1、例析线性规划中的整点最优解浙江 徐志平【大 中 小】【关闭】在组织社会化生产、经营管理活动中，我们经常会碰到最优决策的实际问题。而解决这类问题的现代管理科学以线性规划为其重要的理论基础，其本质都是寻求整个问题的某项整体指标的最优解。但在实际问题中，最优解 (x,y) 通常要满足 x,yN ，这种最优解称为整点最优解，下面通过具体例子谈谈如何求整点最优解 . 1平移找解法 作出可行域后，先打网格，描出整点，平移直线 ，最先经过或最后经过的整点便是整点最优解.例 1 有一批钢管，长度都是 4000mm，要截成 500mm 和 600mm 两种毛坯，且这两种毛坯按数量比不小于 配套，怎样截最合理？
2、分析：先设出未知数，建立约束条件和目标函数后，再通过平移直线，使它经过整点的方法来求整点最优解解：设截 500mm 的钢管 x 根，600mm 的 y 根，总数为 z 根。根据题意，得 ，目标函数为 ，作出可行域如图示阴影部分内的整点，要打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点 作一组平行直线 x+y=t，经过可行域内的点且和原点距离最远的直线为过 B（8，0）的直线，这时 x+y=8.由于 x,y 为正整数，知（8，0）不是最优解。显然要往下平移该直线，在可行域内找整点，使 x+y=7，可知点（2，5），（3，4），（4，3），（5，2），（6，1）均为最优解答：略例 2 某运输公司接受了向
3、抗洪抢险地区每天至少送 180t 支援物资的任务。该公司有 8 辆载重为 6t 的 A 型卡车与 4 辆载重为 10t 的 B 型卡车，有 10 名驾驶员；每辆卡车每天往返的次数为 A型卡车 4 次，B 型卡车 3 次；每辆卡车每天往返的成本费 A 型车为 320 元，B 型车为 504 元。请你们为该公司安排一下应该如何调配车辆，才能使公司所花的成本费最低？ 解： 设每天调出 A 型卡车 x 辆、B 型卡车 y 辆，公司所花的成本为 z 元，则 ，目标函数 z=320x+504y，作出可行域如图示阴影部分内的整点，打出网格，描出整点，网格上的交叉点为整点 作 L0：320x+504y=0，往
4、上平移直线 L0，当直线经过可行域内的点 A（7.5，0）时可使 Z 最小，但 A 不是整点，继续往上平移，最先经过的整点是（8，0） 即只调配 A 型卡车，所花最低成本费 z=3208=2560（元） 答：略这种方法首先要充分利用非整点最优解的信息，结合精确的作图才行，当其可行域是有限区域且整点个数又较少，通常可行域是封闭的多边形，这时可以通过平移直线找到最优解2调整优值法 先求出非整点最优解及最优值，再借助不定方程的知识调整最优值，最后筛选出整点最优解 例 3 要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示： 规格类型钢板类型 A 规格
5、 B 规格 C 规格 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，问各截这两种钢板多少张可得所需三种规格成品，且使所用钢板张数最少？ 解：设需截第一种钢板 x 张，第二种钢板 y 张，共需 z 张则 作出可行域如图示阴影部分内的整点，目标函数为 z =x+y作出一组平行直线 x+y=t, 其中经过可行域内的点且和原点距离最近的直线，经过直线 x +3y=27 和直线 2x+y=15 的交点 A（ ），直线方程为 x+y= . 由于 都不是整数，所以（ ）不是最优解 . 当 时， z=11 ，可知当 时， ，令 x+y=12,y
6、=12-x 代入约束条件，可得 ，所以 x=3 或 4 ，即经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是 x+y=12, 经过的整点是 B(3,9) 和 C(4,8), 它们都是最优解. 答: 要截得所需三种规格的钢板,且使所截两种钢板的张数最少的方法有两种:第一种截法是截第一种钢板 3 张.第二种钢板 9 张;第二种截法是截第一种钢板 4 张、第二种钢板 8 张.两种方法都最少要截两种钢板共 12 张例 4 某人承揽一项业务：需做文字标牌 2 个，绘画标牌 3 个。现有两种规格的原料，甲种规格每张 3 , 可做文字标牌 1 个、绘画标牌 2 个；乙种规格每张 2 ,可做文字标牌 2 个、绘画标
7、牌 1 个。求这两种规格的原料用多少张才能使总的用料面积最小？解：设用甲种规格原料 x 张，乙种规格原料 y 张，则可做文字标牌 x+2y 个，绘画标牌 2x+y 个由题意可得 ，所用原材料的总面积 ，作出可行域如图示阴影部分内的整点，作直线 ，作一组与直线 平行的直线 。当直线 通过 2x+y=3 与直线 x+2y=2 的交点 时，t 取得最小值 因为 不是整点，所以它不是最优解。当 时， ，可知当 时， 代入约束条件，可得 ，即经过可行域内的整点，点B（1，1）满足 3x+2y=5，使 t 最小，所以最优解为 B（1，1） 答：用 甲种规格的原料 1 张，乙种规格的原料 1 张，能使总的用
8、料面积最小，为 5。求整点最优解时，可先放松可行解必须为整点的要求，转化为普通线性规划求解。若所求得的最优解不是整点时，再借助不定方程的知识调整最优值，最后求出整点最优解，特别适用于可行域是一侧为开放的无限大的平面区域这类问题。3.逐一校验法 由于作图有时有误差，有时仅有图象不一定就能准确而迅速地找到最优解，此时可将若干个可能解逐一校验即可见分晓 例 5 某人有楼房一幢，室内面积共 180m2，拟分隔成两类房间作为旅游客房大房间每间面积为 18m2，可住游客 5 名，每名游客每天住宿费为 40 元；小房间每间面积为 15m 2，可住游客 3 名，每名游客每天住宿费为 50 元；装修大房间每间需
9、 1000 元，装修小房间每间需 600 元。如果他只能筹款 8000 元用于装修，且游客能住满客房，他应隔出大房间和小房间各多少间，能获得最大收益？最大收益是多少？ 解：设隔出大、小房间分别为 x 间、 y 间，收益为 z 元，则目标函数 z=200x+150y. 其中 x 、 y 满足约束条件 作出可行域 如图示阴影部分内 的整点 ，由图解法易得 z=200x+150y 过点 时，目标函数 z 取得最大值但 x、y 必须是整数，还需在可行区域内找出使目标函数 z 取得最大值的整点。显然目标函数 z 取得最大值的整点一定是分布在可行区域的右上侧，则利用枚举法进行逐一校验即可求出整点最优解这些
10、整点有：(0 12) ，(1 10)，(2 9) (3 8) (4 6) (5 5) (6 3) (7 1) (8 0) 分别代入 z=200x+150y，逐一校验，可得取整点(0，12) 或(3，8)时，z max=2000+15012=2003+1508=1800(元) 答：要获得最大收益，有两种方案：（1）只隔出小房间 12 间；（2）隔出大房间 3 间，小房间8 间。最大收益为 1800 元 例 6 一批长 4000mm 的条形钢材，需要将其截成长分别为 518mm 与 698mm 的甲、乙两种毛坯，求钢材的最大利用率 解：设甲种毛坯截 x 根，乙种毛坯截 y 根，钢材的利用率为 P
11、，则 ，目标函数为 ，线性约束条件表示的可行域是图中阴影部分的整点表示与直线 518x+698y=4000 平行的直线系。所以使 P 取得最大值的最优解是阴影内最靠近直线 518x+698y=4000 的整点坐标如图看到(0，5)，(1，4)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，2)，(6，1)，(7，0)都有可能是最优解，将它们的坐标逐一代入进行校验，可知当 x=5,y=2 时， 答：当甲种毛坯截 5 根，乙种毛坯截 2 根，钢材的利用率最大，为 99.65% 解线性规划问题的关键步骤是在图（可行域）上完成的，所以作图时应尽可能精确，图上操作尽可能规范，但考虑到作图时必然会有误差，假如图上的最优点并不十分明显易辨时，不妨将几个有可能是最优点的坐标都求出来，然后逐一进行校验，以确定整点最优解.
