1、考点规范练 63 二项分布与正态分布基础巩固1.(2016 湖北武昌区调考) 某居民小区有两个相互独立的安全防范系统 A 和 B,系统 A 和系统 B 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p.若在任意时刻恰有一个系统不发生故障18的概率为 ,则 p=( )940A. B. C. D.110 215 16 152.已知随机变量 X 服从正态分布 N(2,32),且 P(X1)=0.30,则 P(2X3)等于( )A.0.20 B.0.50 C.0.70 D.0.803.在投篮测试中,每人投 3 次,至少投中 2 次才能通过测试.已知某同学每次投篮投中的概率为 0.6,且各次投篮是否投中相互独立,
2、则该同学通过测试的概率为( )A.0.648 B.0.432 C.0.36 D.0.3124.甲、乙两人独立地对同一目标各射击一次,命中率分别为 0.6 和 0.5,现已知目标被击中,则它被甲击中的概率为 ( )A.0.45 B.0.6C.0.65 D.0.755.(2016 河北衡水模拟) 甲、乙两名同学参加一项射击比赛游戏,其中任何一人射击一次击中目标得 2 分,未击中目标得 0 分.若甲、乙两人射击的命中率分别为 和 p,且甲、乙35两人各射击一次得分之和为 2 的概率为 .假设甲、乙两人射击互不影响,则 p 值为( )920A. B. C. D.35 45 34 146.一袋中有 5
3、个白球,3 个红球,这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球,每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现 10 次时停止,设停止时共取了 X 次球,则 P(X=12)等于( )A. B.1012(38)10(58)2 912(38)9(58)238C. D.911(58)2(38)2 911(38)10(58)27.甲射击命中目标的概率是 ,乙射击命中目标的概率是 ,丙射击命中目标的概率是 .现12 13 14在三人同时射击目标,则目标被击中的概率为( )A. B. C. D.34 23 45 7108.(2016 湖南永州二模) 大学生甲、乙两人独立地参加论文答辩,他们的导师根据他们的论文质量
4、估计他们都能过关的概率为 ,甲过而乙没过的概率为 (导师不参与自己学生的12 14论文答辩),则导师估计乙能过关的概率为 . 9.(2016 河北唐山一模)1 000 名考生的某次成绩近似服从正态分布 N(530,502),则成绩在630 分以上的考生人数约为 .(注:正态分布 N(,2)在区间(-,+),(- 2,+2),(-3,+3)内取值的概率分别为 0.682 7,0.954 5,0.997 3) 10.设甲、乙、丙三台机器是否需要照顾相互之间没有影响.已知在某一小时内,甲、乙都需要照顾的概率为 0.05,甲、丙都需要照顾的概率为 0.1,乙、丙都需要照顾的概率为0.125.(1)求甲
5、、乙、丙每台机器在这个小时内需要照顾的概率分别是多少?(2)计算这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率.11.某袋子中有 1 个白球和 2 个红球,这些球除颜色外完全相同.(1)每次取 1 个球 ,不放回,直到取到白球为止,求取球次数 X 的分布列;(2)每次取 1 个球 ,有放回,直到取到白球为止,但抽取次数不超过 5 次,求取球次数 X 的分布列;(3)每次取 1 个球 ,有放回,共取 5 次,求取到白球次数 X 的分布列.能力提升12.(2016 天津河西一模) 在盒子里有大小相同,仅颜色不同的球共 10 个,其中红球 4 个,白球 3 个,蓝球 3 个.现从中任取出一球确定颜色后放回盒
6、子里,再取下一个球.重复以上操作,最多取 3 次,过程中如果取出蓝球则不再取球.求:(1)最多取两次就结束的概率;(2)整个过程中恰好取到 2 个白球的概率;(3)设取球的次数为随机变量 X,求 X 的分布列和均值 .导学号 3727039513.一款击鼓小游戏的规则如下:每盘游戏都需击鼓三次 ,每次击鼓要么出现一次音乐,要么不出现音乐;每盘游戏击鼓三次后,出现一次音乐获得 10 分,出现两次音乐获得 20 分,出现三次音乐获得 100 分,没有出现音乐则扣除 200 分(即获得-200 分).设每次击鼓出现音乐的概率为 ,且各次击鼓出现音乐相互独立.12(1)设每盘游戏获得的分数为 X,求
7、X 的分布列;(2)玩三盘游戏,至少有一盘出现音乐的概率是多少?14.(2016 山东,理 19)甲、乙两人组成“ 星队”参加猜成语活动 ,每轮活动由甲、乙各猜一个成语,在一轮活动中,若两人都猜对,则“星队” 得 3 分; 若只有一人猜对,则“ 星队”得 1 分;若两人都没猜对,则“ 星队 ”得 0 分.已知甲每轮猜对的概率是 ,乙每轮猜对的概率是 ;每34 23轮活动中甲、乙猜对与否互不影响,各轮结果亦互不影响.假设“星队” 参加两轮活动,求:(1)“星队”至少猜对 3 个成语的概率;(2)“星队”两轮得分之和 X 的分布列和均值 E(X).导学号 37270396高考预测15.甲、乙两人进
8、行围棋比赛,约定先连胜两局者直接赢得比赛,若赛完 5 局仍未出现连胜,则判定获胜局数多者赢得比赛.假设每局甲获胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比23 13赛结果相互独立.(1)求甲在 4 局以内 (含 4 局) 赢得比赛的概率;(2)记 X 为比赛决出胜负时的总局数 ,求 X 的分布列 .参考答案考点规范练 63 二项分布与正态分布1.B 解析 由题意,得 (1-p)+ p= ,故 p= ,故选 B.18 78 940 2152.A 解析因为该正态密度曲线的对称轴方程为 x=2,P (X3)=P( X1)=0.30,P(1 X3)=1-P(X3) -P(X1)= 1-20.30=0.40,
9、P(2X3)= P(1X3)=0.20.123.A 解析由题意知该同学通过测试,即 3 次投篮投中 2 次或投中 3 次就算通过测试.故所求的概率为 0.62(1-0.6)+ 0.63=0.648.23 334.D 解析设目标被击中为事件 B,目标被甲击中为事件 A,则由 P(B)=0.60.5+0.40.5+0.60.5=0.8,得 P(A|B)= =0.75.()()=()()=0.60.85.C 解析 设“甲射击一次,击中目标”为事件 A,“乙射击一次,击中目标”为事件 B,则“甲射击一次 ,未击中目标 ”为事件 ,“乙射击一次,未击中目标”为事件 , 则 P(A)= ,P( )=1-
10、,P(B)=p,P( )=1-p,35 35=25 依题意得 (1-p)+ p= ,解得 p= 故选 C.35 25 920 34.6.D 解析由题意知第 12 次取到红球,前 11 次中恰有 9 次红球 2 次白球,由于每次取到红球的概率为 ,所以 P(X=12)=38 911(38)9(58)238=911(38)10(58)2.7.A 解析设“ 甲命中目标” 为事件 A,“乙命中目标”为事件 B,“丙命中目标” 为事件 C,则击中目标表示事件 A,B,C 中至少有一个发生.又 P( )=P( )P( )P( )=1-P(A)1-P(B)1-P(C)= (1-12)(1-13)(1-14)
11、=14.击中的概率为 1-P( )=34.8 解析设导师估计甲、乙能过关的概率分别为 p,q,则 解得 p= ,q=.23 =12,(1-)=14, 34 23.故导师估计乙能过关的概率为23.9.23 解析由题意可知 =530,=50,在区间(430,630)的概率为 0.9545,故成绩在 630 分以上的概率为 0.023,因此成绩在 630 分以上的考生人数约为 10000.023=23.1-0.95452 10.解记“机器甲需要照顾” 为事件 A,“机器乙需要照顾 ”为事件 B,“机器丙需要照顾”为事件 C.由题意 ,各台机器是否需要照顾相互之间没有影响,因此,A ,B,C 是相互独
12、立事件.(1)由已知得 P(AB)=P(A)P(B)=0.05,P(AC)=P(A)P(C)=0.1,P(BC)=P(B)P(C)=0.125.解得 P(A)=0.2,P(B)=0.25,P(C)=0.5.所以甲、乙、丙每台机器需要照顾的概率分别为 0.2,0.25,0.5.(2)记 A 的对立事件为 ,B 的对立事件为 ,C 的对立事件为 , 则 P( )=0.8,P( )=0.75,P( )=0.5, 于是 P(ABC)=1-P( )=1-P( )P( )P( )=0.7. 所以这一小时内至少有一台机器需要照顾的概率为 0.7.11.解(1)由题意可知 X 的取值为 1,2,3.P(X=1
13、)= ;13P(X=2)= ;2312=13P(X=3)= 1=2312 13.所以 X 的分布列是X123P1313(2)由题意可知 X 的取值为 1,2,3,4,5.P(X=k)= ,k=1,2,3,4.(23)-113P(X=5)=(23)4.故 X 的分布列为X12345P13294278811681(3)因为 XB ,所以 X 的分布列为 P(X=k)= ,其中 k=0,1,2,3,4,5.(5,13) 5(13)(23)5-12.解(1)设取球的次数为 ,则 P(=1)= ,13110=310P(=2)= ,1711013110=21100所以最多取两次就结束的概率为P(=1)+P
14、(=2)=51100.(2)由题意可知,可以如下取球方式:红白白,白红白,白白红,白白蓝,故恰好取到 2 个白球的概率为 3+410310310 310310310=1351000=27200.(3)随机变量 X 的取值为 1,2,3,P(X=1)= ,310P(X=2)= ,710310=21100P(X=3)= ,710710(310+710)=49100随机变量 X 的分布列为X12 3P3102110049100X 的均值 E(X)=1 +2 +33102110049100=219100.13.解(1)X 可能的取值为:10,20,100,- 200.根据题意,有P(X=10)= ,1
15、3(12)1(1-12)2=38P(X=20)= ,23(12)2(1-12)1=38P(X=100)= ,P(X=-200)=33(12)3(1-12)0=18 03(12)0(1-12)3=18.所以 X 的分布列为X1020100-200P38381818(2)设“第 i 盘游戏没有出现音乐 ”为事件 Ai(i=1,2,3),则 P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(X=-200)=18.所以,“三盘游戏中至少有一次出现音乐” 的概率为 1-P(A1A2A3)=1- =1-(18)3 1512=511512.因此,玩三盘游戏至少有一盘出现音乐的概率是511512.14.解(1)记事件
16、A 为“ 甲第一轮猜对 ”,记事件 B 为“乙第一轮猜对”,记事件 C 为“ 甲第二轮猜对”,记事件 D 为“ 乙第二轮猜对”,记事件 E 为“星队至少猜对 3 个成语” .由题意,E=ABCD+ BCD+A CD+AB D+ABC .由事件的独立性与互斥性,P(E)=P(ABCD)+P( BCD)+P(A CD)+P(AB D)+P(ABC )=P(A)P(B)P(C)P(D)+P( )P (B)P(C)P(D)+P(A)P( )P(C)P(D)+P(A)P(B)P( )P(D)+P(A)P(B)P(C)P( )= + 342334232 (14233423+34133423)=23.所以“
17、星队”至少猜对 3 个成语的概率为23.(2)由题意,随机变量 X 可能的取值为 0,1,2,3,4,6.由事件的独立性与互斥性,得P(X=0)= ,14131413=1144P(X=1)=2 ,(34 131413+14231413)=10144=572P(X=2)= ,34133413+34131423+14233413+14231423=25144P(X=3)= ,34231413+14133423=12144=112P(X=4)=2 ,(34 233413+34231423)=60144=512P(X=6)=34233423=36144=14.可得随机变量 X 的分布列为X0 12 3
18、46P 11445722514411251214所以均值 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 +611445722514411251214=236.15.解用 A 表示“ 甲在 4 局以内( 含 4 局)赢得比赛”,A k 表示“第 k 局甲获胜”, Bk 表示“ 第 k局乙获胜”,则 P(Ak)= ,P(Bk)= ,k=1,2,3,4,5.23 13(1)P(A)=P(A1A2)+P(B1A2A3)+P(A1B2A3A4)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)=(23)2+13(23)2+2313(23)2=5681.(2)X 的可能取值为 2,3,4,5.P(X=2)=P(A1A2)+P(B1B2)=P(A1)P(A2)+P(B1)P(B2)= ,59P(X=3)=P(B1A2A3)+P(A1B2B3)=P(B1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(B2)P(B3)= ,29P(X=4)=P(A1B2A3A4)+P(B1A2B3B4)=P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)+P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)= ,1081P(X=5)=1-P(X=2)-P(X=3)-P(X=4)=881.故 X 的分布列为X2345P5921081881
