1、绝密启封并使用完毕前 试题类型：A2015 年普通高等学校招生全国统一考试理科数学注意事项：1.本试卷分第卷（选择题）和第卷（非选择题）两部分。第卷 1 至 3 页，第卷 3 至5 页。2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置。3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效。 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回。第卷一. 选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。（1）设复数 z 满足 =i，则|z|=1+（A）1 （B） （C） （D）223（2）sin20cos10-con160sin10=（A） （B）
2、（C） （D）32212（3）设命题 P： n N， ，则 P 为n（A） n N, （B） n N, 22n（C） n N, （D） n N, =n（4）投篮测试中，每人投 3 次，至少投中 2 次才能通过测试。已知某同学每次投篮投中的概率为0.6，且各次投篮是否投中相互独立，则该同学通过测试的概率为（A）0.648 （B）0.432 （C）0.36 （D）0.312（5）已知 是双曲线 上的一点， 是 上的两个焦点，若0(,)Mxy2:1xCy12,FC，则 的取值范围是12FA0（A） （- ， ） （B） （- ， ）336（C） （ ， ） （D） （ ， ）22（6） 九章算术是我
3、国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题:“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺。问:积及为米几何?”其意思为:“在屋内墙角处堆放米(如图，米堆为一个圆锥的四分之一)，米堆底部的弧长为 8 尺，米堆的高为 5 尺，问米堆的体积和堆放的米各为多少?”已知 1 斛米的体积约为 1.62 立方尺，圆周率约为 3，估算出堆放斛的米约有A.14 斛 B.22 斛 C.36 斛 D.66 斛（7）设 D 为 ABC 所在平面内一点 ，则A3BCD（A） (B) 143143AC（C） (D) （8）函数 的部分图像如图所示，则 的单调递减区间为()cos)fx()fx(A) (B) 13,4kkZ13(
4、2,4kkZ(C) (D) () )（9）执行右面的程序框图，如果输入的 t=0.01，则输出的 n=（A）5 （B）6 （C）7 （D）8（10 ） 的展开式中， 的系数为25()xy52xy（A）10 （B）20 （C）30 （D）60（11）圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 )组成一个几何体，该几何体三视图中的正视r图和俯视图如图所示。若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 =r（A）1 （B）2 （C）4 （D）812. 设函数 ,其中 ，若存在唯一的整数 ，使得 ，则()1)xfea10x0()fx的取值范围是（ ）aA. B. C. D. 3,1)2e3,)24e3,)
5、24e3,)2e第 II 卷本卷包括必考题和选考题两部分。第（13）题第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答。第（22）题第（24）题未选考题，考生根据要求作答。二、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分（13）若函数 为偶函数，则 2()ln()fxaxa（14）一个圆经过椭圆 的三个顶点，且圆心在 轴上，则该圆的标准方程为 。2164yx（15）若 满足约束条件 则 的最大值为 .,xy0,xyyx（16）在平面四边形 中，A=B=C=75，BC=2，则 AB 的取值范围是 ABCD三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。（17） （本小题满分 12 分）为数列 的前
6、 项和.已知 ，nSna20,43nnaaS（）求 的通项公式：（）设 ,求数列 的前 项和。1nbanb（18）如图，四边形 ABCD 为菱形，ABC=120，E，F 是平面 ABCD 同一侧的两点，BE平面ABCD，DF平面 ABCD，BE=2DF，AEEC。（1）证明：平面 AEC平面 AFC（2）求直线 AE 与直线 CF 所成角的余弦值（19）某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 和年销售量i数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值。(1,2.8)ixyw
7、821()iix821()iiw81()iiixy81()iiiwy46.6 563 6.8 289.8 1.6 1469 108.8表中 ，iix81i（）根据散点图判断， 与 哪一个适宜作为年销售量 关于年宣传费 的yabxycdxyx回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由）（）根据（）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程；（）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 。根据（）的结果回答下列问题：0.2z（i） 年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？（）年宣传费 x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据 ,其回归直线 的斜率和截距的最
8、小二乘12(,),.()nuvuvvu估计分别为： 12(),niiiiivuu（20） （本小题满分 12 分）在直角坐标系 中，曲线 与直线 交与 两点，xOy2:4xCy:(0)lykxa,MN（）当 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程；0k（） 轴上是否存在点 P，使得当 变动时，总有OPM=OPN？说明理由。yk（21） （本小题满分 12 分）已知函数 31(),()ln4fxagx()当 a 为何值时，x 轴为曲线 的切线；yf（）用 表示 m,n 中的最小值，设函数 ，min, ()min(),(0)hxfxg讨论 h（x）零点的个数请考生在（22） 、 （23）
9、、 （24）三题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一个题目计分，做答时，请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。（22） （本题满分 10 分）选修 4-1：几何证明选讲如图， 是 的直径， 是 的切线， 交 于ABOACOBCOAE（I） 若 D 为 AC 的中点，证明：DE 是 的切线；（II） 若 ，求ACB 的大小. 3E（23） （本小题满分 10 分）选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系 中。直线 : ，圆 ： ,以坐标原点为极点，xOy1C2x22211xy轴的正半轴为极轴建立极坐标系。x（I） 求 ， 的极坐标方程；1C2（II） 若直线 的极坐标方程为 ，设
10、 与 的交点为 , ,求34R2C3MN的面积2MNA（24） （本小题满分 10 分）选修 45：不等式选讲已知函数 .()|1|2|,0fxxa（）当 时，求不等式 的解集；a()1f（）若 的图像与 轴围成的三角形面积大于 6，求 的取值范围()fx a参考答案一选择题（1）A （2）D （3）C （4）A （5）A （6）B（7）A （8）D （9）C （10）C （11）B （12）D二填空题（13）1 （14） （15）3 （16）235()4xy(62,)三解答题（17）解：（）由 ，可知243nnaS21143nnaS可得 ，即211()211()()nnnna 由于 ，可得0
11、a1a又 ，解得 （舍去） ，214313所以 是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 6 分n 21na（）由 可知2a11()()2323nbnn设数列 的前 项和为 ，则nT12.nTb11()().()35723n12 分(2)n（18）解：（）连结 BD，设 ，连结BDACG,EF在菱形 中，不妨设 ，由 ，可得ABCD1GB120AC 3AGC由 平面 ， ，可知 ，又 ，所以 ，EEE且 G在 中，可得 ，故RtBA2E2DF在 中，可得 ，tFD6G在直角梯形 中，由 ，可得BE22,BEDF32EF从而 ，所以22F又 ，可得 平面ACGAC因为 平面 ，所以平面
12、平面 6 分EEF（）如图，以 G 为坐标原点，分别以 的方,BG向为 轴， 轴正方向， 为单位长，建xy|立空间直角坐标系 ，由（）可得xz， ，(0,3)A(1,02)E2(1,0)F， ，,C所以 10 分2(1,32),(1,3)C故 cos,|AEF所以直线 与直线 所成角的余弦值为 12 分C3（19）解：（）由散点图可以判断， 适宜作为年销售量 关于年宣传费 的回归方程类ycdxyx型2 分（）令 ，先建立 关于 的线性回归方程，由于wxw812()108.6iiiiiyd5638.10.cyw所以 关于 的线性回归方程为 ，因此 关于 的线性回归方程68ywyx6 分10.68
13、yx（） （）由（）知，当 时，年销售量 的预报值49y10.68576.y年利润 的预报值z9 分57.249.3（）根据（）的结果知，年利润 的预报值z0.(168)1.620.zxx所以，当 ，即 时， 取得最大值，3.24z故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大12 分（20）解：（）由题设可得 ，或(2,)(,)MaNa(2,)(,)MaNa又 ，故 在 处的导数值为 ， 在点 处的切线xy24xC2,方程为 ，即()aa0ya在 处的导数值为 ， 在点 处的切线方程为24xy(2,)a，即(2)yaxa0xya故所求切线方程为 和 5 分0xya（）存在符合题意的点，
14、证明如下：设 为符合题意的点， ，直线 的斜率分别为(0,)Pb12(,)(,)MxyN,PMN12,k将 代入 的方程得ykxaC240ka故 12124,从而 1212ybkx122()axkb当 时，有 ，则直线 PM 的倾角与直线 PN 的倾角互补，故ba120，所以点 符合题意12 分OPMN(,)Pa（21）解：（）设曲线 与 轴相切于点 ，则 ，即()yfx0(,)x00(),()fxf3021,4.xa解得 03,因此，当 时， 轴为曲线 的切线5 分4ax()yfx（）当 时， ，从而 ，(1,)x()ln0gmin(),()0hfxgx故 在 无零点h当 时，若 ，则 ，故
15、x54a5(1),(1)i(),1()4faf是 的零点；若 ，则1x()h54a，故 不是 的零点。0,min(1),()0ffgf1x()hx当 时， 。所以只需考虑 在 的零点个数。(,)x()l0gxf,（）若 或 ，则 在（0，1）无零点，故 在（0，1）3a2()3fxa()fx单调，而 ，所以，当 时， 在（0，1）有一个15(0),4f3零点；当 时， 在（0，1）没有零点。()fx（）若 ，则 在 单调递减，在 单调递增，故在3af,)3a(,1)3a（0，1）中，当 时， 取得最小值，最小值为x()fx。21()34af ，即 ， 在（0，1）无零点；()0f3a()fx
16、，即 ，则 在（0，1）有唯一零点；()af4()f ，即 ，由于 ，所以当()03f3a5(),()4ffa时， 在（0，1）有两个零点；当 时，54a()fx34在（0，1）有一个零点10()fx分综上，当 或 时， 有一个零点；当 或 时，34a5()hx34a5有两个零点；当 时， 有三个零点12()hx分（22）解：（）连结 ，由已知得，AE,AEBCA在 中，由已知得， ，故RtCDEDC连结 ，则OO又 ，所以 ，故 ，90AB 90OB90E是 的切线5 分DE（）设 ，由已知得1,Cx 223,1ABEx由射影定理可得， ，所以 ，即2ECx4210可得 ，所以 10 分3x
17、60（23）解：（）因为 ，所以 的极坐标方程为 ， 的极坐标方cos,iny1cos2C程为 5 分240（）将 代入 ，得 ，解得2csi42340，故 ，即12,12|MN由于 的半径为 1，所以 的面积为 10 分CCA12（24）解：（）当 时， 化为a()fx|0x当 时，不等式化为 ，无解；140当 时，不等式化为 ，解得 ；3213x当 时，不等式化为 ，解得xx2所以 的解集为 5 分()1f|（）由题设可得，2,1,()3,.afxx所以函数 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ，()fx 21(,0)3aA， ， 的面积为(21,0Ba,1CaAB2(1)3a由题设得 ，故2()632a所以 的取值范围为 10 分(,)
