1、第22课时 矩 形,-2-,-3-,1.矩形定义:有一个角是 直角 的平行四边形,叫做矩形(长方形). 2.矩形的性质:边:(1)矩形的两组对边分别 平行 ; (2)矩形的两组对边分别 相等 ; 角:(3)矩形的对角相等,四个角都是 直角 ; 对角线:(4)矩形的对角线 相等 ,且互相平分. 对称性:(5)矩形既是轴对称图形(2条对称轴),也是 中心对称图形 ,对角线的交点是它的 对称中心 . 3.矩形的判定:角:(1)有一个角是 直角 的平行四边形是矩形; (2)有三个角是 直角 的四边形是矩形; 对角线:(3)对角线相等的 平行四边形 是矩形; (4)对角线 相等 且互相平分的四边形是矩形
2、.,-4-,1.(2017泸州)下列命题是真命题的是 ( D ) A.四边都相等的四边形是矩形 B.菱形的对角线相等 C.对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D.对角线相等的平行四边形是矩形 2.(2017兰州)如图,矩形ABCD的对角线AC与BD相交于点D,ADB=30,AB=4,则OC= ( B )A.5 B.4 C.3.5 D.3,-5-,3.(2017山西)如图,将矩形纸片ABCD沿BD折叠,得到BCD,CD与AB交于点E.若1=35,则2的度数为( A )A.20 B.30 C.35 D.55 4.(2017上海)已知平行四边形ABCD,AC、BD是它的两条对角线,那么下列条件中,能
3、判断这个平行四边形为矩形的是 ( C ) A.BAC=DCA B.BAC=DAC C.BAC=ABD D.BAC=ADB,-6-,考点1 矩形的性质 【例1】(2015南平)如图,矩形ABCD中,AC与BD交于点O,BEAC,CFBD,垂足分别为E,F.求证:BE=CF. 【名师点拨】 本题主要考查矩形的性质及三角形全等的判定方法及性质.要证BE=CF,可运用矩形的性质结合已知条件证BE、CF所在的三角形全等.,-7-,【我的解法】 证明:四边形ABCD为矩形,AC=BD,则BO=CO. BEAC于E,CFBD于F,BEO=CFO=90. 又BOE=COF,BOECOF. BE=CF. 【题型
4、感悟】 求证不为同一三角形的两线段相等,关键是能够将所证线段放在两三角形,结合已知条件,判定出两三角形全等是解决问题的关键.,-8-,【考点变式】 (2017南宁)如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,点E,F在BD上,BE=DF.(1)求证:AE=CF; (2)若AB=6,COD=60,求矩形ABCD的面积.,-9-,解:(1)证明:四边形ABCD是矩形, OA=OC,OB=OD,AC=BD,ABC=90, BE=DF,OE=OF, 在AOE和COF中,OA=OC,AOE=COF,OE=OF, AOECOF(SAS),AE=CF; (2)OA=OC,OB=OD,AC=BD,OA=O
5、B, AOB=COD=60,AOB是等边三角形,OA=AB=6,AC=2OA=12,-10-,考点2 矩形的判定 【例2】(2015湘西)如图,在平行四边形ABCD中,DEAB,BFCD,垂足分别为E,F.(1)求证:ADECBF; (2)求证:四边形BFDE为矩形. 【名师点拨】 本题考点为矩形的判定;全等三角形的判定与性质;平行四边形的性质.(1)由DE与AB垂直,BF与CD垂直,得到一对直角相等,再由ABCD为平行四边形得到AD=BC,对角相等,利用AAS即可的值;(2)由平行四边形的对边平行得到DC与AB平行,得到CDE为直角,利用三个角为直角的四边形为矩形即可的值.,-11-,【我的
6、解法】 证明: (1)DEAB,BFCD,AED=CFB=90, 四边形ABCD为平行四边形,AD=BC,A=C,(2)四边形ABCD为平行四边形,CDAB,CDE+DEB=180, DEB=90,CDE=90,CDE=DEB=BFD=90,四边形BFDE为矩形. 【题型感悟】 此题考查了矩形的判定,全等三角形的判定与性质,以及平行四边形的性质,熟练掌握矩形的判定方法是解本题的关键.,-12-,【考点变式】 (2017安顺)如图,DBAC,且DB= AC,E是AC的中点,(1)求证:BC=DE; (2)连接AD、BE,若要使四边形DBEA是矩形,则给ABC添加什么条件,为什么?,又DBEC,四
7、边形DBCE是平行四边形.BC=DE. (2)添加AB=BC.理由:DBAE,DB=AE,四边形DBEA是平行四边形. BC=DE,AB=BC,AB=DE.ADBE是矩形.,-13-,一、选择题 1.(2017西宁)如图,点O是矩形ABCD的对角线AC的中点,OMAB交AD于点M,若OM=3,BC=10,则OB的长为 ( D ),2.(2017怀化)如图,在矩形ABCD中, 对角线AC,BD相交于点O,AOB=60,AC=6 cm,则AB的长是 ( A ),A.3 cm B.6 cm C.10 cm D.12 cm,-14-,3.(2017安顺)如图,矩形纸片ABCD中,AD=4 cm,把纸片
8、沿直线AC折叠,点B落在E处,AE交DC于点O,若AO=5 cm,则AB的长为 ( C )A.6 cm B.7 cm C.8 cm D.9 cm,-15-,二、填空题 4.(2016茂名)已知矩形的对角线AC与BD相交于点O,若AO=1,那么BD= 2 . 5.(2016无锡)如图,矩形ABCD的面积是15,边AB的长比AD的长大2,则AD的长是 3 .,-16-,三、解答题 6.(2017日照)如图,已知BA=AE=DC,AD=EC,CEAE,垂足为E. (1)求证:DCAEAC; (2)只需添加一个条件,即 ,可使四边形ABCD为矩形.请加以证明.,DCAEAC(SSS); (2)添加AD=BC,可使四边形ABCD为矩形;理由如下: AB=DC,AD=BC,四边形ABCD是平行四边形, CEAE,E=90, 由(1)得:DCAEAC, D=E=90,四边形ABCD为矩形.,
