1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数 学（理工类）本试题卷共 6 页，22 题，其中第 15、16 题为选考题。全卷满分 150 分。考试用时 120 分钟。注意事项：1答卷前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。用 2B 铅笔将答题卡上试卷类型 A 后的方框涂黑。2选择题的作答：每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。3填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。4选考题的作答：先
2、把所选题目的题号在答题卡上指定的位置用 2B 铅笔涂黑，再在答题卡上对应的答题区域内答题。写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。5考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。一、选择题：本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1 为虚数单位， 的共轭复数为i607iA B C1 D i 12我国古代数学名著数书九章有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石3已知 的展开式中
3、第 4 项与第 8 项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(1)nxA B C D2 12102924设 ， ，这两个正态分布21(,)XN(,)YN密度曲线如图所示下列结论中正确的是A 21()()PB XC对任意正数 ，t()()PXtYtD对任意正数 ，5设 ， . 若 p： 成等比数列；12,naR 312,naq： ，则22 21 1231()()()naaa Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件6已知符号函数 是 上的增函数， ，则1,0
4、,sgn,.x()fR()()1gxfaxA Bs()x sn()snC Dgns()fxgg()xfx7在区间 上随机取两个数 ，记 为事件“ ”的概率， 为事件0,1,y1p12y2p“ ”的概率， 为事件“ ”的概率，则 |2xy3p2xA B 13p 231pC D 328将离心率为 的双曲线 的实半轴长 和虚半轴长 同时增加 个单位长度，得1e1Ca()ba(0)m到离心率为 的双曲线 ，则22A对任意的 ， B当 时， ；当 时，,ab1e12eab12eC对任意的 ， D当 时， ；当 时，2ab9已知集合 ， ，定义集合 (,),xyxyZ(,)|,|,xyyxZ，则 中元素的
5、个数为12212()(,ABABAA77 B49 C45 D3010设 ， 表示不超过 的最大整数. 若存在实数 ，使得 ， ， 同xRxt1t2tnt时成立，则正整数 的最大值是nA3 B4 C5 D6二、填空题：本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分请将答案填在答题卡对应题号的位置上答错位置，书写不清，模棱两可均不得分 （一）必考题（1114 题）11已知向量 ， ，则 OAB|3OAB12函数 的零点个数为 2()4cos()2sin|l(1)|xf x13如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到 处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北A的方向上，行驶
6、 600m 后到达 处，测得此山顶在西偏北 的方向上，仰角为 ，则此30 B75 30山的高度 m. CD14如图，圆 与 轴相切于点 ，与 轴正半轴交于两点 （B 在 A 的上方） ，Cx(1,0)Ty,且 2AB（）圆 的标准方程为 ；（）过点 任作一条直线与圆 相交于 两点，下列三个结论：2:1Oxy,MN ； ； NMBNBA2BA其中正确结论的序号是 . （写出所有正确结论的序号）（二）选考题（请考生在第 15、16 两题中任选一题作答，请先在答题卡指定位置将你所选的题目序号后的方框用 2B 铅笔涂黑如果全选，则按第 15 题作答结果计分 ）15 （选修 4-1：几何证明选讲 ）如图
7、，PA 是圆的切线，A 为切点，PBC 是圆的割线，且，则 . 3BCPB16 （选修 4-4：坐标系与参数方程 ）在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知直线 l 的极坐标方程为 ，曲线 C 的参数方程为 ( t 为参数) ，l 与 C 相交于(sin3cos)01,xtyA B 两点，则 .,|A三、解答题：本大题共 6 小题，共 75 分 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17 （本小题满分 11 分）某同学用“五点法”画函数 在某一个周期内的图象()sin()(0,|)2fxAx时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 232356sin(
8、)Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 的解()fx析式；（）将 图象上所有点向左平行移动 个单位长度，得到 的图()yfx(0)()yg象. 若 图象的一个对称中心为 ，求 的最小值. g5,1218 （本小题满分 12 分）设等差数列 的公差为 d，前 n 项和为 ，等比数列 的公比为 q已知 ，nanSnb1ba， ， 2bqd10S（）求数列 ， 的通项公式；nb（）当 时，记 ，求数列 的前 n 项和 nacncnT19 （本小题满分 12 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体
9、称之为鳖臑如图，在阳马 中，侧棱 底面 ，PABCDPABCD且 ，过棱 的中点 ，作 交 于点 ，PDCEFF连接 ,.EF（）证明： 试判断四面体 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角PBDEF平 DBEF（只需写出结论） ；若不是，说明理由；（）若面 与面 所成二面角的大小为 ，求 的值AC3C20 （本小题满分 12 分）某厂用鲜牛奶在某台设备上生产 两种奶制品生产 1 吨 产品需鲜牛奶 2 吨，使用,ABA设备 1 小时，获利 1000 元；生产 1 吨 产品需鲜牛奶 1.5 吨，使用设备 1.5 小时，获利 1200元要求每天 产品的产量不超过 产品产量的 2 倍，设备每天生产 两
10、种产品时间之和B ,B不超过 12 小时. 假定每天可获取的鲜牛奶数量 W（单位：吨）是一个随机变量，其分布列为W 12 15 18P 0.3 0.5 0.2该厂每天根据获取的鲜牛奶数量安排生产，使其获利最大，因此每天的最大获利 （单Z位：元）是一个随机变量（）求 的分布列和均值；Z（）若每天可获取的鲜牛奶数量相互独立，求 3 天中至少有 1 天的最大获利超过 10000 元的概率21 （本小题满分 14 分）一种作图工具如图 1 所示 是滑槽 的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过OABN 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 ， 当栓子1DN3M
11、D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动一周（D 不动时，N 也不动） ，M 处的笔尖画出的曲线记为 C以 为原点， 所在的直线为 轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系x（）求曲线 C 的方程；（）设动直线 与两定直线 和 分别交于 两点若直线 总与曲l1:20lxy2:0ly,PQl线 有且只有一个公共点，试探究： OPQ 的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由22 （本小题满分 14 分）已知数列 的各项均为正数， ，e 为自然对数的底数na1()()nnbaN（）求函数 的单调区间，并比较 与 e 的大小；()1exfxn（）计算 ， ， ，由此推测计
12、算 的公式，并给出证明；1ba2231ba12nba（）令 ，数列 ， 的前 项和分别记为 , , 证明： . 12()nnc ncnSTenS绝密启用前 2015 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工类）试题参考答案一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 5 分，共 50 分）1A 2B 3D 4C 5A 6B 7B 8D 9C 10B二、填空题（本大题共 6 小题，考生需作答 5 小题，每小题 5 分，共 25 分）119 122 13 10614 （） ；（） 15 162(1)()xy225三、解答题（本大题共 6 小题，共 75 分）17 （11 分）（）根据表中已知
13、数据，解得 . 数据补全如下表：5,26Ax0 3221237125613sin()Ax0 5 0 0且函数表达式为 ()sin()6fx（）由（）知 ，得 .5i2f (5sin(2)6gx因为 的对称中心为 ， . sinyx(,0)kZ令 ，解得 ， . 26k21xk由于函数 的图象关于点 成中心对称，令 ，()yg5(,0)5212k解得 ， . 由 可知，当 时， 取得最小值23kZk618 （12 分）（）由题意有， 即10450,2,ad1290,ad解得 或 故 或1,d19,.1,2.nb1(279),.nnb（）由 ，知 ， ，故 ，于是21na1n1nc， 234157
14、921n nT. 2345n n-可得，22111232nnnnT故 .136n19 （12 分）（解法 1）（）因为 底面 ，所以 ，PDABCPDBC由底面 为长方形，有 ，而 ，D所以 . 而 ，所以 . 平 面 E平 面 E又因为 ，点 是 的中点，所以 . PPP而 ，所以 平面 . 而 ，所以 .CBDBCBC平 面 PDE又 ， ，所以 平面 . EFEDEF由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，DP即四面体 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 . B BEF， ， B，（）如图 1，在面 内，延长 与 交于点 ，则 是平面 与平面 CBGDAC的交线. 由（）
15、知， ，所以 . DEF平 面 P又因为 底面 ，所以 . 而 ，所以 . PDABGPB平 面故 是面 与面 所成二面角的平面角， BFEB设 ， ，有 ，1C21在 Rt PDB 中, 由 , 得 , DFPB3FDB则 , 解得 . 2tant132所以 12.CB故当面 与面 所成二面角的大小为 时， . DEFA32DCB（解法 2）（）如图 2，以 为原点，射线 分别为 轴的正半轴，建立空间直角坐标系. 设,DACP,xyz， ，则 ， ，点 是1PDCB(0)(,1)(0),(1,)BC(,1)PBE的中点，所以 ， ，1(,2E,2于是 ，即 . 0PD又已知 ，而 ，所以 .
16、 FBFPBDEF平 面因 , , 则 , 所以 .(1)PC0ECECPBC平 面由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，D即四面体 是一个鳖臑，其四个面的直角分别为 . ， ， EFDB，（）由 ，所以 是平面 的一个法向量；PDABC平 面 (0,1)DPABCD由（）知， ，所以 是平面 的一个法向量. EF平 面 (,)EF若面 与面 所成二面角的大小为 ，EF3则 ，21cos3|BPD解得 . 所以 2.C故当面 与面 所成二面角的大小为 时， . EFAB32DCB20 （12 分）（）设每天 两种产品的生产数量分别为 ，相应的获利为 ，则有, ,xyz（1）
17、21.5,0, .xyW目标函数为 12zxy当 时 ， （ 1） 表 示 的 平 面 区 域 如 图 1， 三 个 顶 点 分 别 为 2W (0, )(2.4, 8)(6,0)ABC将 变形为 ，0zxy5620zx当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，.4, .8l1yy最大获利 max2410.8Zz当 时 ， （ 1） 表 示 的 平 面 区 域 如 图 2， 三 个 顶 点 分 别 为 5W(0, )(3, 6)(7.5, 0)ABC将 变形为 ，0zy5610zx当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，3, 6xl2y最大获利 max310Zz当 时， （1）表示的平面区域如图 3
18、，8W四个顶点分别为 . (, )(, 6)(, 4)(9,0)ABCD331()0.97.p将 变形为 ，102zxy56120zx当 时，直线 ： 在 轴上的截距最大，6,4l y最大获利 max61048Zz故最大获利 的分布列为8160 10200 10800P0.3 0.5 0.2因此， ()8160.20.5180.2978.EZ（）由（）知，一天最大获利超过 10000 元的概率 ，1(0).502.7pPZ由二项分布，3 天中至少有 1 天最大获利超过 10000 元的概率为21 （14 分）（）设点 ， ，依题意，(,)|2Dt0(,)(,)NxyM，且 ，M|1O所以 ，且
19、0(,)2(,)txyty200()1,.xty即 且 0,.0.t由于当点 不动时，点 也不动，所以 不恒等于 0，DNt于是 ，故 ，代入 ，可得 ，02tx0,42xy201xy2164xy即所求的曲线 的方程为 C1.6（） （1）当直线 的斜率不存在时，直线 为 或 ，都有 . l l4x82OPQS（2）当直线 的斜率存在时，设直线 ， l 1:()2lykm由 消去 ，可得 .2,416ykxm 2(14)8460x因为直线 总与椭圆 有且只有一个公共点，lC所以 ，即 . 2264(14)16)0kmk2164mk又由 可得 ；同理可得 .,0yx,Pk(,)2Qk由原点 到直
20、线 的距离为 和 ，可得OQ2|1d2|1|PQPx. 21|2 4PQPQmSdmxkk将代入得， . 224181OQSk当 时， ；214k22()()8P当 时， .202248114OQkSk因 ，则 ， ，所以 ，14k20228(1)84OPQSk当且仅当 时取等号.所以当 时， 的最小值为 8.OPQS综合（1） （2）可知，当直线 与椭圆 在四个顶点处相切时，OPQ 的面积取得最小lC值 8. 22 （14 分）（） 的定义域为 ， .()fx(,)(1exf当 ，即 时， 单调递增；0x当 ，即 时， 单调递减. ()f ()f故 的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . x
21、,0(0,)当 时， ，即 .0()f1ex令 ，得 ，即 . 1n1en()n（） ； ；11()2ba 221221()()3ba.33123312()()4由此推测： 121.nnba下面用数学归纳法证明. （1）当 时，左边 右边 ，成立. n2（2）假设当 时，成立，即 .nk12(1)kkba当 时， ，由归纳假设可得111()kkb.1112211()(2)kkkkkbaa 所以当 时，也成立. n根据（1） （2） ，可知对一切正整数 n 都成立. （）由 的定义，算术- 几何平均不等式， 的定义及得nc b123nTc 11113212()()()naaa 13212()4nbb12312 ()nb1 2111 ()34()()nb bn 121()()nbbn2nb 121()(naa. 12eena S即 . nTS
