1、2017 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学（全国 I 卷） （解析版）一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1. 已知集合 ，则（）131xAxB，A B0B ARC D 【答案】 A【解析】 ，1x310xB ， ，0A选 A2. 如图，正方形 内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分位于正CD方形的中心成中心对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A B C D148124【答案】 B【解析】 设正方形边长为 ，则圆半径为21则正方形的面积为 ，圆的面积为 ，图中黑色
2、部分的概率为422则此点取自黑色部分的概率为 28故选 B3. 设有下面四个命题（）：若复数 满足 ，则 ；1pz1Rz：若复数 满足 ，则 ；22：若复数 满足 ，则 ；31， 112z：若复数 ，则 4zzA B C D13p， 4p， 23p， 24p，【答案】 B【解析】 设 ，则 ，得到 ，所以 .故 正确；1:zabi21abiziR0bzR1P若 ，满足 ，而 ，不满足 ，故 不正确；2p2R2z2p若 ， ，则 ，满足 ，而它们实部不相等，不是共轭复数，故 不3:p1z212z12zR3p正确；实数没有虚部，所以它的共轭复数是它本身，也属于实数，故 正确；4: 4p4. 记 为
3、等差数列 的前 项和，若 ，则 的公差为（）nSna456248aS， naA1 B2 C4 D8【答案】 C【解析】 45113d61482Sa联立求得 175d得3 24624d选 C5. 函数 在 单调递减，且为奇函数若 ，则满足 的 的取值范fx， 1f121fx x围是（）A B C D2， 1， 04， 3，【答案】 D【解析】 因为 为奇函数，所以 ，fx1ff于是 等价于 |121 2x 又 在 单调递减fx，12 3 故选 D6. 展开式中 的系数为621x2xA B C D503035【答案】 C.【解析】6662 211+xxx对 的 项系数为6265C对 的 项系数为
4、，21x246=1 的系数为 530故选 C7. 某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为 ，俯视图为等腰直角三角形、该多面体的各个面中有若干是梯形，这些梯形的面积之和为2A B C D10121416【答案】 B【解析】 由三视图可画出立体图该立体图平面内只有两个相同的梯形的面 246S梯 61全 梯故选 B8. 右面程序框图是为了求出满足 的最小偶数 ，那么在 和 两3210nn个空白框中，可以分别填入A 和 B 和101n 10A2nC 和 D 和 【答案】 D【答案】 因为要求 大于 1000 时输出，且框图中在“否”时输出A“ ”中不
5、能输入 A10排除 A、B又要求 为偶数，且 初始值为 0，nn“ ”中 依次加 2 可保证其为偶故选 D9. 已知曲线 ， ，则下面结论正确的是（）1:cosCyx2:sin3yxA把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，26得到曲线 2B把 上各点的横坐标伸长到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，1C 12得到曲线 2C把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 个单位长度，112 6得到曲线 2D把 上各点的横坐标缩短到原来的 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 个单位长度，1 12得到曲
6、线 2【答案】 D【解析】 ，1:cosCyx22:sin3yx首先曲线 、 统一为一三角函数名，可将 用诱导公式处理1:cosCyx横坐标变换需将 变成 ，si22x12即11sinsinsin24 C上yxyxx点 来i2sin233 x注意 的系数，在右平移需将 提到括号外面，这时 平移至 ，4x3x根据“左加右减”原则，“ ”到“ ”需加上 ，即再向左平移 4x3x121210. 已知 为抛物线 ： 的交点，过 作两条互相垂直 ， ，直线 与 交于 、 两点，直FC2yF1l21lCAB线 与 交于 ， 两点， 的最小值为（）2lDEABDEA B C D1614 0【答案】 A【解析
7、】设 倾斜角为 作 垂直准线， 垂直 轴AB1AK2Ax易知11cos2FGP（ 几 何 关 系 ）（ 抛 物 线 特 性 ）cosAFAF同理 ，11cosPB 22cosinPB又 与 垂直，即 的倾斜角为DEADE222cossin而 ，即 4yxP 221sincosABDE22incos424incos241in，当 取等号216sin 4即 最小值为 ，故选 A1611. 设 ， ， 为正数，且 ，则（）xyz235xyzA B C D235352yzx325yxz【答案】 D【答案】 取对数： .lnlnxyl2xy 3lnl5z则 2x，故选 D z 3yxz12. 几位大学生
8、响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列，其中第一项是 ，接下来的两项是 ， ，在1,2,41,2,812,48,1602021接下来的三项式 ， ， ，依次类推，求满足如下条件的最小整数 ： 且该数列的前6 N1项和为 的整数幂那么该款软件的激活码是（ ）NA B C D0302【答案】 A【解析】 设首项为第 1 组，接下来两项为第 2 组，再接下来三项为第 3 组，以此类推设第 组的项数为 ，则 组的项数和为nn1n由题， ，令 且 ，即 出现在第 13 组之后10N102
9、4 *N第 组的和为nn组总共的和为21nn若要使前 项和为 2 的整数幂，则 项的和 应与 互为相反数N1nN21kn即 *24knk， log3 95，则2140N故选 A二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。13. 已知向量 ， 的夹角为 ， ， ，则 _ab602a1b2ab【答案】 23【解析】 22()cos6021412 13ab14. 设 ， 满足约束条件 ，则 的最小值为_xy120xy32zxy【答案】 5不等式组 表示的平面区域如图所示210xyyx2x+y1=0x+2y-1=01CBA由 得 ，32zxy3z求 的最小值，即求直线 的纵截距的最大值
10、32zyx当直线 过图中点 时，纵截距最大32zyxA由 解得 点坐标为 ，此时 21xA(1,)3(1)25z15. 已知双曲线 ， （ ， ）的右顶点为 ，以 为圆心， 为半径作圆 ，圆 与双2:xyCab0bAbA曲线 的一条渐近线交于 ， 两点，若 ，则 的离心率为_MN60NC【答案】3【解析】 如图，OAaNAMb ， ， 6032Pb2234OAPab23tan4bPa又 ， ，解得tanb234ba23b 2131bea16. 如图，圆形纸片的圆心为 ，半径为 ，该纸片上的等边三角形 的中心为 ， 、 、O5cmABCODE为元 上的点， ， ， 分别是一 ， ， 为底边的等腰
11、三角形，沿虚线FODBC EA FB剪开后，分别以 ， ， 为折痕折起 ， ， ，使得 ， ， 重合，得DC E F F到三棱锥当 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位： ）的最大值为_A 3cm【答案】 415【解析】 由题，连接 ，交 与点 ，由题，ODBCGODBC，即 的长度与 的长度或成正比36GB设 ，则 ，x23x5x三棱锥的高 210510h x21ABCS则353Vxx 45=3210x令 ， ，45210fx(,)34f令 ，即 ，3xx则 8ff则 3045V体积最大值为 31cm三、解答题：共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 17-21 题为必考题，
12、每个试题考生都必须作答。第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答。（一）必考题：共 60 分。17. 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 的面积为 ABC BCabcABC23sinaA（1）求 ；sin（2）若 ， ，求 的周长6co13aABC【解析】 本题主要考查三角函数及其变换，正弦定理，余弦定理等基础知识的综合应用.（1） 面积 .且 ABC2sinS1sinSbc 2si3sinabc 22由正弦定理得 ，23sinsinsiABCA由 得 .sin0A2siBC（2）由（1）得 ，sin31cos6 1cosssinCcos2ABCB又 0， ， 63sin21co
13、s2A由余弦定理得 9ab由正弦定理得 ，sinBsinacC2i8sibcCA由得 3，即 周长为 aAB 318. （12 分）如图，在四棱锥 中， 中，且 PCD 90BAPCD（1）证明：平面 平面 ；PABD（2）若 ， ，求二面角 的余弦值C90PAPBC【解析】 （1）证明： ，又 ，又 ， 、 平面PDAAD 平面 ，又 平面BBP平面 平面PABD（2）取 中点 ， 中点 ，连接 ，OCEPOE四边形 为平行四边形 E由（1）知， 平面ABPD 平面 ，又 、 平面OOAP ，P又 ， 、 、 两两垂直E以 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz设 ， 、 、 、
14、 ，2PA02D， ， 20B， ， 2P， ， 20C， ， 、 、， ， P， ， B， ，设 为平面 的法向量nxyz,C由 ，得0BC20xyz令 ，则 ， ，可得平面 的一个法向量1yzPB012n, ，90APDA又知 平面 ， 平面BPD ，又B 平面即 是平面 的一个法向量，PA02,23cosPnD,由图知二面角 为钝角，所以它的余弦值为ABC319. （12 分）为了抽检某种零件的一条生产线的生产过程，实验员每天从该生产线上随机抽取 16 个零件，并测量其尺寸（单位： ） 根据长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从cm正态分布 2N上（1）假设生产状
15、态正常，记 表示一天内抽取的 16 个零件中其尺寸在 之外的零件X3上数，求 及 的数学期望；1PX（2）一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在 之外的零件，就认为这条生产线在这3上一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查（I）试说明上述监控生产过程方法的合理性：（II）下面是检验员在一天内抽取的 16 个零件的尺寸：9.510.296.10.92.810.46.3459经计算得 ， ，其中 为抽取的第 个17ix6622110.21i iisxxixi零件的尺寸， 2上用样本平均数 作为 的估计值 ，用样本标准差 作为 的估计值 ，利用估计值判断是否需xs对当天的生产过程进行
16、检查，剔除 之外的数据，用剩下的数据估计 和 （精确到3， ） 0.1附：若随机变量 服从正态分布 ,则 Z2N上330.974PZ， 16.9740.592.08.9【解析】 （1）由题可知尺寸落在 之内的概率为 ，落在 之外3上 .3上的概率为 .001616C.974952PX048由题可知 .2B，0.416E（2）（i）尺寸落在 之外的概率为 ，3上 0.26由正态分布知尺寸落在 之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理（ii） 39.70.219.3460上， 需对当天的生产过程检查.2.4， 因此剔除 9剔除数据之后： .9716.20.52 2222 22 222.51
17、0.961.9.61010.98.491.301.055.50 8920. （12 分）已知椭圆 ： ，四点 ， ， ， 中恰有三C21xyab01P上201上32P上4312P上点在椭圆 上（1）求 的方程；（2）设直线 不经过 点且与 相交于 、 两点，若直线 与直线 的斜率的和为 ，证明：l2PCAB2A2B1过定点l【解析】 （1）根据椭圆对称性，必过 、3P4又 横坐标为 1，椭圆必不过 ，所以过 三点4 1234P上将 代入椭圆方程得23012P上，解得 ，2214ba24a21b椭圆 的方程为： Cxy（2） 当斜率不存在时，设 :AAlxmyBmy， ， ， ，22121AAP
18、ABykm得 ，此时 过椭圆右顶点，不存在两个交点，故不满足l当斜率存在时，设 ykxb12xyx上联立 ，整理得240kb2214840kxb，1228xk21bx则 2221PABy212121xkxkx28841bbk又84b上1b，此时 ，存在 使得 成立2k64k0直线 的方程为lyx当 时，x1所以 过定点 l上21. （12 分）已知函数 2eexxfa（1）讨论 的单调性；（2）若 有两个零点，求 的取值范围f a【解析】 （1）由于 2eexxf故 2e121x xfa 当 时， ， 从而 恒成立 000x0f在 上单调递减fxR当 时，令 ，从而 ，得 afe1xalnxa
19、xln， l上f 0fx单调减 极小值 单调增综上，当 时， 在 上单调递减；0a()fR当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增,ln)a(ln,)a（2）由（1）知，当 时， 在 上单调减，故 在 上至多一个零点，不满足条件fxfx当 时， 0amin1llnfaa令 1lg令 ，则 从而 在 上单调增，而ln0a21 0gaga0上故当 时， 当 时 当 时10g110ga若 ，则 ，故 恒成立，从而 无零点，不满足条件aminlffxfx若 ，则 ，故 仅有一个实根 ，不满足条件1il0fa0fln0a若 ，则 ，注意到 0amin1lflna21eef故 在 上有一个实根，而又 fx
20、la上3ll且33ln1ln1l()e2ln1aa33lln10a a 故 在 上有一个实根fx3ln1上又 在 上单调减，在 单调增，故 在 上至多两个实根lna上fxR又 在 及 上均至少有一个实数根，故 在 上恰有两个实fx1lna上3l1上 f根综上， 0（二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22. 选修 4-4：坐标系与参考方程在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数） ，直线 的参数方程为xOyC3cosinxy， l（ 为参数） 41xaty，（1）若 ，求 与 的交点坐标；l（2）若 上的点到 距离的最大值
21、为 ，求 C17a【解析】 （1） 时，直线 的方程为 al430xy曲线 的标准方程是 ，C219xy联立方程 ，解得： 或 ，243019xy30xy2154则 与 交点坐标是 和Cl30上215上（2）直线 一般式方程是 4xya设曲线 上点 cosinp上则 到 距离 ，其中 Pl5sin431717ad3tn4依题意得： ，解得 或max 6a823. 选修 4-5：不等式选讲已知函数 241fxaxgx，（1）当 时，求不等式 的解集；af（2）若不等式 的解集包含 ，求 的取值范围f ， a【解析】 （1）当 时， ，是开口向下，对称轴 的二次函数24fx12x，112gxx， ，当 时，令 ，解得 (1,)2472在 上单调递增， 在 上单调递减gx， fx1，此时 解集为 fxg，当 时， ， 1， 212fxf当 时， 单调递减， 单调递增，且 ， 12gf综上所述， 解集 fxg72，（2）依题意得： 在 恒成立24a 1，即 在 恒成立0xa 1，则只须 ，解出： 212 1a 故 取值范围是 a1，
