1、第 1 页（共 24 页）2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷（理科） （4 月份）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 （i 是虚数单位）的共轭复数是（ ）A2i B2+i C 2+i D2i2等比数列a n的前 n（nN *）项和为 Sn，若 S1=1，S 2=3，则 S3=（ ）A7 B8 C9 D103已知向量 ， ，t R，则 的最小值是（ ）A5 B4 C3 D24若 f（x）=sin（ x+）+cos（x+ ） （0）的最小正周期为 ， ，则（ ）Af（x）在 单调递增 Bf（x）在 单调递减
2、Cf（x）在 单调递增 Df （x）在 单调递减5如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=，则它的体积 V=（ ）A B C D6某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N，已知 P（80 100）=0.40 ，若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析，则应从 120分以上的试卷中抽取（ ）A5 份 B10 份 C15 份 D20 份7执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是（ ）A0 B C D第 2 页（共 24 页）8若 的展开式中常数项为 1，则实数 a=（ ）A B C D9如果某射手每次射击击中目
3、标的概率为 0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在 15 次射击中，最有可能击中目标的次数是（ ）A10 B11 C10 或 11 D1210在平面直角坐标系 xOy 中，P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点，Q 是圆 x2+y28x8y+30=0 上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）A B C D11函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，若 xf（x）+f（x）=e x，且 f（1）=e，则（ ）Af（x）的最小值为 e Bf（x）的最大值为 eCf（x）的最小值为 Df （x）的最大值为12过双曲线 =1（a0，b0）的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于
4、 A、B 两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率 e 的值所在区间为（ ）A （1， ） B （ ， ） C （ ，2） D （2， ）二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13设 p：|xa|3，q：（x+1） （2x1）0，若p 是 q 的充分不必充要条件，则实数 a的取值范围是 14ABC 三边的长分别为 AC=3，BC=4，AB=5，若 ， ，则 = 15对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解：23=3+5，3 3=7+9+11，4 3=13+15+17+19，根据上述规律，10 3 的分解式中，最大的数是 16已知平面区域 D=（x，y）|0x1，|y|1，（x
5、，y）D， |x+ |的概率 P= 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 3 页（共 24 页）17已知a n是正项等差数列， nN*，数列 的前 n 项和 Sn= （）求 an；（）设 bn=（ 1） nan2，nN *，求数列b n的前 n 项和 Tn18某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了 3 名男生、4 名女生，理科班推荐了 3 名男生、2 名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这 12 名学生随机抽取 3名男生、3 名女生组队集训（）求理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率；（）若先抽取女生，每次随机抽取 1 人，设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到
6、的理科班女生的人数，求 X 的分布列和均值（数学期望） 19如图，ABCD A1B1C1D1 是四棱柱，侧棱 AA1底面 ABCD，底面 ABCD 是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA 1=2（）求证：平面 BDD1B1平面 ABB1A1；（）E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点，DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ，试判断动点 E 在什么样的曲线上20已知椭圆 ： （ab0）的焦距为 4，且经过点 （）求椭圆 的方程；（）A、B 是椭圆 上两点，线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M（0，1） ，求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点） 21已知函数 ，a 是常数，且 a
7、1（）讨论 f（x）零点的个数；（）证明： ，n N*请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-1：几何证明选讲 22如图，O 的弦 AB、CD 相交于 E，过点 A 作O 的切线与 DC 的延长线交于点PPA=6，AE=CD=EP=9第 4 页（共 24 页）（）求 BE；（）求O 的半径选修 4-4：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 24cos+1=0（）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；（）P
8、是曲线 C 上任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值选修 4-5：不等式选讲24 （）已知非零常数 a、b 满足 ，求不等式|2x+1|ab 的解集；（）若x1，2，x|x a|1 恒成立，求常数 a 的取值范围第 5 页（共 24 页）2016 年广东省江门市高考数学模拟试卷（理科） （4 月份）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1复数 （i 是虚数单位）的共轭复数是（ ）A2i B2+i C 2+i D2i【考点】复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简，然后利用共轭
9、复数的概念求得答案【解答】解： = ，复数 的共轭复数是 2+i故选：B2等比数列a n的前 n（nN *）项和为 Sn，若 S1=1，S 2=3，则 S3=（ ）A7 B8 C9 D10【考点】等比数列的通项公式【分析】由题意可得 a2，可得 q，进而可得 a3，前 3 项相加可得 S3【解答】解：等比数列a n的前 n（nN *）项和为 Sn，S 1=1，S 2=3，a 1=S1=1，a 2=S2S1=31=2，故公比 q= =2，故 a3=a2q=4，S 3=1+2+4=7，故选：A3已知向量 ， ，t R，则 的最小值是（ ）A5 B4 C3 D2【考点】平面向量数量积的运算【分析】可
10、求出向量 的坐标，从而得出 ，显然可看出 t=3 时， 可取到最小值 2第 6 页（共 24 页）【解答】解： ； ，当 t=3 时取“=”； 的最小值为 2故选：D4若 f（x）=sin（ x+）+cos（x+ ） （0）的最小正周期为 ， ，则（ ）Af（x）在 单调递增 Bf（x）在 单调递减Cf（x）在 单调递增 Df （x）在 单调递减【考点】函数 y=Asin（x+）的图象变换【分析】由周期求出 ，由 f（0）= 求出 的值，可得函数的解析式；再利用余弦函数的单调性得出结论【解答】解：f（x）=sin（x+）+cos（x+ ）= sin（ x+ ） （0）的最小正周期为 =，可得
11、=2再根据 = sin（ + ） ，可得 sin（+ ）=1 ， + =2k+ ，k Z，故可取 = ，y= sin（2x+ ）= cos2x在 上，2x（ ， ） ，函数 f（x）= cos2x 没有单调性，故排除A、B；在 上，2x（0，） ，函数 f（x）= cos2x 单调递减，故排出 C，故选：D5如图，某几何体的正视图和侧视图都是正三角形，俯视图是圆，若该几何体的表面积S=，则它的体积 V=（ ）A B C D【考点】由三视图求面积、体积第 7 页（共 24 页）【分析】由三视图知该几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为 r，由正视图可得母线长是2r，由题意和圆锥的表面积公式列出方程求
12、出 r，由锥体的体积公式求出几何体的体积【解答】解：根据三视图可知几何体是一个圆锥，设底面圆的半径为 r，由正视图可得母线长是 2r，该几何体的表面积 S=，r 2+r（2r ）=，解得 r= ，则圆锥的高 h= = =1，几何体的体积 V= = = ，故选：C6某地市高三理科学生有 15000 名，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N，已知 P（80 100）=0.40 ，若按成绩分层抽样的方式取 100 份试卷进行分析，则应从 120分以上的试卷中抽取（ ）A5 份 B10 份 C15 份 D20 份【考点】正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据在一次调研测试中，数学成绩
13、 服从正态分布 N，得到数学成绩 关于 =100对称，根据 P（80 100）=0.40 ，得到 P（120）=0.1，根据频率乘以样本容量得到这个分数段上的人数【解答】解：由题意，在一次调研测试中，数学成绩 服从正态分布 N，数学成绩 关于 =100 对称，P（80 100 ）=0.40 ，P（ 120） =P（80）=0.5 0.40=0.1，该班数学成绩在 120 分以上的人数为 0.1100=10故选：B7执行如图所示的程序框图，输出 S 的值是（ ）A0 B C D【考点】程序框图【分析】模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出S=tan +tan +tan +tan +tan
14、的值，利用正切函数的周期性即可计算求值第 8 页（共 24 页）【解答】解：模拟执行程序，可得程序框图的功能是计算并输出 S=tan +tan +tan+tan +tan 的值，由于：tan +tan +tan =0，kZ，且：2016=3672，所以：S=（tan +tan +tan ）+（tan +tan +tan ）=0+0+0=0故选：A8若 的展开式中常数项为 1，则实数 a=（ ）A B C D【考点】二项式系数的性质【分析】利用二项展开式的通项公式求出第 r+1 项，令 x 的指数为 0 得常数项列出方程解方程求出 a 的值【解答】解： 展开式的通项公式为Tr+1=C8r（ ）
15、8r（ ） r=（ ） 8rC8rx8frac43r，令 8 r=0，解得 r=6；所以展开式的常数项为（ ） 2C86=1，解得 a=2 故选：C9如果某射手每次射击击中目标的概率为 0.7，每次射击的结果相互独立，那么他在 15 次射击中，最有可能击中目标的次数是（ ）A10 B11 C10 或 11 D12【考点】n 次独立重复试验中恰好发生 k 次的概率【分析】假设最可能击中目标的次数为 k，由条件利用 n 次独立重复实验中恰好发生 k 次的概率公式可得 ，求得 k 的范围，可得 k 的最大值第 9 页（共 24 页）【解答】解：假设最可能击中目标的次数为 k，根据某射手每次射击击中目
16、标的概率为 0.7，每次射击的结果相互独立，则他击中 k 次的概率为 0.7k0.315k，再由 ，求得 0.2k11.2，再根据击中目标次数为正整数，可得击中目标次数为 11，故选：B10在平面直角坐标系 xOy 中，P 是由不等式组 所确定的平面区域内的动点，Q 是圆 x2+y28x8y+30=0 上的动点，则|PQ|的最小值为（ ）A B C D【考点】简单线性规划【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用数形结合以及点到直线的距离公式进行求解即可【解答】解：圆 x2+y28x8y+30=0 的标准方程为（x 4） 2+（y4） 2=2，则圆心坐标为 C（4，4） ，半径 R= ，作出不等
17、式组对应的平面区域如图：则 C 到直线 x+y4=0 的距离最小，此时 d= =2 ，则|PQ|的最小值为 dR=2 = ，故选：B第 10 页（共 24 页）11函数 f（x） （x0）的导函数为 f（x） ，若 xf（x）+f（x）=e x，且 f（1）=e，则（ ）Af（x）的最小值为 e Bf（x）的最大值为 eCf（x）的最小值为 Df （x）的最大值为【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】设 g（x）=xf（x） ，求导，得到 f（x）= ，再根据导数和函数的最值得关系即可求出【解答】解：设 g（x）=xf（x） ，g（x）=xf （x）+f（x）=e x，g（x）=e x，xf
18、（x）=e x，f（x）= ，f（x）= ，令 f（x）=0，解得 x=1，当 f（x）0，时，解得 x1，函数 f（x）在（1，+）单调递增，当 f（x）0，时，解得 0x1，函数 f（x）在（1，+）单调递减，f（x） min=f（1）=e，故选：A12过双曲线 =1（a0，b0）的一个焦点 F 作平行于渐近线的两直线与双曲线分别交于 A、B 两点，若|AB|=2a，则双曲线离心率 e 的值所在区间为（ ）A （1， ） B （ ， ） C （ ，2） D （2， ）【考点】双曲线的简单性质【分析】求得双曲线的渐近线方程，由两直线平行的条件可得平行直线的方程，联立解得交点 A，B 的坐标，
19、可得 AB 的长，结合 a，b，c 的关系和离心率公式，可得 e 的方程，运用零点存在定理，进而得到离心率的范围【解答】解：双曲线 =1 的渐近线方程为 y= x，设焦点 F（c，0） ，由 y= （xc）和双曲线 =1，解得交点 A（ ，） ，第 11 页（共 24 页）同理可得 B（ ， ） ，即有|AB|= =2a，由 b2=c2a2，由 e= ，可得 4e2=（e 21） 3，由 f（x）= （x 21） 34x2，可得 f（x）=6x（x 21）8x0，x1，f（x）递增又 f（2）0，f（ ）0，可得 e2故选：C二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13设 p：|xa|3
20、，q：（x+1） （2x1）0，若p 是 q 的充分不必充要条件，则实数 a的取值范围是 （， 4 ，+） 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】分别解出关于 p，q 的不等式的解集，结合p 是 q 的充分必要条件得到关于 a 的不等式，解出即可【解答】解：p：|xa |3，解得：xa+3 或 xa 3；p：a3xa+3，q：（x+1） （2x1）0，解得：x 或 x1，若p 是 q 的充分不必充要条件，则 a3 或 a+3 1，解得：a 或 a4，故答案为：（， 4 ，+） 14ABC 三边的长分别为 AC=3，BC=4，AB=5，若 ， ，则 = 第 12 页（共 24 页）【
21、考点】平面向量数量积的运算【分析】由题意可得ABC 是以C 为直角的直角三角形，然后根据已知条件把用向量 表示，则 的值可求【解答】解：在ABC 中，由 AC=3，BC=4，AB=5，得 AC2+BC2=AB2，ABC 是以C 为直角的直角三角形，如图， ， ，又 ，= ， = = 故答案为： 15对大于或等于 2 的自然数的 3 次方可以做如下分解：23=3+5，3 3=7+9+11，4 3=13+15+17+19，根据上述规律，10 3 的分解式中，最大的数是 109 【考点】归纳推理【分析】注意观察各个数分解时的特点，不难发现：当底数是 2 时，可以分解成两个连续的奇数之和；当底数是 3
22、 时，可以分解成三个连续的奇数之和则当底数是 4 时，可分解成 4 个连续的奇数之和，进而求出 23 103 的分解式用的奇数个数，进而求出答案【解答】解：由题意，从 23 到 103，正好用去从 3 开始的连续奇数共 2+3+4+10=54 个，故 103 的分解式中，最大的数是 254+1=109，故答案为：10916已知平面区域 D=（x，y）|0x1，|y|1，（x，y）D， |x+ |的概率 P= 【考点】几何概型【分析】由题意画出图形，利用区域的面积比求概率【解答】解： |x+ |，y 2x，平面区域 D=（x，y）|0x1，|y|1，所围成图形为矩形，S 矩形 =12=2，第 1
23、3 页（共 24 页）（x，y）D，y 2x，其面积为阴影部分的面积，其 S 阴影 = y2dy= y3| = ，故（x，y）D， |x+ |的概率 P= = ，故答案为：三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17已知a n是正项等差数列， nN*，数列 的前 n 项和 Sn= （）求 an；（）设 bn=（ 1） nan2，nN *，求数列b n的前 n 项和 Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】 （I）设正项等差数列 an的公差为 d，由 = 利用“ 裂项求和” 可得：数列 的前 n 项和 Sn= = 分别取 n=1，2 即可得出（II）b n=（ 1） nan2=（1）
24、 n（ n+1） 2，可得：b 2k1+b2k=（n+1） 2+（n+2） 2=2n+3当n=2k（kN *）时，数列b n的前 n 项和 Tn=（b 1+b2）+（b 3+b4）+（b 2k1+b2k） ，即可得出当 n=2k1（kN *）时，数列b n的前 n 项和 Tn=Tn1+an，即可得出第 14 页（共 24 页）【解答】解：（I）设正项等差数列 an的公差为 d， = 数列 的前 n 项和 Sn= + += = n=1 时， =n=2 时， = = ，化简解得：a 1=2，d=1a n=2+（n 1）=n +1（II）b n=（ 1） nan2=（1） n（ n+1） 2，b 2
25、k1+b2k=（n+1） 2+（n+2） 2=2n+3当 n=2k（kN *）时，数列b n的前 n 项和 Tn=（b 1+b2）+（b 3+b4）+（b 2k1+b2k）=（21+3）+（22+3）+（2k+3）= +3k=k2+4k= +2n当 n=2k1（k N*）时，数列b n的前 n 项和 Tn=Tn1+an= （n+1） 2= T n= 第 15 页（共 24 页）18某普通高中组队参加中学生辩论赛，文科班推荐了 3 名男生、4 名女生，理科班推荐了 3 名男生、2 名女生，他们各有所长，总体水平相当，学校拟从这 12 名学生随机抽取 3名男生、3 名女生组队集训（）求理科班至少有
26、 2 名学生入选集训队的概率；（）若先抽取女生，每次随机抽取 1 人，设 X 表示直到抽到文科班女生时所抽到的理科班女生的人数，求 X 的分布列和均值（数学期望） 【考点】离散型随机变量的期望与方差；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量及其分布列【分析】 （）先求出理科班没有学生入选集训队的概率和理科班有 1 名学生入选集训队的概率，由此利用对立事件概率计算公式能求出理科班至少有 2 名学生入选集训队的概率（）由题意 X=0，1，2，分别求出相应的概率，由此能求出 X 的分布列和均值（数学期望） 【解答】解：（）理科班没有学生入选集训队的概率为 理科班有 1 名学生入选集训队的概率为 理科
27、班至少有 2 名学生入选集训队的概率为 （）由题意 X=0，1，2P（X=0）= = ，P（X=1）= P（X=2）= = X 的分布列为：X 0 1 2PX 的均值（数学期望）EX= = 19如图，ABCD A1B1C1D1 是四棱柱，侧棱 AA1底面 ABCD，底面 ABCD 是梯形，AB=BC=CD=1，AD=AA 1=2（）求证：平面 BDD1B1平面 ABB1A1；（）E 是底面 A1B1C1D1 所在平面上一个动点，DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ，试判断动点 E 在什么样的曲线上第 16 页（共 24 页）【考点】直线与平面所成的角；平面与平面垂直的判定【分析】 （I）取
28、 AD 的中点 F，连接 BF，根据各线段长度可得四边形 BCDF 是菱形，ABF 是正三角形，利用菱形性质及三角形性质即可得出ABD=90，即 ABBD，从而BD平面 ABB1A1，于是平面 BDD1B1平面 ABB1A1；（II）以 B 为原点，建立空间直角坐标系，设 E（x，y，2） ，求出 和平面 C1BD 的法向量为 ，令|cos | = 得出 E 点的轨迹方程【解答】证明：（）取 AD 的中点 F，连接 BF，则 AB=BC=CD=AF=DF=1，四边形 BCDF 是菱形，ABF 是正三角形，ABF=AFB=60，FBD=FDB，FBD +FDB= AFB=60，FBD=FDB=3
29、0，ABD=ABF+FBD=90，ABBDAA 1平面 ABCD，BD 平面 ABCD，AA 1BD，又 AA1平面 ABB1A1，AB 平面 ABB1A1，AA 1AB=A，BD平面 ABB1A1，BD平面 BDD1B1，平面 BDD1B1平面 ABB1A1（）以 B 为原点，BD，BA，BB 1 为 x 轴、y 轴、z 轴正方向建立空间直角坐标系，则 B（0，0，0） ，D（ ，0，0） ，C 1（ ， ，2） ，设 E（x，y，2） ， =（ ，0，0） ， =（ ， ，2） ， =（x ，y，z） 设平面 C1BD 的一个法向量为 =（x，y，z） ，则 ， ，取 z=1 得 =（0，
30、4，1） ， =4y+2cos = = 第 17 页（共 24 页）DE 与平面 C1BD 夹角的正弦值为 ，|cos |= ，即| |= 化简整理得， ，动点 E 的轨迹是一条抛物线20已知椭圆 ： （ab0）的焦距为 4，且经过点 （）求椭圆 的方程；（）A、B 是椭圆 上两点，线段 AB 的垂直平分线 l 经过 M（0，1） ，求OAB 面积的最大值（O 为坐标原点） 【考点】椭圆的简单性质【分析】 （）由题意可得 c=2，求得焦点坐标，运用椭圆的定义可得 2a=4 ，即a=2 ，运用 a，b，c 的关系，可得 b，进而得到椭圆方程；（）根据椭圆的对称性，直线 AB 与 x 轴不垂直，设
31、直线 AB：y=kx+m，代入椭圆方程，运用韦达定理和弦长公式，求得 O 到直线 AB 的距离，依题意，|AM|=|BM|，运用两点的距离公式，化简可得 k，m 的等式，讨论 k=0，k0，运用基本不等式和二次函数的最值求法，即可得到所求面积的最大值【解答】解：（）依题意，2c=4，椭圆 的焦点为 F1（ 2，0） ，F 2（2，0） ，由椭圆的定义可得 2a=|PF1|+|PF2|= +=3 + =4 ，即有 a=2 ，则 b2=a2c2=4，则椭圆 的方程为 + =1；（）根据椭圆的对称性，直线 AB 与 x 轴不垂直，设直线 AB：y=kx+m，第 18 页（共 24 页）由 得， （2
32、k 2+1）x 2+4kmx+2m28=0，设 A（x 1，y 1） ，B（x 2，y 2） ，则 ， ，O 到直线 AB 的距离 ，OAB 的面积 ，依题意，|AM|= |BM|，即 ，即有（x 1x2） （ x1+x2）+（y 1y2） （y 1+y22）=0，即为（k 2+1） （x 1+x2）+k（2m 2）=0，代入整理得，k（2k 2+m+1）=0，若 k=0，则 ，等号当且仅当 时成立；若 k0，则 2k2+m+1=0， ，等号当且仅当 m=2， 时成立综上所述，OAB 面积的最大值为 21已知函数 ，a 是常数，且 a1（）讨论 f（x）零点的个数；（）证明： ，n N*【考点
33、】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】 （）利用导数判断函数的单调性及极值最值，通过对 a 分类讨论求得函数零点的个数，第 19 页（共 24 页）（）取 a=2 或 a= ，由（1）知函数单调性，即可证明【解答】证明：（） ，解 f（x）=0 得 x=0，或 x=a22aa=1 时， ，若 x（1，0） ，f（x）0，f（x）f（0）=0，若x（0，+） ，f（x）0，f（x）f （0）=0f（x）有一个零点，1a2 时， 1a 22a0，x （1 ，a 22a） a22a （a 22a，0） 0 （0，+）f（x） + 0 0 +f（x） 由上表可知，f（x）在区
34、间（ a22a，+）有一个零点 x=0，f（a 22a）f（0）=0，又 ，任取 ， ，f（x）在区间（t，a 22a）有一个零点，从而 f（x）有两个零点，a=2 时， ，f （x）在（1，+）上单调递增，有一个零点x=0，a2 时，a 22a0，x （1 ，0 ） 0 （0，a 22a） a22a （a 22a，+）f（x） + 0 0 +f（x） 由上表可知，f（x）在区间（ 1，a 22a）有一个零点 x=0，在区间（a 22a，+）有一个零点，从而 f（x）有两个零点，（）证明：取 a=2，由（1）知 在（1，+）上单调递增，第 20 页（共 24 页）取 （nN *） ，则 ，化简
35、得 ，取 ，由（1）知 在区间 上单调递减，取 （n N*） ，由 f（x）f （0）得 ，即 （nN *） ，综上， ，n N*请考生在第 22、23、24 题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分作答时请写清题号选修 4-1：几何证明选讲 22如图，O 的弦 AB、CD 相交于 E，过点 A 作O 的切线与 DC 的延长线交于点PPA=6，AE=CD=EP=9（）求 BE；（）求O 的半径【考点】与圆有关的比例线段；相似三角形的性质【分析】 （）由圆的切割线定理，可得 PC=3，再由圆的相交弦定理，即可得到 EB 的长；（）作 OMAB，PN AB，分别交 AB 于 M，N，设 A
36、N=x，运用勾股定理，解方程可得 AN=2，求得 PN，AM 的长，运用三角形的相似可得 PNAAMO ，由性质定理，即可得到所求值【解答】解：（I）PA 2=PCPD，PA=6，CD=9，即 36=PC（PC+9） ，得 PC=3（12 舍去） ，所以 PD=PC+CD=12，又 EP=9，所以 ED=PDEP=129=3，CE=EPPC=93=6，又 AEEB=CEED，则 EB= = =2；（II）作 OMAB，PNAB，分别交 AB 于 M，N ，设 AN=x，则 AP2AN2+NE2=EP2，第 21 页（共 24 页）由 AP=6，EP=9，NE=9 x，即有 36x2+（9 x）
37、 2=81，得 x=2 即 AN=2，PN= = ，AB=AE+EB=9+2=11，AM= AB= ，在直角三角形 PNA 和直角三角形 AMO，APN= OAM，PAN=AOM，可得PNA AMO，得： ，即有 OA= = = 选修 4-4：坐标系与参数方程 23在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数） ，以原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 24cos+1=0（）写出直线 l 和曲线 C 的直角坐标方程；（）P 是曲线 C 上任意一点，求 P 到直线 l 的距离的最大值【考点】简单曲线的极坐标方程；参数方程化成普通方程【分析】 （）由
38、 消去参数能得到直线 l 的直角坐标方程，由24cos+1=0， 2=x2+y2，cos =x，能求出曲线 C 的直角坐标方程（）曲线 C 的圆心为（2， 0） ，半径为 ，求出圆心到直线 的距离，由此能求出 P 到直线 l 的距离的最大值【解答】解：（）由 消去参数 t 得，第 22 页（共 24 页）直线 l 的直角坐标方程为 24cos+1=0， 2=x2+y2，cos =x，曲线 C 的直角坐标方程 x2+y24x+1=0（）曲线 C 的直角坐标方程 x2+y24x+1=0，曲线 C：（x 2） 2+y2=3，圆心为（ 2，0） ，半径为 圆心到直线 的距离 P 到直线 l 的距离的最
39、大值 选修 4-5：不等式选讲24 （）已知非零常数 a、b 满足 ，求不等式|2x+1|ab 的解集；（）若x1，2，x|x a|1 恒成立，求常数 a 的取值范围【考点】绝对值不等式的解法；绝对值三角不等式【分析】 （）求出 ab=1，问题转化为|2x+1|1，解出即可；（ ）问题转化为（a 1）（a2x+1）0，通过讨论 a 的范围求出不等式的解集，从而求出 a 的范围即可【解答】解：（I）由已知 ，a、b 不为 0，ab=1 ，原不等式相当于|2x+1|1，所以，2x+1 1 或 2x+11，解得：x|x0 或 x1；（）由已知得，|xa |x10，（xa） 2（x1） 2， （a1） （a 2x+1）0，a=1 时， （a1） （a 2x+1）0 恒成立，a1 时，由（a 1） （a2x+1） 0 得，a 2x1，从而 a3 ，a1 时，由（a 1） （a2x+1） 0 得，a 2x1，从而 a1 ，第 23 页（共 24 页）综上所述，a 的取值范围为（ ，1 3，+） 第 24 页（共 24 页）2016 年 8 月 22 日
