1、資訊科學數學3: Logic,陳光琦助理教授 (Kuang-Chi Chen) chichen6mail.tcu.edu.tw,Binomial Theorem - review,3.2 二項式定理（The Binomial Theorem）若 x 及 y 為變數，且 n 為一正整數，則(x + y)n = Note: C(n, r) 被稱為二項式係數（binomial coefficient）.,Application of Binomial,定理一：對每個整數n 0 a) C(n, 0) + C(n, 1) + C(n, 2) + + C(n, n)= 2n，b) C(n, 0) C(n,
2、 1) + C(n, 2) C(n, 3) + + (-1)nC(n, n)= 0。,Multinomial Theorem,3.3 多項式定理（The Multinomial theorem）對正整數n、k，(x1 + x2 + x3 + + xk)n 的展開式，x1n1x2n2x3n3xknk 的係數為n!/(n1! n2! n3! nk!)其中每一個 ni 均為整數 且 0 ni n， 1 i k，n1 + n2 + n3 + + nk = n。,Proof of Multinomial Thm,3.3 多項式定理（The Multinomial Theorem）如同二項式的証明，x1n
3、1x2n2x3n3xknk 的係數為由 n 個因子中選 n1 個 x1 因子，由剩下的 ( n n1 ) 個因子中選 n2 個 x2 因子，最後為( n n1 n2 nk-1 ) = nk 個 xk 因子。= n!/(n1! n2! n3! nk!) 。 （多項式係數）,Logic 邏輯,Logic,1. 邏輯：數學家應用邏輯系統來證明，資訊學家使用邏輯系統發展演算法。1.1 基本連結 及 真假值表（The Basic Connectives and Truth Tables） 敘述 (statements) or 命題 (propositions)：為陳述的語句，不是真的就是假的，不可以真假
4、不分。以小寫英文字母 p, q, r, s來表示。e.g., p：微積分是工學院大一共同必修。 q：2 + 8 = 10。,Negation,感嘆句 or 命令句不為敘述，因為沒有真偽。e.g., r：多麼宜人的氣候啊！ s ：快起床，要遲到了。敘述句的否定（negation）：p、q (q) 。e.g., p：微積分不是工學院大一共同必修。 q：2 + 8 10。,Logical Connectives,將兩個或更多的敘述邏輯連結（logical connectives）形成複合敘述（compound statement）。a) Conjunction（合取）：pq，p 且 q。 b) Di
5、sjunction（析取）：pq，p 或 q。 c) Implication（蘊含）：pq，p 蘊含 q。 d) Bioconditional（雙條件）：pq，p 若且唯若 q。,Conjunction,a) Conjunction（合取）：pq，p 且 q。e.g., p：微積分是工學院大一共同必修。q：醫資系每屆有 1/10 學生重修。pq： “微積分是工學院大一共同必修” 且 “醫資系每屆有 1/10 學生重修”。,Disjunction,b) Disjunction（析取）： pq，p 或 q。Inclusive（包含）：p q，p、q 有一者為真 或 兩者同時為真。 Exclusiv
6、e（排斥）：p q，p、q 有一者為真 但 兩者不同時為真。e.g., p：微積分是工學院大一共同必修。 q：醫資系每屆有 1/10 學生重修。pq：“微積分是工學院大一共同必修” 或 “醫資系每屆有 1/10 學生重修”。,Implication,c) Implication（蘊含）： pq，p 蘊含 q。“若 p 則 q ” （if - then）。 “p 對 q 是充分的” or “p 是 q 的充分條件”。 “q 對 p 是必要的” or “q 是 p 的必要條件”。? “p 唯若 q ”。e.g., p：微積分是工學院大一共同必修。 q：醫資系每屆有 1/10 學生重修。pq：若 “
7、微積分是工學院大一共同必修” 則 “醫資系每屆有 1/10 學生重修”。,Bioconditional,d) Bioconditional（雙條件）： pq，p 若且唯若 q。（ p iff q，p if and only if q ）“ p 對 q 是充分且必要的 ” “ p 是 q 的充分且必要條件 ”。e.g., p：微積分是工學院大一共同必修。 q：醫資系每屆有 1/10 學生重修。pq：“微積分是工學院大一共同必修” 若且唯若 “醫資系每屆有 1/10 學生重修”。,Truth Tables,若 “0” 代表假，若 “1” 代表真，則真假值表：Note: pq，除了 “p真q假” 時
8、為 假，其餘均為 真；因為我們並不希望一個 真的敘述 引導我們相信 一些錯誤的事情。,More Truth Tables,More Truth Tables,Decision or Selection,1.2 若-則-否則（If-Then-Else）If p then q, else r：若 p 為真則執行 q，若 p 為假則執行 r 。# 在資訊科學，if-then-else 決策結構常出現在高階語言，如 Java 或 C+，p 經常是一個關係表示式，如 x 2。這個表示式形成一個邏輯敘述且具真假值，而 q、r 通常為一個 “可執行敘述”。,Tautology & Contradiction
9、,若複合敘述對其敘述的所有真假值均為真，則被稱為重言（tautology，T0 ）；若複合敘述對其敘述的所有真假值均為假，則被稱為矛盾（contradiction，F0 ）。# 在資訊科學，使用 重言 及 蘊含 的概念來描述一個 “有效的論證（valid argument）”。,Logic Law 邏輯定律,Logically Equivalent,2.1 Logically Equivalent邏輯相等、實質相同、邏輯等價兩敘述若邏輯等價（logically equivalent），記為 s1 s2 ，意謂 “當 敘述 s1 為真時，若且唯若 敘述 s2 為真”，“當 敘述 s1 為假時，若
10、且唯若 敘述 s2 為假”。E.g., (pq) (pq)(pq) (pq) (qp)(pq) (pq) (qp),Example,E.g., (pq) (pq)(pq) (pq) (qp)(pq) (pq) (qp),Distributive Law,對所有實數，-(a + b) = (-a) + (-b)；則對於敘述 p、q、r，分配律（Distributive Law）： a) p(qr) (pq)(pr)； b) p(qr) (pq)(pr)。相似於 a(b + c) = (ab) + (ac)，乘法對加法的分配律。（note：加法對乘法並無分配律）,DeMorgan Law,DeMo
11、rgan Law：1) (pq) (p)(q)； 2) (pq) (p)(q) ；稱為 DeMorgan Law。,Logic Law (part 1),Logic Law (part 2),Duality,2.2 對偶（Duality）上述之定律除了 (1) 皆成對出現，符合對偶。令 s 為一敘述，若 s 除了、外無其他聯結，則 s 的對偶（dual）表為 sd。E.g., s：(p q)(rT0)，則 sd：(pq) (rT0) 。Note：由 s 得 sd 時，q 並未改變。,The Principle of Duality,對偶原理（Principle of Duality）令 s 及
12、 t 為兩僅含、之敘述，若 s t，則 sd td 。上述定律 (2)-(10) ，每一個成立，再引用對偶原理即可建立出另一個 & 導出邏輯等價。More Details in Chapter 15,Example 1,E.g., p：A 去湖邊散步，q ：B 去百貨公司血拼。(pq) ： 若 “A 去湖邊散步”，則 “B 去百貨公司血拼”。 (qp) ： 若 “B不去百貨公司血拼”，則 “A不去湖邊散步” 。,Example 2,E.g., p：A 注意膽固醇值是否在標準範圍，q ：A 一星期至少運動兩次。(pq) ： 若 “A 注意膽固醇值是否在標準範圍”，則 “A 一星期至少運動兩次”。 (qp) ： 若 “A 一星期不至少運動兩次拼”，則 “A 不注意膽固醇值是否在標準範圍” 。 (qp) ：,
