与BC相交于点E，连接EO，DO，则四边形BEOD的面积为_,练习1题图,【解析】根据k的几何意义可知|k|2SADO2 AOAD AO24，S正方形ABCOAO28，SADOSECO |k|2，S四边形BEODS正方形ABCOSADOSECO8224.,练习2 如图，点A在双曲线
8、y 的第一象限的一支上，AB垂直于y轴于点B，点C在x轴正半轴上，且OC2AB，点E在线段AC上，且AE3EC，点D为OB的中点，若ADE的面积为3，则k的值为_,练习2题图,【解析】如解图，连接DC，AE3EC，ADE的面积为3，CDE的面积为1, ADC的面积为4, 设A点坐标为(a，b)，则ABa，OC2AB2a, 而点D为OB的中点，BDOD b，,练习2题解图,S梯形OBACSABDSADCSODC， (a2a)b a b4 2a b，ab ， 把A(a，b)代入双曲线y ，kab .,三 反比例函数与一次函数结合,反比例函数与一次函数综合题，常涉及以下几个方面： (1)求函数解析式
9、时，一般先通过一个已知点坐标求得反比例函数解析式，再由反比例函数解析式求得另一交点坐标，再将这两点坐标代入即可求得一次函数解析式； (2)涉及与面积有关的问题时：要善于把点的横、纵坐标转化为图形边长，对于边长不在坐标轴上或边长不平行于,坐标轴的图形面积无法直接求得时，往往采用割补法将其转化为边在坐标轴上或平行于坐标轴的三角形再进行相关计算；要注意系数k的几何意义的应用：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|(或过双曲线上任意一点引x轴、y轴垂线，所得三角形面积为 |k|)； (3)涉及根据图象求不等式的解集或函数值大小的问题时：,求交点； 分
10、区：过两函数图象的交点分别作y轴的平行线，连同y轴，将平面分为四部分，如下图，即、；,观察函数图象找答案：根据函数图象上方的值总比函数图象下方的值大，在各区域内找相应的x的取值范围,，区域内： axb，自变量取值范围为x ，自变量取值范围为xBxA.,例3 如图，已知双曲线y 经过点B(3 ，1)，点A是双曲线第三象限上的动点，过B作BCy轴，垂足为C，连接AC. (1)求k的值； (2)若ABC的面积为6 ，求直线AB的解析式； (3)在(2)的条件下，写出反比例函数值大于一 次函数值时x的取值范围 【自主作答】,例3题图,解：(1)把B(3 ，1)代入y 中得1 ， k3 ； (2)设AB
11、C中BC边上的高为h， BCy轴，B(3 ，1)； BC3 ， ABC的面积为6 ， BCh6 ，,h4， 点A的纵坐标为143， 把y3代入y ， x ， A( ，3)和B(3 ，1)代入ymxn，,，,解得 直线AB的解析式为y x2； (3)由图象可得：x 或0x3 .,练习3 如图，在平面直角坐标系中，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，B，与反比例函数y (k为常数，且k0)在第一象限的图象交于点E，F.过点E作EMy轴于M，过点F作FNx轴与N，直线EM与FN交于点C. 若 ，记CEF的面积为S1， OEF的面积为S2，则 ( ) A. B. C. D.,练习3题图,【解析】如解图，过点F作FRMO于点R，EWNO于点W， ， ，MEEWFRNF|k|， ，,练习3题解图,设E点坐标为：(x，4y)，则F点坐标为(4x，y)，则点C坐标为(4x，4y)，S1 (4xx)(4yy) xy，OEF的面积为：S2S矩形CNOMS1SMEOSFONCNON xy MEMO FNNO4x4y xy x4y y4x16xy xy4xy， xy， .,
