1、2015 年普通高等学校招生全国统一考试上海 数学试卷（理工农医类）一、填空题（本大题共有 14 题，满分 56 分 ）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对 4 分，否则一律得零分1设全集 若集合 ， ，则 UR1,23A23xUA2若复数 满足 ，其中 为虚数单位，则 z3ziiz3若线性方程组的增广矩阵为 、解为 ，则 120c5y12c4若正三棱柱的所有棱长均为 ，且其体积为 ，则 a63a5抛物线 （ ）上的动点 到焦点的距离的最小值为 ，则 2ypxQ1p6若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为 ，则其母线与轴的夹角的大小为 27. 方程 的解为 1122log95
2、log3xx8. 在报名的 名男教师和 名女教师中，选取 人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同365的选取方式的种数为 （结果用数值表示） 9. 已知点 和 的横坐标相同， 的纵坐标是 的纵坐标的 倍， 和 的轨迹分别为双曲线QQ2Q和 若 的渐近线方程为 ，则 的渐近线方程为 1C21 3yx2C10.设 为 ， 的反函数，则 的最大值为 fx2xf0,1yfxf11. 在 的展开式中， 项的系数为 （结果用数值表示） 1025x2x12. 赌博有陷阱某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有 ， ， ， ， 的卡片中随机摸取12345一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元） ；随后放回该
3、卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的 倍作为其奖金（单位：元） 若随机变量 和 分别表示赌1.4 12客在一局赌博中的赌金和奖金，则 （元） 213. 已知函数 若存在 ， ， ， 满足 ，且sinfx1x2mx1206mx（ ， ） ，则 的 1223nnfxffff 最小值为 14. 在锐角三角形 中， ， 为边 上的点， 与 的面积分别为CA1tan2DCDAC和 过 作 于 ， 于 ，则 24DFAF二、选择题（本大题共有 4 题，满分 20 分 ）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得 5 分，否则一律得零分15设 ，
4、，则“ 、 中至少有一个数是虚数”是“ 是虚数”的（ ）1z2C1z2 12zA充分非必要条件 B必要非充分条件C充要条件 D既非充分又非必要条件16已知点 的坐标为 ，将 绕坐标原点 逆时针旋转 至 ，则点 的纵坐标为43,1A3（ ）A B C D32521213217记方程： ，方程： ，方程： ，其中 ，210xa20xa2340xa1a， 是正实数当 ， ， 成等比数列时，下列选项中，能推出方程 无实根的是（ 2a323）A方程有实根，且有实根 B方程有实根，且无实根C方程无实根，且有实根 D方程无实根，且无实根18设 是直线 （ ）与圆 在第一象限的交点，则极限,nxy21nxy2
5、xy（ ）1limnA B C D212三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分 ）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤19.（本题满分 12 分）如图，在长方体 中，1CDA， ， 、 分别是 、 的中点证1AD2F明 、 、 、 四点共面，并求直线 与平面 所成CF11F的角的大小.20.（本题满分 14 分）本题共有 2 小题，第小题满分 6 分，第小题满分 8 分如图， ， ， 三地有直道相通， 千米， 千米，A5AC3千米.现甲、乙两警员同时从 地出发匀速前往 地，经过C4小时，他们之间的距离为 （单位：千米）.甲的路线是 ，速t ft 度为 千米/小时，
6、乙的路线是 ，速度为 千米/小时 .乙到达 地后原地等待.设 时乙到5C8 1t达 地.C（1）求 与 的值；1tf（2）已知警员的对讲机的有效通话距离是 千米.当 时，求 的表达式，并判31tft断 在 上得最大值是否超过 ？说明理由.ft1,21.（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分.已知椭圆 ，过原点的两条直线 和 分别于椭圆交于 、 和 、 ，记得到21xyl2ACD的平行四边形 的面积为 .CDAS（1）设 ， ，用 、 的坐标表示点 到直线 的距离，并证明1,2,xyAC1l；12Sy（2）设 与 的斜率之积为 ，求面积 的值.1l
7、2S22.（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分6 分.已知数列 与 满足 ， .nab112nnab（1）若 ，且 ，求数列 的通项公式；35nb1ana（2）设 的第 项是最大项，即 （ ） ，求证：数列 的第 项是最大a00nb0项；（3）设 ， （ ） ，求 的取值范围，使得 有最大值 与最小值1nbna，且 .m2,23.（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分.对于定义域为 的函数 ，若存在正常数 ，使得 是以 为周期的函数，则称
8、Rgxcosgx为余弦周期函数，且称 为其余弦周期.已知 是以 为余弦周期的余弦周期函数，其gxf值域为 .设 单调递增， ， .fx0f4（1）验证 是以 为余弦周期的余弦周期函数；sin3xh6（2）设 证明对任意 ，存在 ，使得 ；ba,cfab0,xab0fxc（3）证明：“ 为方程 在 上得解”的充要条件是“ 为方程0uos1xu在 上有解” ，并证明对任意 都有cos1fx,2,x.ff参考答案一、填空题：1. 1，4 2. 3. 16 4. 4 5. 2142i6. 7. 2 8. 120 9. 10. 43 3yx11. 45 12. 0.2 13. 8 14. 165二、选择
9、题：15. B 16. D 17. B 18. A三、解答题：19.解：如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为 、 、 、 、1(2,0)A1(,2)C(,10)E(,2)F、因为 ，1(,)(,)所以 ，因此直线 与 共面，/ACEF1ACEF即 四点共面1、 、 、设平面 的法向量为 ，(,)nuvw则 ，1,nEFC又 ，(0)(,0)故 解得,uvwuvw取 ，得平面 的一个法向量11ACFE(1,)n又 ，(0,2)D故 15|CDnA因此直线 与平面 所成的角的大小为11CFE15arcsin20.解：（1） 38t记乙到 时，甲所在地为 ，则 千米CD158A
10、在 中， ，A22cosCA所以 （千米）13()418ft（2）甲到达 B 用时 1 小时；乙到达 C 用时 小时，从 A 到 B 总用时 小时，3878当 时，17tt；22 24()8)(5)(7)551ftttttA当 时，71tftt所以2375418,()7,ttft因为 在 上的最大值是 在 上的最大值是 ，所以()ft3,8341(),()8fft7,875()8f在 上的最大值是 ，不超过 3.()ft,14121.（1）证明：直线 ，点 到 的距离1:0lyxC1l12|yxd，21|ABOy所以 12112|ABCSdxyA（2）解：设 ，则： ，设1:lykx2:lyk
11、12(,)(,)Cxy由 得2,12同理 22()kx由（1） ， 21212 112| |xkSxy xkAA，2()|kA整理得 S22.（1）解：由 ，得 ，13nb16na所以 是首项为 1，公差为 6 的等差数列，a故 的通项公式为n *5,nN（2）证：由 ，得112()nb12nnab所以 为常数列， ，即a 12nab因为 ，所以 ，即0*,nN011nn0n故 的第 项是最大项b（3）解：因为 ，所以 ，n112()nna当 时，2n1221()().()nnnaaa1.2n当 时， ，符合上式1na所以 n因为 ，所以02 21221|,|n nnna当 时，由指数函数的单
12、调性知， 不存在最大、最小值；1当 时， 的最大值为 3，最小值为-1，而 ；na3(2,)1当 时，由指数函数的单调性知， 的最大值 ，最小值0na2Ma，由 及 ，得1ma21002综上， 的取值范围是 (,)23.证：（1）易见 的定义域为 ，()sin3xhR对任意 ， ，R6(6)sin()3xh所以 ，coscos()coxhx即 是以 为余弦周期的余弦周期函数()h（2）由于 的值域为 ，所以对任意 都是一个函数值，fxR(),cfabc即有 ，使得00()fx若 ，则由 单调递增得到 ，与 矛盾，所以xa0()cfxf(),cfab。0同理可证 。0xb故存在 使得0,xab0
13、()fxc（3）若 为 在 上的解，ucos()1f,T则 ，且 ， ，00,2u00cos()cos()1fuTfu即 为方程 在 上的解。Tcs()fx同理，若 为方程 在 上的解，则 为该方程在 上的解。0o1,0,T以下证明最后一部分结论。由（2）所证知存在 ，使得 而01234xxT(),1,234.ifx是函数 的单调区间，1,ixcos()f,.i与之前类似地可以证明： 为 在 上的解当且仅当 是方程0ucos()fx0,0uT在 上的解，从而 在 与 上的解的个数相同。cos()fx,2T1T,2故 ()4,234.iifxi对于 ，0,0(),5ixfxT而 ，故cos()cos)fT()()fxfxT类似地，当 时，有1,23ix结论成立。
