1、第一章,计数原理,1,知识网络 系统盘点，提炼主干,2,要点归纳 整合要点，诠释疑点,3,题型研修 突破重点，提升能力,章末复习提升,1.两个计数原理 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是排列组合中解决问题的重要手段，也是基础方法，尤其是分类加法计数原理与分类讨论有很多相通之处，当遇到比较复杂的问题时，用分类的方法可以有效的将之分解，达到求解的目的.正确地分类与分步是用好两个原理的关键，即完成一件事到底是“分步”进行还是“分类”进行，这是选用计数原理的关键.,2.排列与组合 排列数与组合数计算公式主要应用于求值和证明恒等式，其中求值问题应用连乘的形式，证明恒等式应用阶乘的形式，在证明恒等式时，
2、要注意观察恒等式左右两边的形式，基本遵循由繁到简的原则，有时也会从两边向中间靠拢.,对于应用题，则首先要分清是否有序，即是排列问题还是组合问题.,3.二项式定理 (1)与二项式定理有关：包括定理的正向应用、逆向应用，题型如证明整除性、证明一些简单的组合恒等式等，此时主要是要构造二项式，合理应用展开式；,(2)与通项公式有关：主要是求特定项，比如常数项、有理项、x的某次幂等，此时要特别注意二项展开式中第k1项的通项公式是Tk1C ankbk(k0,1，n)，其二项式系数是C ，而不是C ，这是一个极易错点.,题型一 两个计数原理的应用 基本计数原理提供了“完成某件事情”是“分类”进行，还是“分步
3、”进行.在分类或分步中，针对具体问题考虑是与“顺序”有关，还是无关，来确定排列与组合.,例1 在AOB的OA边上取m个点，在OB边上取n个点(均除O点外)，连同O点共mn1个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( ),解析 方法一 第一类：从OA边上(不包括O)任取一点与从OB边上(不包括O)任取两点，可构造一个三角形，有 个；,第二类：从OA边上(不包括O)任取两点与OB边上(不包括O)任取一点，可构造一个三角形，有 个；,第三类：从OA边上(不包括O)任取一点与OB边上(不包括O)任取一点，与O点可构造一个三角形，有 个. 由分类加法计数原理共有 个三角形.,答案 C,跟踪演
4、练1 现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两部分不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有( )A.144种 B.72种 C.64种 D.84种,解析 根据所用颜色的种数分类,第二类：用3种颜色，必须有一条对角区域涂同色：,共有24481284(种).,答案 D,题型二 排列与组合应用题 在解决一个实际问题的过程中，常常遇到排列、组合的综合性问题，而解决问题的第一步是审题，只有认真审题，才能把握问题的实质，分清是排列问题、组合问题，还是综合问题，分清分类与分步的标准和方式，并且要遵循两个原则：一是按元素的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步.,解决排列组合应用题的
5、常用方法： (1)合理分类，准确分步； (2)特殊优先，一般在后； (3)先取后排，间接排除； (4)相邻捆绑，间隔插空； (5)抽象问题，构造模型； (6)均分除序，定序除序.,例2 用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，则其中数字2,3相邻的偶数有_个(用数字作答). 解析 数字2和3相邻的偶数有两种情况.,第一种情况，当数字2在个位上时，则3必定在十位上，此时这样的五位数共有A 6(个)；,第二种情况，当数字4在个位上时，且2,3必须相邻，此时满足要求的五位数有 12(个)，则一共有61218(个).,18,跟踪演练2 从1到9的九个数字中取三个偶数四个奇数，问： (1)能组
6、成多少个没有重复数字的七位数？,(2)上述七位数中3个偶数排在一起的有几个？,(3)在(1)中的七位数中，偶数排在一起，奇数也排在一起的有几个？,(4)在(1)中任意两个偶数都不相邻的七位数有几个？,题型三 二项式定理的应用 对于二项式定理的考查常有两类问题：第一类，直接运用通项公式求特定项或解决与系数有关的问题；第二类，需运用转化思想化归为二项式定理来处理的问题.,例3 (1)若(2x )4a0a1xa2x2a3x3a4x4，则(a0a2a4)2(a1a3)2的值为( ) A.1 B.0 C.1 D.2,两式相乘，得,所以(a0a2a4)2(a1a3)2(34)41.,答案 C,(2)若(3
7、x22x1)5a10x10a9x9a8x8a1xa0(xC)，求(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)2； a2a4a6a8a10. 解 令x1，得a0a1a1025； 令x1，得(a0a2a4a6a8a10)(a1a3a5a7a9)65.,两式相乘，得(a0a2a4a6a8a10)2(a1a3a5a7a9)22565125. 令xi，得a10a9ia8a7ia6a5ia4a3ia2a1ia0(22i)525(1i)525(1i)22(1i)128128i 整理得，(a10a8a6a4a2a0)(a9a7a5a3a1)i128128i，,故a10a8a6a4a2a0128.
8、因为a01， 所以a10a8a6a4a2127.,跟踪演练3 (1)(x1)9按x降幂排列的展开式中，系数最大的项是( ) A.第4项和第5项 B.第5项 C.第5项和第6项 D.第6项 解析 根据二项式系数的性质，(x1)9的展开式中的中间两项即第5项和第6项的二项式系数最大，但第6项的系数是负数，所以只有第5项的系数最大.,B,(2)已知(x2)9a0a1(x1)a2(x1)2a9(x1)9，|a1|a2|a9|的值为_.,a1，a2，a3，a9均为正，,所以|a1|a2|a9|a1a2a9. 因此，在已知等式中令x0， 得a0a1a2a929. 又a01，所以|a1|a2|a9|291511. 答案 511,课堂小结 排列、组合应用题从形式上看有以下几种最为常见的问题：数字问题、人或物的排列问题、几何问题、选代表或选样品的问题、集合的子集个数问题.二项式定理题型为以下几种：求展开式中的某一项或某一项系数的问题；求所有项系数的和或者奇数项、偶数项系数和的问题；二项式某一项为字母，求这个字母的值的问题；求近似值的问题，试题难度不大.,
