1、65 平面向量的线性运算及几何意义1.(2015 河北石家庄二检,文 15,平面向量的线性运算及几何意义,填空题) 已知 ABC 中,AB=3,AC= ,3点 G 是ABC 的重心, = . 解析:利用向量的运算法则求解 .延长 AG 交 BC 于点 D,则 D 为 BC 的中点,)( )= (| |2-| |2)= =-2.=23=2312(+13 3-93答案:-266 向量共线定理及应用2.(2015 甘肃兰州实战,文 13,向量共线定理及应用 ,填空题)已知向量 a=(x2-1,2+x),b=(x,1),若 ab,则x= . 解析:依题意得(x 2-1)1-x(2+x)=0,解得 x=
2、- .12答案:-1267 平面向量的坐标运算1.(2015 贵州贵阳高三适应性检测考试 (二),文 11,平面向量的坐标运算,选择题)A,B 是半径为 2 的圆O 上的两点,M 是弦 AB 上的动点 ,若 AOB 为直角三角形, 则 的最小值是( )A.-1 B.- C.0 D.212解析:由题意知 OAOB,不妨分别以 OA,OB 为 x,y 轴建立直角坐标系,则 A(2,0),B(0,2).因为 M 在线段 x+y=2(0x 2) 上运动,所以可设 M(x,2-x), =(x,2-x), =(x-2,2-x), =x(x-2)+(2-x)(2-x)=2x2-6x+4,当 x= 时,( )
3、min=- ,故选 B.32 12答案:B2.(2015 东北三省三校二联,文 3,平面向量的坐标运算,选择题) 向量 a=(2,-9),向量 b=(-3,3),则与 a-b 同向的单位向量为( )A. B.(513,-1213) (-513,1213)C. D.(1213,-513) (-1213,513)解析:依题意得 a-b=(5,-12),因此与 a-b 同向的单位向量为 ,故选 A.-|-|=(513,-1213)答案:A3.(2015 河南郑州第三次质量检测 ,文 4,平面向量的坐标运算,选择题) 已知向量 a=(1,x),b=(-1,x),若 2a-b 与 b 垂直,则|a|=(
4、 )A. B. C.2 D.42 3解析:由题意得 2a-b=(3,x),(2a-b)b=0,所以-3+x 2=0,x2=3,|a|= =2,故选 C.1+2答案:C4.(2015 河南洛阳 3 月统一考试 ,文 10,平面向量的坐标运算,选择题) 已知 P 是 ABC 所在平面内一点,若 ,则PBC 与 ABC 的面积的比为( )=3423A. B. C. D.13 12 23 34解析:以点 B 为坐标原点,BC 所在的直线为 x 轴建立平面直角坐标系 ,设 A(xA,yA),C(xC,0),P(xP,yP),则由 得(x P-xA,yP-yA)=3423= (xC,0)- (xA,yA)
5、,34 23解得 =34+13,=13, 所以 ,故选 A.=13答案:A5.(2015 河北保定一模,文 8,平面向量的坐标运算 ,选择题) 已知平行四边形 ABCD 中,若 =(3,0),=(2,2 ),则 SABCD=( ) 3A.6 B.10 C.6 D.123 3解析:由条件得| |=3,| |=4, =34cos(-ABC )=6, 所以 cosABC=- .12所以 sinABC= .32所以 SABCD=34 =6 ,故选 A.32 3答案:A6.(2015 山西二测,文 5,平面向量的坐标运算 ,选择题) 已知点 A(-1,2),B(3,4),若 =2a,则向量 a=( )A
6、.(-2,-1) B.(1,3)C.(4,2) D.(2,1)解析:设 a=(x,y),则由题意得 2a= =(4,2),即 解得 x=2,y=1,2=4,2=2,所以 a=(2,1),故选 D.答案:D7.(2015 宁夏银川一中二模,文 8,平面向量的坐标运算,选择题) 已知 =(4,6), =(3,5),且 O,则向量 等于( ), A. B.(-37,27) (-27,421)C. D.(37,-27) (27,-421)解析:设 =(x,y),则 =(x-4,y-6),依题意, 4+6=0,3(-6)-5(-4)=0,解得 x= ,y=- ,27 421因此 ,故选 D.=(27,-
7、421)答案:D68 平面向量共线的坐标表示1.(2015 山西四校三联,文 13,平面向量共线的坐标表示 ,填空题) 已知向量 a=(1,x),b=(x-1,2),若 ab,则 x= . 解析:依题意得 12-x(x-1)=0,解得 x=-1 或 x=2.答案:-1 或 270 平面向量数量积的运算1.(2015 江西九校联合考试,文 6,平面向量数量积的运算,选择题) 在 ABC 中,AB=AC=3,BAC= 30,CD 是边 AB 上的高,则 =( )A.- B. C. D.-94 94 274 274解析:依题意得 CD=ACsin 30= 方向上的投影等于 ,因此 ,故选 B.32,
8、在 32 =3232=94答案:B2.(2015 江西重点中学盟校联考 ,文 5,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a,b 的夹角为 120,且|a|=1,|2a+b|=2 ,则| b|=( )3A.3 B.2 C.4 D.22 2解析:因为(2a+b )2=4+4ab+b2=12,所以 4+41|b| +|b|2=12,(-12)解得|b|= 4,故选 C.答案:C3.(2015 河南十校测试(四), 文 13,平面向量数量积的运算,填空题)已知向量 a=( ),b=(1,t).若向量2, 2a,b 的夹角为 ,则实数 t= . 4解析:利用向量积的概念求解 .由 ab=|a|b|c
9、os得 t=2 ,解得 t=0.2+2 1+222答案:04.(2015 江西八校联考,文 16,平面向量数量积的运算 ,填空题) 在 ABC 中, =( ), =(1, ),则 2, 3 2ABC 的面积为 . 解析:利用数量积和三角公式求解 .由题意可得 cosBAC= ,|=2+615则 sinBAC= 1-2= ,1-(2+6)215=7-4315所以ABC 的面积为 | |sinBAC12|= .12537-4315=2- 32答案:1-325.(2015 江西赣州摸底考试,文 9,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a=(-1,2),b=(3,-6),若向量 c满足 c 与
10、b 的夹角为 120,c(4a+b)=5,则|c |=( )A.1 B. C.2 D.25 5解析:设 c=(x,y),则 c(4a+b)=(x,y)(-14+3,24-6)=-x+2y=5.cos=|=(,)(3,-6)|32+(-6)2=cos 120=- ,12整理得 2(2y-x)= |c|,5即 10= |c|,解得 |c|=2 ,故选 D.5 5答案:D6.(2015 河北石家庄一检,文 6,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a=(-2,-6),|b|= ,ab=-10,则10向量 a 与 b 的夹角为( )A.150 B.-30 C.-60 D.120解析:由题意得|a|
11、=2 ,10所以 cos= =- .|= -102101012则向量 a,b 的夹角为 120,故选 D.答案:D7.(2015 山西大附中第五次月考 ,文 10,平面向量数量积的运算,选择题) 已知 a,b 是平面内互不相等的两个非零向量,且|a|=1,a-b 与 b 的夹角为 150,则|b|的取值范围是( )A.(0, B.1, C.(0,2 D. ,23 3 3解析:由题意知向量 a,b 不共线,设 =a, =a-b,则 =b, 则在OAB 中, OBA= 180-150=30,OA=|a|=1,则由正弦定理得 ,= 所以 OB= sinOAB=2sin OAB,又因为OAB ,(0,
12、56)所以 sinOAB (0,1, OB=2sinOAB(0,2,即|b|=OB (0,2,故选 C.答案:C8.(2015 江西南昌一模,文 14,平面向量数量积的运算 ,填空题) 已知三角形 ABC 中,AB=AC,BC=4,BAC=90, =3 ,若 P 是 BC 边上的动点,则 的取值范围是 . 解析:建立坐标系,利用坐标运算求解 .以 BC 的中点 D 为坐标原点,BC 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系,则 B(-2,0),C(2,0),A(0,2),E(1,0).设 P(x,0),x -2,2,所以 =(x,-2)(1,-2)=x+42,6.答案:2,69.(2015 江西南
13、昌二模,文 13,平面向量数量积的运算 ,填空题) 已知向量 a=(1, ),向量 a,c 的夹角是 ,33ac=2,则| c|等于 . 解析:因为|a|=2,ac =2,所以|a| c|cos 60=2,得|c |=2.答案:210.(2015 河北石家庄一模,文 13,平面向量数量积的运算,填空题) 已知平面向量 a,b 的夹角为 ,23|a|=2,|b|=1,则|a+b |= . 解析:利用平面向量的模、向量的运算与向量的数量积求解.由题意得 ab=-1,所以|a+b|= .2+2+2=3答案: 311.(2015 河北唐山一模,文 14,平面向量数量积的运算,填空题) 已知 a=(-1
14、,3),b=(1,t),若(a- 2b)a,则|b|= . 解析:由已知条件确定 t 值,再计算|b|.因为(a-2b)a,所以(a- 2b)a=0,即( -3)(-1)+(3-2t)3=0,解得 t=2,所以|b |= .22+12=5答案: 512.(2015 山西二测,文 14,平面向量数量积的运算 ,填空题) 已知 a=(2,2),b=(1,-1),且( a-b)(a+b),则实数 = . 解析:由题意得 a-b=(1,3),a+b=(2+,2-),又因为(a- b)(a+ b),所以(a-b)( a+b)=0,即 1(2+)+3(2-)=0,解得 =4.答案:413.(2015 山西
15、太原模拟(一), 文 13,平面向量数量积的运算,填空题)已知 e1,e2 是夹角为 45的两个单位向量,则| e1-e2|= . 2解析:利用数量积的定义和运算法则求解 .由题意可得 e1e2= ,22所以| e1-e2|=2 ( 21-2)2= =1.2-2212+1答案:114.(2015 河南实验中学质量检测 ,文 15,平面向量数量积的运算,填空题) 若等边 ABC 的边长为 2,平面内一点 M 满足 ,则 = . =13+12解析:利用向量的运算法则求解 .由题意可得 =- ,| |=| |=2,=1213,=12+23=2,则 =(12-13)(-12+23)=- |2- |2+
16、 =- .14|29|1289答案:-8915.(2015 河北石家庄二中一模 ,文 12,平面向量数量积的运算,选择题) 已知点 A(1,-1),B(4,0),C(2,2),平面区域 D 由所有满足 = + (1= ,|=222=22 0,所以= .4答案:424.(2015 黑龙江哈尔滨第六中学二模 ,文 5,平面向量数量积的运算,选择题) 已知 a,b 均为单位向量,它们的夹角为 60,那么|a+3b |=( )A. B. C.4 D.1313 10解析:因为|a+3b| 2=1+611 +9=13,12所以|a+3b|= .故选 A.13答案:A25.(2015 贵州八校二联,文 12
17、,平面向量数量积的运算,选择题) 在平面直角坐标系中,O 为坐标原点,|=| |=| |=1, =0,A(1,1),则 的取值范围是( ) + A.-1- -12, 2B.-12- 2,-12+2C.12- 2,12+2D.1- ,1+ 2 2解析:如图,BCD 为圆 O:x2+y2=1 的内接等边三角形,所以 =( ) =| | |cos 120-| | |cos=-= ,cos.12 2 ,因为0,所以 ,故选 B.-12- 2,-12+2答案:B26.(2015 吉林省吉林市二调,文 6,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量| a|=10,|b|=12,且 ab=-60,向量 a 与
18、 b 的夹角为( )A.60 B.120 C.135 D.150解析:因为|a|=10,|b |=12,ab=-60,所以 ab=1012cos=-60,cos=- ,=120,故选 B.12答案:B27.(2015 甘肃第二次诊断考试 ,文 3,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a,b 满足|a|= 1,|b|=3,且a 在 b 方向上的投影与 b 在 a 方向上的投影相等,则|a- b|等于( )A. B. C.2 D.22 10 2解析:利用数量积的运算法则求解 .由题意可得 ,且|a|b |,|=|则 ab=0,所以|a-b|= ,故选 B.(-)2=|2-2+|2=10答案:
19、B28.(2015 广西桂林、防城港一联 ,文 4,平面向量数量积的运算,选择题) 已知向量 a=(1,3),向量 b 满足ab=5,且| a+b|=3 ,则|b|=( )5A. B. C.5 D.155 10解析:|a+b| 2=|a|2+|b|2+2ab=10+|b|2+10=45,则|b| 2=25,|b|=5,故选 C.答案:C29.(2015 东北三校一联,文 4,平面向量数量积的运算 ,选择题) 向量 a,b 满足|a|= 1,|b|= ,(a+b)(2a- b),2则向量 a 与 b 的夹角为( )A.45 B.60 C.90 D.120解析:因为(a+b )(2a-b)=0,所
20、以 2a2+ab-b2=0,即 ab=-2a2+b2=0,故 ab,向量 a 与 b 的夹角为 90,故选 C.答案:C30.(2015 辽宁重点中学协作体模拟 ,文 5,平面向量数量积的运算,选择题) 已知平面向量 a 与 b 的夹角为 120,a=(2,0),|b|=1,则|a+ 2b|=( )A.2 B.2 C.4 D.123解析:依题意得|a| 2=4,ab=21cos 120=-1,|a+2b|= =2,故选 A.(+2b)2=|2+4|2+4答案:A31.(2015 黑龙江哈尔滨第三中学二模 ,文 7,平面向量数量积的运算,选择题) 若向量a= ,b= ,ab,则 sin =( )
21、(+6),1) (1,- 34) (+43)A.- B. C.- D.34 34 14 14解析:利用数量积的坐标运算法则和三角公式求解 .由题意可得 ab=sin +cos - =0,(+6) 34化简得 sin + cos = ,12 32 14即 sin ,(+3)=14所以 sin =-sin =- ,故选 C.(+43) (+3) 14答案:C32.(2015 辽宁大连双基测试,文 8,平面向量数量积的运算,选择题) 若两个非零向量 a,b,满足|a+b|=|a-b|=2|a|,则向量 a+b 与 a-b 的夹角是 ( )A. B. C. D.6 3 23 56解析:依题意得(a+b
22、 )2-(a-b)2=4ab=0,ab;(a+b)2=4a2,即 a2+b2+2ab=|a|2+|b|2=4|a|2,|b|2=3|a|2,(a+b)(a-b)=a2-b2=-2|a|2,因此向量 a+b 与 a-b 的夹角的余弦值等于 =- ,(+)(-)|+|-|=-2|24|2 12 向量 a+b 与 a-b 的夹角是 ,故选 C.23答案:C33.(2015 吉林长春质量监测(二),文 7,平面向量数量积的运算,选择题)已知平面向量 a,b 满足|a|= ,|b|=2,ab=-3,则| a+2b|=( )3A.1 B. C.4+ D.27 3 7解析:|a+2b|= ,故选 B.2+4
23、+42=7答案:B34.(2015 甘肃兰州诊断,文 3,平面向量数量积的运算 ,选择题) 已知向量 a,b 满足 ab=0,|a|=1,|b|=2,则|a-b|= ( )A.0 B.1 C.2 D. 5解析:依题意得|a-b| 2=a2+b2-2ab=5,|a-b|= ,故选 D.5答案:D35.(2015 甘肃兰州诊断,文 16,平面向量数量积的运算,填空题) 若函数 f(x)=2sin (-2+A.不等边三角形B.三条边不全相等的三角形C.锐角三角形D.钝角三角形解析:利用数量积的定义、余弦定理求解 .设ABC 的角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,则原不等式即为 c2bccos
24、A+accos B+abcos C= ,2+2-22 +2+2-22 +2+2-22化简得 a2+b20, cos A= . (4 分)12 00 得 m22.设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 y1+y2= , 42+2y1y2= . 22+2由 =3 得 y2=3y1. 由 解得 m2=4,符合 m22. (8 分)不妨取 m=2,则线段 AB 的垂直平分线的方程为 y=-2x- ,23则所求圆的圆心为 ,B(0,1),(-13,0) 圆的半径 r= .103 圆的方程为 +y2= . (12 分)(+13)2 1094.(本小题满分 12 分)(2015 贵州八校二联 ,文 20
25、,平面向量在解析几何中的应用,解答题)过椭圆=1 的右焦点 F 作斜率 k=-1 的直线交椭圆于 A,B 两点 ,且 与 a= 共线.22+22 + (1,13)(1)求椭圆的离心率;(2)当AOB 的面积 SAOB= 时,求椭圆的方程.32解:(1)设 AB:y=-x+c,直线 AB 交椭圆于两点,A(x 1,y1),B(x2,y2), (b2+a2)x2-2a2cx+a2c2-a2b2=0,22+22=22,=-+ x1+x2= ,x1x2= . (2 分)222+2 22-222+2 =(x1+x2,y1+y2)与 a= 共线,+ (1,13) 3(y1+y2)-(x1+x2)=0,3(
26、-x1+c-x2+c)-(x1+x2)=0. x1+x2= ,a2=3b2,c= ,e= . (6 分)32 2-2=63 =63(2) a2=3b2, 椭圆的方程为 =1,c2=3b2-b2=2b2,c= b.232+22 2AB:y=-x+ b,2联立方程组 x2+3(-x+ b)2=3b2,2+32=32,=-+2 24x2-6 bx+3b2=0.2 x1+x2= b,x1x2= . (8 分)322 324|AB|= |x2-x1|1+2= b,2 (1+2)2-412=3O 到 AB 的距离 d= =b, (10 分)22SOAB= |AB|d= b2= ,b=1,a= ,12 32
27、 32 3椭圆的方程为 +y2=1. (12 分)235.(本小题满分 12 分)(2015 黑龙江哈尔滨第三中学二模 ,文 20,平面向量在解析几何中的应用,解答题)已知 F1(-2,0),F2(2,0)是椭圆 C: =1(ab0)的两个焦点 ,P 是椭圆上的动点,且 的最大值22+22 12为 2.(1)求椭圆的方程;(2)过左焦点的直线 l 交椭圆 C 于 M,N 两点,且满足 sin = cos ,求直线 l 的方程(其中463MON=,O 为坐标原点).解:(1) =1. (4 分)26+22(2)M(x1,y1),N(x2,y2),l 与 x 轴平行时显然不成立,不妨设 l:x=m
28、y-2,则 (m2+3)y2-4my-2=0,=-2,26+22=1y1+y2= ,y1y2= .42+3 -22+3当 =90,x1x2+y1y2=0,(m2+1)y1y2-2m(y1+y2)+4=0,(m2+1) -2m +4=0,-22+3 42+3解得 m= . (7 分)153当 90, sin = cos ,463| | |sin = ,463S= | |sin = =|y1-y2|,12| 263(y1+y2)2-4y1y2= ,(42+3)2+ 82+3=83解得 m= ,m=0.3综上所述,l 的方程可以是 x=-2,x= y-2,x= y-2. (12 分)31536.(本
29、小题满分 12 分)(2015 辽宁大连双基测试 ,文 20,平面向量在解析几何中的应用,解答题)已知过点(2,0)的直线 l1 交抛物线 C:y2=2px 于 A,B 两点,直线 l2:x=-2 交 x 轴于点 Q.(1)设直线 QA,QB 的斜率分别为 k1,k2,求 k1+k2 的值;(2)点 P 为抛物线 C 上异于 A,B 的任意一点,直线 PA,PB 交直线 l2 于 M,N 两点, =2,求抛物线C 的方程.解:(1)设直线 l1 的方程为 x=my+2,点 A(x1,y1),B(x2,y2).联立方程组 得 y2-2pmy-4p=0,=+2,2=2, y1+y2=2pm,y1y
30、2=-4p.k1+k2=11+2+ 22+2= 11+4+ 22+4=212+4(1+2)(1+4)(2+4)= =0. (4 分)-8+8(1+2)(2+2)(2)设点 P(x0,y0),直线 PA:y-y1= (x-x1),1-01-0当 x=-2 时,y M= .-4+101+0同理,y N= . (6 分)-4+202+0因为 =2,4+yNyM=2,=-2,-4+202+0-4+101+0=-2,162-40(2+1)+201221+0(2+1)+20=-2,162-820-420-4+20+20解得 p= ,12 抛物线 C 的方程为 y2=x. (12 分)7.(本小题满分 12
31、 分)(2015 甘肃兰州诊断 ,文 20,平面向量在解析几何中的应用,解答题)已知双曲线C: =1(a0,b0)的一条渐近线为 y= x,右焦点 F 到直线 x= 的距离为 .2222 3 2 32(1)求双曲线 C 的方程;(2)斜率为 1 且在 y 轴上的截距大于 0 的直线 l 与曲线 C 相交于 B,D 两点,已知 A(1,0),若 =1,证明:过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切.解:(1)依题意有 ,c- ,=3 2=32 a2+b2=c2, c=2a. a=1,c=2. b2=3. 双曲线 C 的方程为 x2- =1. (6 分)23(2)设直线 l 的方程为 y=x+m,m
32、0,则 B(x1,x1+m),D(x2,x2+m),BD 的中点为 M,由 得 2x2-2mx-m2-3=0,=+,2-23=1, x1+x2=m,x1x2=- .2+32 =1,即(2 -x1)(2-x2)+(x1+m)(x2+m)=1, m=0(舍) 或 m=2. x1+x2=2,x1x2=- ,M 点的横坐标为 =1.72 1+22 =(1-x1)(1-x2)+(x1+2)(x2+2)=5+2x1x2+x1+x2=5-7+2=0, ADAB, 过 A,B,D 三点的圆以点 M 为圆心,BD 为直径 . M 点的横坐标为 1, MAx 轴. MA= BD, 过 A,B,D 三点的圆与 x 轴相切. (12 分)12
