1、4.3 非齐次高阶线性方程特解的常数变易方法、叠加原理( Use the method of Variation of Constants to find particular solution to nonhomogeneous higher order Linear ODE)教学内容 1. 介绍非齐次线性方程特解的常数变易法. 2. 介绍非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 介绍一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）教学重难点 重点是知道常数变易法求解非齐次线性方程的特解； 难点是如何给出未知函数满足的方程. 教学方法 预习 1、2、3；讲授 1、2、3考核目标 1. 灵活
2、运用常数变易法求解非齐次线性方程的特解. 2. 知道非齐次线性方程特解的叠加原理.3. 知道一些特殊求解方法（乘积求导法则、特征方程法和刘维尔公式）1. 常数变易法求解非齐次线性方程的特解（以二阶微分方程为例）(1) 引例(1) 求出方程 ; (2) 的通解. 这里xcsytln36x4t2和 不是多项式函数、不是指数函数、不是可以用形式xxfsin1c)(ttfln36)(特解的待定系数法来求解方程的特解. (2) 解法思路：考察 (*). 为了求出方程（*）的一个特解，f(t)qxdtp()t2先考虑相应的二阶齐次线性方程 (*)，假定已知齐次线性方程的基0(t)(t)2本解组 ，则齐次线
3、性方程的通解为 ，其中 为常数. )(,21tx (t)xctxt2121,c现假定方程（*）具有形如 的特解（这就是常数变易法叫法()c()t()x21由来！） ，经计算得到，(t)x(t)(t)c(t)x(t) 2121注意到将其代入原方程（*）只得一个等式，而这里有两个未知函数 ，因此我(t)c,21们添加一个限制条件 ；进一步求二阶导数得到0(t)c(t)x21，(t)xcc(t)xc(t) 2121 将 代入原方程得到，,，f(t)cq(t)pt(t)xcq(t)pt(t)c 2122211 注意到 为方程（*）的解，因此上述左端第一项和第二项都为零，即得到如下 x,2方程组 ，由此
4、运用克莱姆法则得到 ，f(t)cx021 x,Wf(t)0c,xf(t)0c21211这里 为 Wronski 行列式，是不为零的（为什么？）.,W2121最后对上面两个等式两边同时关于变量 t 积分可得 . (t)c,21例 56 求解 的一个特解. xcsy解：第一步：注意到原方程已是标准形式了，相应的齐次方程为 ，其特征方程0y为 ，特征值为 . 012i2,1于是相应的基本解组为 .sin xy,co2第二步：假定原方程具有如下特解 ，于是由常数变易法知，21(x)yc()满足 ，解得(x)c,21f(x)cy021， . cosinsi0)(1 xxc xxsincosinco0s)
5、(1于是得到， ，其中 为任意常数. |l() ,()21 ,特别地，取 得到所求特解为 . 0 , sinx|lcos- ()y例 57. Find a particular solution to the differential equation .ley2Solution (1) The equation has standard form and the associated homogeneous equation is , whose characteristic equation is . Then we get and 0y2 01212,corresponding fund
6、amental solutions to homogeneous equation are . xxey ,(2) Suppose the original equation has the following particular solution ,21*()c()Then we get . By applying Cramers Rule, we get xlnef() ,xcy0-21, xlnel x-eln x0c2x1 ln xeel -0cxt2We use integration by parts to determine that ,4xln2dxln2xlnd-c21 .
7、l l l 2Particularly, we choose and get a particular solution to our differential equation is 0. x2x2xx22* e43ln )e(ln )e4ln x(-y 作业 51. Find a particular Solution of the differential equation . xe1y 例 58. 求方程 的通解. tln36x t42解：（1）相应齐次方程为 ，这是一个欧拉方程. 令 02 ,et其特征方程为 ， . 于是相应齐次线性方程的基本解组为1)( 32,1. 3221te
8、x,tex（2）改写原方程为标准形式 ，记 . 32tln 6xt43tln6f(t)假定上述方程具有如下特解 ，于是有21*()c()t， , f(t)cx021 423231t6lnttln 6 52322t6ln tl t0c运用分部积分法得到，； 4tln 1tdt2ln t1)ln td(1tl 36(t)c 3343341 9-9-9-dnt 54452特别地，取 ，得到原方程的一个特解 .0 )47(3ln t1t)x*因此，原方程的通解为 ，其中 为任意常数. 47(3ln t1tx()2,作业 52. 求解 的通解. 24 6t 2. 非齐次线性方程的叠加原理（1）参见教材
9、P131，习题 2.例 59 求方程 的一个特解. sint1x解：令 . (t)f ,(t)f21(1) 考察相应齐次线性方程 ，其特征方程 的特征根为 ，相应0x012i1,2的基本解组为 . sint t,cox21(2) 考察非齐次线性方程 ，假定方程具有特解 ，代入方程运用待定系数()f1 Ax法求得 . (3) 考察非齐次线性方程 ，运用例 56 的结果知，(t)f2sin t|l tcos-(t)x(4) 由非齐次线性方程的叠加原理知，原方程的一个特解 . sint| |lcost 1x*作业 53. 求方程 的通解. 17sin(2t)4e5x2 t3. 一类特殊齐次线性微分方
10、程基本解组和特解求法（1）乘积求导法则： ，u(x)v()(u)v. x2(ux)v例 60. 求解方程(1) ; (2) 通解. 0y41)(02y2解：(1) 令 ，于是方程的左端为 ，于是得到)2 (x)u，其中 为任意常数. xu(x)y,于是得到原方程的通解为 ，其中 为任意常数. 1xy()22,（2）经观察不能直接运用乘积求导法则，令 ，v2(x)u ,v(x)u ,v(x)2 由 ，解得 ，此时 ，验证可知 . vx(x)u23()1()()原方程两边同除以 ，得到新方程为 ，解得通解为() 0)xy ,2yx3，于是原方程的通解为 ，其中 为任意常数. xy 作业 53. 求
11、解方程(1) 的通解.06xy1)(23(2) 考察方程 ，假设 代入得到特征方程q(t)dp(t)2tex，若特征方程有实常数根 ，则原方程具有解 .(直接代入验证0q(t)p21t1知结论成立)例 61. 求方程（1） 的通解；（2） 一个特解. 0yx)(1 2xey)(x解：(1) 改写原方程为标准形式为 ，原方程的特征方程为01y)(，可得一实根 ，于是原方程存在一个解函数 . 由刘维0x)(21x1e尔公式（教材 P132 习题 6 或讲义例 42）知，与 线性无关的解为(x)1（这里积分只是指的是一个原函数）dedey1()yxx22 综上知，原方程的通解为 ， . 1)(c2x1Rc,2(2) 运用常数变易法求解.(略）作业 54. 求方程（1） 的通解；（2） 一个0yx )-( 2x)-(1y x)-(1特解.
