1、 第1 页（共21 页） 2018 年 高考 模拟 数 学试 题 4 （理 科 ） 一、选择题：本大题 共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个 选项 ，只有一个 选项符合题目要求. 1（ 5 分） 若复 数 z 满足 2z+ =3 2i ，其 中 i 为 虚数 单 位， 则 z= （ ） A 1+2i B 1 2i C1+2i D1 2i 2（ 5 分） 设集 合 A=y|y=2 x ，x R ，B=x|x 2 1 0 ，则 A B= （ ） A （1 ，1 ） B（ 0，1 ） C （ 1 ，+ ） D（ 0，+ ） 3（ 5 分） 某高 校调 查了 200 名 学生
2、每周 的自 习时 间 （单位 ：小 时） ，制 成了 如 图所示 的频 率分布 直方 图， 其中 自习 时间的 范围 是17.5 ，30 ， 样本数 据分 组为17.5 ，20）， 20 ，22.5）， 22.5 ，25）， 25 ，27.5）， 27.5 ，30 根 据直 方图， 这 200 名学 生中 每周 的自 习时间 不少 于 22.5 小 时的 人数 是（ ） A 56 B 60 C 120 D 140 4（ 5 分） 若变 量 x ，y 满足 ，则 x 2 +y 2 的最 大值 是 （ ） A 4 B 9 C 10 D 12 5（ 5 分） 一个 由半 球和 四棱锥 组成 的几 何
3、体 ，其 三视图 如图 所示 则 该几 何体的 体积 为 （ ） 第2 页（共21 页） A + B + C + D 1+ 6（ 5 分） 已 知直 线 a ，b 分别在 两个 不同 的平 面 ， 内 则 “ 直线 a 和 直线 b 相交 ” 是 “平面 和平 面 相交 ” 的（ ） A 充分 不必 要条 件 B 必要 不充 分条 件 C 充要 条件 D 既不 充分 也不 必要 条 件 7（ 5 分） 函数 f （x ）= （ sinx+cosx）（ cosx sinx ） 的最小 正周 期是 （ ） A B C D 2 8（ 5 分） 已知 非零 向量 ， 满足 4| |=3| | ，cos
4、 ， = 若 （t + ） ， 则实 数 t 的值为 （ ） A 4 B 4 C D 9（ 5 分 ） 已知 函数 f （x ） 的定义 域 为 R当 x0 时，f （x ）=x 3 1 ； 当1 x1 时，f （ x）= f （x ） ； 当 x 时，f （x+ ）=f （x ） 则 f （6 ）= （ ） A2 B1 C 0 D 2 10（ 5 分 ）若 函数 y=f （x ）的图 象上 存在 两点 ，使 得函数 的图 象在 这两 点处 的切线 互相 垂 直，则 称 y=f （x） 具有 T 性质 下列 函数 中具 有 T 性质的 是（ ） A y=sinx B y=lnx C y=e x
5、D y=x 3二、填空题：本大题 共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11（ 5 分 ） （ 执行 如图 的 程序框 图， 若输 入 的 a ，b 的值分 别 为 0 和 9， 则输 出的 i 的值 为 12（ 5 分 ）若 （ax 2 + ） 5 的展开 式 中 x 5 的 系数 是80，则 实 数 a= 第3 页（共21 页） 13（ 5 分 ）已 知双 曲线 E ： =1 （a 0 ，b 0） ， 若 矩形 ABCD 的四 个顶 点在 E 上， AB ，CD 的中 点 为 E 的两 个焦点 ， 且 2|AB|=3|BC| ，则 E 的离 心率 是 14（ 5 分 ）在 1，1
6、上 随机地 取一 个 数 k， 则事 件 “直线 y=kx 与圆 （x 5 ） 2 +y 2 =9 相交 ” 发生的 概率 为 15（ 5 分 ）已 知函数 f （x ）= ，其 中 m 0，若 存在 实数 b ，使 得关 于 x 的方程 f （x ）=b 有 三 个不同 的根 ， 则 m 的取值 范围是 三、解答题, ：本大题共 6 小题，共 75 分. 16（ 12 分 ） 在 ABC 中 ， 角 A ， B ， C 的 对边 分别 为 a ， b， c ， 已 知 2 （tanA+tanB ） = + （ ） 证明 ：a+b=2c ； （ ）求 cosC 的最 小值 17（ 12 分 ）
7、在 如图 所示 的圆台 中，AC 是下 底面 圆 O 的 直径 ，EF 是上底面 圆 O 的直 径， FB 是圆台的 一条 母线 （I ）已知 G ，H 分别 为 EC ，FB 的中 点， 求证 ：GH 平面 ABC ； （ ）已知 EF=FB= AC=2 ，AB=BC ， 求二 面角 F BC A 的 余弦 值 18（ 12 分 ）已 知数 列a n 的前 n 项和 S n =3n 2 +8n ，b n 是 等差 数列 ，且 a n =b n +b n+1 （ ） 求数 列b n 的 通项 公式； （ ）令 c n = ，求数 列c n 的前 n 项和 T n 19（ 12 分） 甲、 乙两
8、 人 组成 “ 星队 ” 参 加猜 成语 活 动， 每轮 活动 由甲、 乙各 猜一个 成语， 在 一轮活 动中 ，如 果两 人都 猜对， 则 “ 星队 ” 得 3 分 ； 如果只 有一 个人 猜对 ，则 “ 星队 ” 得 1 分； 如果两 人都 没猜 对 ， 则 “星队 ” 得 0 分 已知 甲每 轮猜 对的概 率是 ， 乙每 轮猜 对 的 概率 是 ； 每轮活 动中 甲 、 乙 猜对 与 否互不 影响 各轮 结果 亦 互不影 响 假 设 “星队 ” 参加 两轮活 动 ， 求： （I ）“ 星队 ” 至 少猜 对 3 个 成语的 概率 ； （II ） “ 星队” 两轮 得分 之和 为 X 的
9、分布 列和 数学期 望 EX 20（ 13 分 ）已 知 f （x ）=a （x lnx ）+ ，a R （I ）讨论 f （x ） 的单 调性 ； （II ）当 a=1 时， 证 明 f （x）f （x）+ 对于任 意的 x1 ，2 成 立 第4 页（共21 页） 21（ 14 分 ）平 面直 角坐 标系 xOy 中，椭 圆 C ： + =1 （a b0 ）的 离心 率是 ，抛 物线 E ：x 2 =2y 的焦点 F 是 C 的一 个顶 点 （I ）求椭圆 C 的方 程； （ ）设 P 是 E 上 的动 点 ，且位 于第 一象 限，E 在点 P 处的 切线 l 与 C 交与 不同的 两 点
10、A ， B ， 线段 AB 的 中点 为 D ， 直线 OD 与过 P 且垂 直 于 x 轴的 直线 交于 点 M （i ）求 证： 点 M 在定 直线 上； （ii ）直线 l 与 y 轴交于点 G，记 PFG 的 面积 为 S 1 ， PDM 的面 积 为 S 2 ，求 的最大 值 及取得 最大 值时 点 P 的 坐 标 第5 页（共21 页） 201 年 高考数学 模拟 试卷 4（理科） 参考答案与试题解析 一、选择题：本大题 共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分，每小题给出四个 选项 ，只有一个 选项符合题目要求. 1（ 5 分） （2016 山 东） 若复 数 z 满足 2z
11、+ =3 2i ， 其中 i 为 虚数 单位 ，则 z= （ ） A 1+2i B 1 2i C1+2i D1 2i 【考点 】 复 数代 数形 式的 乘除运 算 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；规 律型 ；转化 思想 ；数 系的 扩充 和复数 【分析 】 设 出复 数 z ，通 过 复数方 程求 解即 可 【解答 】 解 ：复 数 z 满足 2z+ =3 2i ， 设 z=a+bi ， 可得：2a+2bi+a bi=3 2i 解得 a=1 ，b= 2 z=1 2i 故选：B 【点评 】 本 题考 查复 数的 代数形 式混 合运 算， 考查 计算能 力 2（ 5 分） （2016 山
12、东） 设集 合 A=y|y=2 x ，xR ，B=x|x 2 1 0，则 A B= （ ） A （1 ，1 ） B（ 0，1 ） C （ 1 ，+ ） D（ 0，+ ） 【考点 】 并 集及 其运 算 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；集 合思 想；数 学模 型法 ；集 合 【分析 】 求 解指 数函 数的 值域化 简 A ， 求解 一元 二 次不等 式化 简 B ， 再由 并 集运算 得答 案 【解答 】解： A=y|y=2 x ，xR= （0 ，+ ）， B=x|x 2 10= （1 ，1）， A B= （0，+ ） （1，1 ）=（1，+ ） 故选：C 【点评 】 本 题考 查并
13、集及 其运算 ， 考 查了 指数 函数 的值域 ， 考 查一 元二 次不 等式的 解法 ， 是 基础题 3（ 5 分） （2016 山 东） 某高校 调查 了 200 名 学生 每周的 自习 时间 （单 位： 小时） ，制 成了 如图所 示的 频率 分布 直方 图， 其中 自习 时间 的范 围 是17.5 ， 30 ， 样本 数据 分 组为17.5 ， 20）， 20 ，22.5）， 22.5 ，25）， 25 ，27.5）， 27.5 ，30 根 据直方 图， 这 200 名 学生 中每周 的自 习时间 不少 于 22.5 小时 的 人数是 （ ） 第6 页（共21 页） A 56 B 60
14、 C 120 D 140 【考点 】 频 率分 布直 方图 菁优网版权所有 【专题】 计 算题 ；图 表型 ；概率 与统 计 【分析 】 根 据已 知中 的频 率分布 直方 图， 先计 算出 自习时 间不 少 于 22.5 小 时 的频率 ，进 而 可得自 习时 间不 少 于 22.5 小时的 频数 【解答 】 解 ：自 习时 间不 少于 22.5 小时 的频 率为： （0.16+0.08+0.04 ）2.5=0.7 ， 故自习 时间 不少 于 22.5 小 时的频 率为 ：0.7200=140 ， 故选：D 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是频 率分 布直 方图 ，难 度不大 ，属 于基
15、 础题 目 4（ 5 分） （2016 山 东） 若变 量 x，y 满足 ，则 x 2 +y 2 的 最大 值是 （ ） A 4 B 9 C 10 D 12 【考点 】 简 单线 性规 划 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；对 应思 想；数 形结 合法 ；不 等式 【分析 】 由约 束条 件作 出 可行域 ， 然后 结合 x 2 +y 2 的 几何意 义 ， 即 可行 域内 的 动点与 原点 距 离的平 方求 得 x 2 +y 2 的最 大值 【解答 】 解 ：由 约束 条件 作出可 行域 如图 ， A （0 ，3）， C （0 ，2）， |OA| |OC| ， 联立 ，解 得 B （3
16、，1） ， x 2 +y 2 的最 大值 是 10 故选：C 【点评 】 本 题考 查简 单的 线性规 划， 考查 了数 形结 合的解 题思 想方 法和 数学 转化思 想方 法 ， 是中档 题 第7 页（共21 页） 5（ 5 分 ） （2016 山 东 ） 一 个由半 球和 四棱 锥组 成的 几何体 ， 其三 视图 如图 所 示 则该 几何 体的体 积为 （ ） A + B + C + D 1+ 【考点 】 由 三视 图求 面积 、体积 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；空 间位 置关系 与距 离； 立体 几何 【分析 】 由 已知 中的 三视 图可得 ： 该 几何 体上 部是 一个半
17、 球， 下部 是一 个四 棱锥， 进而 可得 答案 【解答 】 解 ：由 已知 中的 三视图 可得 ：该 几何 体上 部是一 个半 球， 下部 是一 个四棱 锥， 半球的 直径 为棱 锥的 底面 对角线 ， 由棱锥 的底 底面 棱长 为 1 ，可 得 2R= 故 R= ，故半 球的 体积 为： = ， 棱锥的 底面 面积 为：1，高为 1， 故棱锥 的体 积 V= ， 故组合 体的 体积 为： + ， 故选：C 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是由 三视 图， 求体 积和 表面积 ， 根 据已 知的 三视 图， 判 断几 何体 的形状 是解 答的 关键 6（ 5 分） （2016 山东 ）
18、 已 知直 线 a ，b 分 别在 两个 不 同的平 面 ， 内 则 “直线 a 和直线 b 相交 ” 是“ 平面 和 平面 相交” 的（ ） A 充分 不必 要条 件 B 必要 不充 分条 件 C 充要 条件 D 既不 充分 也不 必要 条 件 【考点 】 必 要条 件、 充分 条件与 充要 条件 的判 断 菁优网版权所有 【专题 】 探 究型 ；空 间位 置关系 与距 离； 简易 逻辑 【分析 】 根 据空 间直 线与 直线， 平面 与平 面位 置关 系的几 何特 征， 结合 充要 条件的 定义 ， 可 得答案 【解答 】 解 ：当 “直线 a 和 直线 b 相交 ”时， “ 平面 和平
19、面 相交 ” 成 立， 第8 页（共21 页） 当 “平面 和平 面 相交 ” 时，“ 直线 a 和 直线 b 相交 ” 不一 定成 立， 故 “直线 a 和直 线 b 相交 ” 是“平面 和平 面 相交 ” 的充分 不必 要条 件， 故选：A 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是充 要条 件， 空间 直线 与平面 的位 置关 系， 难度 不大， 属于 基础 题 7（ 5 分） （2016 山东 ） 函 数 f （x ） = （ sinx+cosx）（ cosx sinx ） 的最 小正 周期是（ ） A B C D 2 【考点 】 三 角函 数中 的恒 等变换 应用 ；三 角函 数的 周期
20、性 及其 求法 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；转 化思 想；转 化法 ；三 角函 数的 图像与 性质 【分析 】 利 用和 差角 及二 倍角公 式， 化简 函数 的解 析式， 进而 可得 函数 的周 期 【解答 】 解 ： 数 f （x ） = （ sinx+cosx）（ cosx sinx ） =2sin （x+ ） 2cos （x+ ） =2sin （2x+ ）， T= ， 故选：B 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是和 差角 及二 倍角 公式 ，三角 函数 的周 期， 难度 中档 8（ 5 分 ） （2016 山东） 已 知非零 向量 ， 满足 4| |=3| | ， co
21、s ， = 若 （t + ）， 则实 数 t 的值 为（ ） A 4 B4 C D 【考点 】 平 面向 量数 量积 的运算 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；转 化思 想；平 面向 量及 应用 【分析 】 若 （t + ） ，则 （t + ）=0 ，进 而可 得实 数 t 的值 【解答 】解： 4| |=3| | ，cos ， = ， （t + ）， （t + ）=t + 2 =t| | | | +| | 2 = （ ）| | 2 =0 ， 解得：t= 4， 故选：B 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是平 面向 量数 量积 的运 算， 向 量垂 直的 充要 条件 ， 难度 不大 ，
22、 属 于基础 题 9（ 5 分） （2016 山东 ） 已 知函 数 f （x ） 的定 义域 为 R当 x0 时， f （x） =x 3 1 ； 当 1x1 时，f（x ）= f （x ） ； 当 x 时，f （x+ ）=f （x ） 则 f （6）= （ ） A2 B1 C 0 D 2 【考点 】 抽 象函 数及 其应 用 菁优网版权所有 【专题 】 综 合题 ；转 化思 想；综 合法 ；函 数的 性质 及应用 第9 页（共21 页） 【分析 】 求 得函 数的 周期 为 1， 再利 用当 1x1 时，f （x）= f （x） ，得 到 f （1 ）= f （1） ， 当 x0 时，f （
23、x ）=x 3 1， 得到 f （1 ）= 2， 即可 得出 结论 【解答 】解： 当 x 时，f （x+ ）=f （x ）， 当 x 时，f （x+1 ）=f （x） ，即 周期 为 1 f （6 ）=f （1）， 当1x 1 时，f （x ）= f （x）， f （1 ）= f（1）， 当 x 0 时，f （x）=x 3 1， f （1）= 2 ， f （1 ）= f（1）=2 ， f （6 ）=2 故选：D 【点评 】 本 题考 查函 数值 的计算 ，考 查函 数的 周期 性，考 查学 生的 计算 能力 ，属于 中 档 题 10（ 5 分） （2016 山东 ） 若函 数 y=f （x）
24、的 图象 上 存在两 点， 使得 函数 的图 象在这 两点 处 的切线 互相 垂直 ，则 称 y=f （x） 具有 T 性质 下列 函 数中具 有 T 性 质的 是（ ） A y=sinx B y=lnx C y=e xD y=x 3【考点 】 利 用导 数研 究曲 线上某 点切 线方 程 菁优网版权所有 【专题 】 转 化思 想； 转化 法；函 数的 性质 及应 用； 导数的 概念 及应 用 【分析 】 若函 数 y=f （x） 的图象 上存 在两 点 ， 使得 函数的 图象 在这 两点 处的 切线互 相垂 直， 则函 数 y=f （x）的 导函 数 上存在 两点 ，使 这点 的导 函数值
25、乘积 为1， 进而 可 得答案 【解答 】 解 ：函 数 y=f （x ）的图 象上 存在 两点 ，使 得函数 的图 象在 这两 点处 的切线 互相 垂 直， 则函 数 y=f （x）的 导函 数 上存在 两点 ，使 这点 的导 函数值 乘积 为1， 当 y=sinx 时，y =cosx ，满 足条件 ； 当 y=lnx 时，y = 0 恒成 立，不 满足 条件 ； 当 y=e x 时，y =e x 0 恒成 立，不 满足 条件 ； 当 y=x 3 时，y =3x 2 0 恒 成立， 不满 足条 件； 故选：A 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是利 用导 数研 究曲 线上 某点切 线方 程
26、， 转化 思想 ，难度 中档 二、填空题：本大题 共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分. 11（ 5 分 ） （2016 山东 ） 执行如 图的 程序 框图 ，若 输入 的 a ，b 的 值分 别为 0 和 9， 则输 出 的 i 的值 为 3 第10 页（共21 页） 【考点 】 程 序框 图 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；操 作型 ；算法 和程 序框 图 【分析 】 根 据已 知的 程序 框图可 得， 该程 序的 功能 是利用 循环 结构 计算 并输 出变 量 i 的值 ， 模拟程 序的 运行 过程 ，可 得答案 【解答 】解： 输入 的 a ，b 的值 分别 为 0 和
27、9 ，i=1 第一次 执行 循环 体后 ：a=1 ，b=8 ， 不满 足条 件 a b ，故 i=2 ； 第二次 执行 循环 体后 ：a=3 ，b=6 ， 不满 足条 件 a b ，故 i=3 ； 第三次 执行 循环 体后 ：a=6 ，b=3 ， 满足 条件 a b ， 故输出 的 i 值 为：3， 故答案 为：3 【点评 】 本 题考 查的 知识 点是程 序框 图， 当循 环次 数不多 ， 或 有规 律可 循时 ， 可采 用模 拟程 序法进 行解 答 12（ 5 分 ） （2016 山东 ） 若 （ax 2 + ） 5 的 展开 式 中 x 5 的 系数 是80 ， 则 实数 a= 2 【考
28、点 】 二 项式 系数 的性 质 菁优网版权所有 【专题 】 二 项式 定理 【分析 】 利 用二 项展 开式 的通项 公 式 T r+1 = （ax 2 ） 5 r ，化简 可得 求的 x 5 的系 数 【解答 】 解 ： （ax 2 + ） 5 的展 开式的 通项 公 式 T r+1 = （ax 2 ） 5 r = a 5 r ， 令 10 =5 ，解得 r=2 （ax 2 + ） 5 的展 开式 中 x 5 的 系数 是80 a 3 = 80， 得 a= 2 第11 页（共21 页） 【点评 】 考 查了 利用 二项 式定理 的性 质求 二项 式展 开式的 系数 ，属 常规 题型 13（
29、 5 分） （2016 山 东） 已知双 曲 线 E ： =1 （a 0，b0 ） ， 若 矩形 ABCD 的四个 顶点 在 E 上，AB ，CD 的 中点 为 E 的两 个焦 点， 且 2|AB|=3|BC| ，则 E 的 离心 率是 2 【考点 】 双 曲线 的简 单性 质 菁优网版权所有 【专题 】 方 程思 想； 分析 法；圆 锥曲 线的 定义 、性 质与方 程 【分析 】 可令 x=c ， 代入 双曲线 的方 程， 求得 y= ， 再由 题意 设出 A ，B ，C ，D 的坐 标， 由 2|AB|=3|BC| ，可得 a ，b ，c 的 方程 ，运 用离 心率 公 式计算 即可 得到
30、 所求 值 【解答 】解：令 x=c ， 代 入双曲 线的 方程 可 得 y=b = ， 由题意 可 设 A （c ， ）， B （c ， ）， C （c ， ）， D （c ， ）， 由 2|AB|=3|BC| ，可得 2 =3 2c ，即 为 2b 2 =3ac ， 由 b 2 =c 2 a 2 ，e= ，可得 2e 2 3e 2=0 ， 解得 e=2 （负 的舍 去） 故答案 为：2 【点评 】 本 题考 查双 曲线 的离心 率的 求法 ，注 意运 用方程 的思 想， 正确 设 出 A ，B ，C ，D 的坐标 是解 题的 关键 ，考 查运算 能力 ，属 于中 档题 14（ 5 分） （
31、2016 山东 ） 在 1 ，1 上随 机地 取一 个 数 k， 则事 件 “ 直线 y=kx 与圆（x5 ） 2 +y 2 =9 相交 ” 发 生的 概率 为 【考点 】 几 何概 型 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；转 化思 想；综 合法 ；概 率与 统计 【分析 】 利 用圆 心到 直线 的距离 小于 半径 可得 到直 线与圆 相交 ， 可 求出 满足 条件 的 k， 最后 根据几 何概 型的 概率 公式 可求出 所求 【解答 】 解 ：圆 （x 5） 2 +y 2 =9 的 圆心 为（5 ，0） ， 半径 为 3 圆心到 直 线 y=kx 的距 离为 ， 第12 页（共21 页
32、） 要使直 线 y=kx 与 圆（x 5 ） 2 +y 2 =9 相 交， 则 3，解 得 k 在区 间 1，1 上 随机 取 一个 数 k， 使直 线 y=kx 与 圆（x 5） 2 +y 2 =9 相 交相 交的概 率为 = 故答案 为： 【点评 】 本题 主要考 查了 几何概 型的 概率 ， 以 及直 线与圆 相交 的性 质， 解题 的关键 弄清 概 率 类型， 同时 考查 了计 算能 力，属 于基 础题 15（ 5 分） （2016 山东 ） 已知函 数 f （x）= ，其中 m 0， 若存 在实 数 b， 使得 关于 x 的 方程 f （x）=b 有三 个不 同的 根 ，则 m 的取
33、 值范 围是 （3，+ ） 【考点 】 根 的存 在性 及根 的个数 判断 菁优网版权所有 【 专题 】 转 化思 想； 数形 结合法 ；函 数的 性质 及应 用 【分析 】 作 出函 数 f （x）= 的图象 ，依 题意 ，可 得 4m m 2 m （m 0） ， 解之 即可 【解答 】解：当 m 0 时 ，函 数 f （x ）= 的图 象如 下 ： xm 时，f （x）=x 2 2mx+4m= （xm ） 2 +4m m 2 4m m 2 ， y 要使得关于 x 的 方程 f （x）=b 有三 个不 同的 根 ， 必须 4m m 2 m （m 0）， 即 m 2 3m （m 0）， 解得
34、m 3， m 的取值 范围 是（3 ，+ ）， 故答案 为： （3，+ ） 第13 页（共21 页） 【点评 】 本 题考 查根 的存 在性及 根的 个数 判断 ，数 形结合 思想 的 运 用是 关键 ，分析 得 到 4m m 2 m 是难点 ，属 于中 档题 三、解答题, ：本大题共 6 小题，共 75 分. 16（ 12 分） （2016 山 东 ） 在 ABC 中， 角 A ， B ， C 的对边 分别 为 a ， b ， c ， 已 知 2 （tanA+tanB ） = + （ ） 证明 ：a+b=2c ； （ ）求 cosC 的最 小值 【考点 】 三 角函 数中 的恒 等变换 应用
35、 ；正 弦定 理； 余弦定 理 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；证 明题 ；综合 法； 解三 角形 【分析 】 （ ） 由切 化弦 公 式 ，带 入 并整理 可 得 2（sinAcosB+cosAsinB ）=sinA+cosB ， 这 样根 据 两角 和的 正弦 公式 即可 得到 sinA+sinB=2sinC ，从 而根据 正弦 定理 便可 得 出 a+b=2c ； （ ）根据 a+b=2c ， 两边 平方便 可得 出 a 2 +b 2 +2ab=4c 2 ， 从而 得出 a 2 +b 2 =4c 2 2ab ， 并由 不 等式 a 2 +b 2 2ab 得出 c 2 ab ， 也
36、就 得到 了 ， 这样 由余 弦 定理便 可得 出 ， 从而得 出 cosC 的范 围， 进 而便可 得 出 cosC 的 最小 值 【解答 】 解 ： （ ） 证明 ： 由 得： ； 两边 同乘 以 cosAcosB 得，2 （sinAcosB+cosAsinB ）=sinA+sinB ； 2sin （A+B ）=sinA+sinB ； 即 sinA+sinB=2sinC （1）； 根据正 弦定 理， ； ，带 入（1 ） 得： ； a+b=2c； （ ）a+b=2c ； （a+b ） 2 =a 2 +b 2 +2ab=4c 2 ； a 2 +b 2 =4c 2 2ab，且 4c 2 4ab
37、 ， 当且 仅当 a=b 时取 等 号； 又 a ，b 0 ； ； 由余 弦定 理， = ； cosC 的 最小 值为 第14 页（共21 页） 【点评 】 考查 切化 弦公 式 ， 两 角和 的正 弦公 式 ， 三 角形的 内角 和 为 ， 以及 三角函 数的 诱导 公式， 正余 弦定 理， 不等 式 a 2 +b 2 2ab 的应 用， 不 等式的 性质 17（ 12 分） （2016 山 东 ） 在如图 所示 的圆 台中 ，AC 是下底 面 圆 O 的 直径 ，EF 是上底 面圆 O 的直 径，FB 是 圆台 的一 条母线 （I ）已知 G ，H 分别 为 EC ，FB 的中 点， 求证
38、 ：GH 平面 ABC ； （ ）已知 EF=FB= AC=2 ，AB=BC ， 求二 面角 F BC A 的 余弦 值 【考点 】 二 面角 的平 面角 及求法 ；直 线与 平面 平行 的判定 菁优网版权所有 【专题 】 证 明题 ；转 化思 想；向 量法 ；空 间位 置关 系与距 离； 空间 角 【分析 】 （ ）取 FC 中点 Q ， 连结 GQ 、QH ，推 导 出平 面 GQH 平面 ABC ，由此 能证 明 GH 平面 ABC （ ）由 AB=BC，知 BO AC，以 O 为原 点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO 为 z 轴 ， 建立 空间直 角坐 标系 ，利 用向 量法
39、能 求出 二面 角 F BC A 的余 弦值 【解答 】 证 明： （ ）取 FC 中点 Q ， 连结 GQ 、QH ， G 、H 为 EC 、FB 的中 点 ， GQ ，QH ， 又 EF BO ，GQ BO ， 平面 GQH 平面 ABC ， GH 面 GQH ， GH 平面 ABC 解： （ ） AB=BC ， BO AC ， 又 OO 面 ABC ， 以 O 为原 点，OA 为 x 轴，OB 为 y 轴，OO 为 z 轴，建 立空 间直 角坐 标系 ， 则 A （ ，0，0）， C （2 ，0 ，0）， B （0 ，2 ，0）， O （0，0 ，3）， F （0 ， ，3）， =（2
40、， ，3）， = （2 ，2 ，0）， 由题意 可知 面 ABC 的法 向 量为 = （0 ，0 ，3）， 设 = （x 0 ，y 0 ，z 0 ）为 面 FCB 的 法向 量， 则 ，即 ， 取 x 0 =1 ，则 = （1，1 ， ）， 第15 页（共21 页） cos ， = = 二面 角 F BC A 的 平 面角是 锐角 ， 二面 角 F BC A 的 余 弦值为 【点评 】 本 题考 查线 面平 行的证 明， 考查 二面 角的 余弦值 的求 法， 是中 档题 ， 解题 时要 认真 审题， 注意 向量 法的 合理 运用 18（ 12 分） （2016 山东） 已 知数列a n 的前
41、n 项和 S n =3n 2 +8n ， b n 是等 差数 列， 且 a n =b n +b n+1 （ ） 求数 列b n 的 通项 公式； （ ）令 c n = ，求数 列c n 的前 n 项和 T n 【考点 】 数 列的 求和 ；数 列递推 式 菁优网版权所有 【专题 】 综 合题 ；转 化思 想；综 合法 ；等 差数 列与 等比数 列 【分析 】 （ ） 求出 数列a n 的 通项 公式 ，再 求数 列b n 的 通项 公式 ； （ ） 求出 数列c n 的通 项，利 用错 位相 减法 求数 列c n 的前 n 项和 T n 【解答 】 解 ： （ ）S n =3n 2 +8n ，
42、 n2 时，a n =S n S n 1 =6n+5 ， n=1 时，a 1 =S 1 =11 ， a n =6n+5 ； a n =b n +b n+1 ， a n 1 =b n 1 +b n ， a n a n 1 =b n+1 b n 1 2d=6 ， d=3 ， a 1 =b 1 +b 2 ， 11=2b 1 +3 ， b 1 =4 ， b n =4+3 （n1）=3n+1 ； （ ）c n = = =6 （n+1 ）2 n ， T n =62 2+3 2 2 + + （n+1 ）2 n ， 2T n =62 2 2 +3 2 3 + +n 2 n + （n+1 ） 2 n+1 ， 第
43、16 页（共21 页） 可得 T n =62 2+2 2 +2 3 + +2 n （ n+1） 2 n+1 =12+6 6 （n+1 ） 2 n+1 = （6n ）2 n+1 = 3n2 n+2 ， T n =3n 2 n+2 【点评 】 本题 考查数 列的 通项与 求和 ， 着重考 查等 差数列 的通 项与 错位 相减 法的运 用 ， 考 查 分析与 运算 能力 ，属 于中 档题 19（ 12 分） （2016 山东 ）甲 、 乙两 人组 成 “ 星队 ” 参加猜 成语 活动 ， 每轮 活 动由甲 、 乙各 猜 一个成 语 ， 在 一轮 活动 中 ， 如 果两 人都 猜对 ， 则 “星队 ”
44、 得 3 分 ； 如果 只有 一个 人猜对 ， 则 “ 星 队 ” 得 1 分 ； 如 果两 人都 没 猜对 ， 则 “ 星队 ” 得 0 分 已 知甲每 轮猜 对的 概率 是 ， 乙每轮 猜对 的概率 是 ；每轮 活动 中甲 、乙猜 对与 否互 不影 响 各轮结 果亦 互不 影响 假 设 “星队 ” 参加 两轮活 动， 求： （I ）“ 星队 ” 至 少猜 对 3 个 成语的 概率 ； （II ） “ 星队” 两轮 得分 之和 为 X 的 分布 列和 数学期 望 EX 【考点 】 离散 型随机 变量 的期望 与方 差 ； 列举 法计 算基本 事件 数及 事件 发生 的概率 ； 离散 型 随机
45、变 量及 其分 布列 菁优网版权所有 【专题 】 计 算题 ；分 类讨 论；分 类法 ；概 率与 统计 【分析 】 （I ） “ 星队” 至少 猜 对 3 个 成语 包含 “ 甲 猜对 1 个， 乙猜 对 2 个” ， “甲猜对 2 个， 乙猜 对 1 个 ” ， “ 甲 猜对 2 个 ， 乙猜 对 2 个 ” 三 个基 本事 件 ，进而 可得 答案 ； （II ） 由已 知 可得： “星队 ” 两轮得 分之 和 为 X 可能 为 ：0，1，2，3 ，4，6 ， 进 而 得到 X 的分 布列和 数学 期望 【解答 】 解 ： （I ）“星队 ” 至 少猜 对 3 个 成语 包含 “甲猜对 1 个 ，乙 猜 对 2 个 ” ， “ 甲猜 对 2 个， 乙猜 对 1 个 ” ， “ 甲 猜对 2 个，乙 猜 对 2 个 ” 三 个基 本 事件， 故概率 P= + + = + + = ， （II ） “ 星队” 两轮 得分 之和 为 X 可 能为 ：0，1，2 ，3 ，4，6 ， 则 P （X=0 ）=
