1、双线性变换法设计 IIR 数字滤波器一、 实验目的1) 熟悉用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器的原理和方法。2) 掌握数字滤波器设计的计算机仿真方法。3) 观察对心电 图信号的实际滤波作用，获得数字滤波的感性认识。二、 实验原理在滤波器的设计过程中，逼近是一个重要的环节，所谓逼近就是根据性能指标的要求，对理想特性进行逼近，以求得一个因果、稳定且可实现的传递函数。目前模拟滤波器的频域设计理论已经发展的相当成熟，它不仅具有简单而严格的设计公式，而且设计参数已经表格化了。借助模拟滤波器的逼近方法，用模拟域到数字域的某种变换,完成数字滤波器的逼进,这是一类简单而行之有效的方法。双线性变换法采用非线
2、性频率压缩方法，将整个频率轴上的频率范围压缩到-/T/T 之间，再用 z=e 转换 Z 平面上。也就是说，第一步先将整个 S 平面压缩映射到 S1 平面的-/T/T 一条横带里；第二步再通过标准变换关系 z=e 将此横带变换到整个 Z 平面上去。这样就使 S 平面与 Z 平面建立了一一对应的单值关系，消除了多值变换性，也就消除了频谱混叠现象，影射关系如图 7-1 所示。图 7-1 双线性变换的映射关系为了将 S 平面的整个虚轴 j 压缩到 S1 平面 j1 轴上的- /T 到 /T 段上，可以通过以下的正切实现（7-1 ）)2tan(1T式中 T 仍是采样间隔。当 1 由-/T 经过 0 变化
3、到-/T 时， 由- ,也即映射了整个变 化 到经 过 0j 轴。将式（7-1）写成(7-2) TjTjej 112/将此关系到解析延拓到整个 S 平面和 S1 平面，令 j=s， j1=s1，则得(7-3)TsesesTss 111 2)tanh(212/ 再将 s1 平面通过以下标准变换关系映射到 Z 平面：(7-4) se1z从而得到 S 平面和 Z 平面的单值映射关系为(7-5)12T(7-6)sTz21式（7-5）与式（7-6）是 s 平面与 z 平面之间的单值映射关系，这种变换都是两个线性函数之比，因此称为双母性变换。双线性变换式建立起平面与 z 平面的单值映射关系，由上式我们可以
4、得到模拟频率 和数字频率 之间关系：(7-7)2tan(T从上式可知，当 时， 终止在折叠频率 = 处，整个 轴是单值地对应j于单位圆的一周。因此双线性变换法不同于脉冲响应不变法，它不存在频率混淆问题。由于 S 平面的左半平面映射到 Z 平面的单位圆内，S 平面的右半平面映射到 Z 平面的单位圆外，S 平面的虚轴映射到 Z 平面的单位圆上。因此，稳定的模拟滤波器，经双线性变换后扬得的数字滤波器也一定是稳定的。但是，它的频率变换关系是非线性的。这种非线性关系使得通带截止频率、过渡带的边缘频率 的相对位置发生了非线性畸变。这种非线性畸变可以通过预畸变来校正。用双线性变换设计数字滤波器时，一般总是先
5、将数字滤波器的各临界频率经式（7-7）的频率预畸变，求得相应参考模拟滤波器的各临界频率。然后设计参考模拟滤波器的传递函数，最后通过双线性变换变换公式来得数字滤波器的传递函数，这们通过双线性变换，正好将这些频率点映射到我们所需的位置上。图 7-2 双线性变换法的频率变换关系、幅度和相位特性的非线性映射下面我们总结利用模拟滤波器设计 IIR 数字低通滤波器的步骤。a) 确定数字低通滤波器的技术指标：通带截止频率 、通带衰减 、阻带截止频率 、pps阻带衰减 。sb) 将数字低通滤波器的技术指标转换成 模拟低通滤波器的技术指标。采用双线性变换法，边界频率的转换关系为 ) 2tan(Tc) 按照模拟低
6、通滤波器的技术指标设计模拟低通滤波器。d) 将模拟滤波器系统函数 从 S 平面转换到 Z 平面，得到数字低通滤波器系统函数)(sHaH(z)。 1)(zaz三、 实验内容1） 用双线性变换法设计巴特沃斯 IIR 数字滤波器。设计指标为：通带内频率低于 0.2 时，最大衰减小于 1dB；在阻带0.3，频率区间上,最小衰减大于 15dB。2） 以 0.02 为采样间隔，绘出数字滤波器在频率 z 镜0，/2上的幅频响应特性曲线。3） 用所设计的滤波器对实际心电图信号采样序列进行仿真滤波处理，产分别绘出滤波前后的波形图，观察总结滤波作用与效果。实际心电图信号打样样本 x(n)序列为-4,-2,0,-4
7、,-6,-4,-3,-4,-6,-6,-4,-4,-6,-6,-2,6,12,8,0,-16,-38,-60,-84,-90,-66,-32,-4,-2,-4,8,12,12,10,6,6,6,4,0,0,0,0,0,-2,-4,0,0,0,-2,-2,0,0,-2,-2,-2,-2,0四、 实验步骤1） 复习有关巴特沃其模拟滤波器内容和用双线性变换法设计 IIR 数字滤波器内容。2） 运行程序，并绘出图形，完成实验内容 2）和 3）五、 实验子程序简介1） 确定滤波阶数函数 buttord 格式：N,Wn=buttrd(Wp,Ws,Rp,Rs) 其中 N：满足指标的最低滤波器的阶数; Wn:
8、：巴特沃斯自然频率 Rp：通带最大衰减 Rs：阻带最小衰减 Wp、Ws 归一化的通带和阻带的边缘频率。2）确定模拟低通滤波器原型函数 buttap 格式：Z,P,K=buttap(N) 其中 N：满足指标的最低滤皮器阶数 Z：N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的零点 P：N 阶归一化巴特沃斯巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的极点 K：N 阶归一化原型巴特沃斯模拟低通模拟滤波器的增益 3）双线性变换函数 bilinear 格式：NUMd,DENd=bilinear(NUM,DEN,Fs) 其中NUM：s 域转移函数分子系数按幂递减方式排列的行向量 DEN：s 域转移函数分母系数按幂递减排列的行
9、向量 Fs:采样频率 NUMd:z 域转移分子系数按幂递减方式排列的行向量 DENd：z 域转移分母系数按幂递减方式排列的行向量4）滤波函数 filter 格式：y=filter(b,a,x) 参数： 滤波系数 ；.,0Ma滤波器系数 x：输入序列矢量 y：为滤波后的输出 即滤波;.,210Mbb器的系统函数为： 标准形式中取 若输mMnzazabbzABH.)(10 ,10a入滤波系数 a 中 时，MATLAB 会自动归一化系数： 系统给出错信息。10,05）绘制幅频特性曲线函数 freqz 格式一：H ，W=freqz(B,A,N) N: 频点数目，参数N 好选用 2 的整数次幂，以便使用
10、 FFT 进行快速运算，N 的缺省值为 512。 W：数字滤波器的 N 点的频率向量，计算所得的 N 个频率点均匀的分布在 0， 上 H：与 W 相对应的 N 点的频率响应向量，计算所得的 N 个频率点均匀的分布在 0， 上，H：与 W 相对应的 N 点频率响应向量 A：，是滤波器系数，即滤波器 形式如.,.,: 210210 MMbBaA )(z下： 格式二：freqz(B,A,N) 直接绘制频mnzazbz.)(10率响应图，而且返回任何值。 格式三：H=freqz（B,A,W）返回 W 向量中指定的频率范围内的频率响应。其中，W 以弧度为单位在0， 范围内。 格式四：H ，F=freqz(B,A,N,Fs) 对 在0 ，Fs/2 上等间隔采样 N 点，采样点频)(jeH率及相应的响应值分别记录在 F 和 H 中。六、思考题1）用双线变换法设计 IIR 数字滤波器过程中，变换公式中的 T 的取值对设计结果有无影响？为什么？2）计算每个二阶滤波器的输出序列 时，如何确定计算点数？)(nyk3）如何利用低通滤汉器原型设计其它类型数字滤波器？
