1、2015 年普通高等学校招生统一考试（湖北卷）文科数学一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1. i为虚数单位， 607iA i B i C 1 D1 2. 我国古代数学名著九章算术有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ）A134 石 B169 石 C338 石 D1365 石3. 命题“ 0(,)x， 0ln1x”的否定是A ， B 0(,)x， 0ln1xC (,)， l D ，4. 已知变量 x和 y满足关
2、系 0.1yx，变量 y与 z正相关. 下列结论中正确的是A 与 负相关， 与 z负相关 B x与 正相关， x与 z正相关C 与 正相关， 与 负相关 D 与 负相关， 与 正相关5. 12,l表示空间中的两条直线，若 p： 12,l是异面直线；q： 12,l不相交，则 Ap 是 q 的充分条件，但不是 q 的必要条件Bp 是 q 的必要条件，但不是 q 的充分条件Cp 是 q 的充分必要条件Dp 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件6. 函数256()4|lg3xfx的定义域为 A 2,3 B (2,4C (), D 13)(,67. 设 xR，定义符号函数1,0,sgn,.x则
3、A |sgn|x B |sgn|xC | D |8. 在区间 0,1上随机取两个数 ,xy，记 1p为事件“ 12xy”的概率， 2p为事件“ 12xy” 的概率，则A 12p B 12p C 21 D 219. 将离心率为 e的双曲线 1C的实半轴长 a和虚半轴长 ()ba同时增加 (0)m个单位长度，得到离心率为 2的双曲线 2，则A对任意的 ,ab， 1e B当 时， 12e；当 ab时， 12eC对任意的 ， 2 D当 ab时， ；当 时， 10. 已知集合 2(,)1,AxyxyZ， (,)|,|,xyyxZ，定义集合12212(, ()ABxAB，则 A中元素的个数为A77 B49
4、 C45 D30第卷（共 110 分） （非选择题共 110 分）二、填空题（每题 7 分，满分 36 分，将答案填在答题纸上）11. 已知向量 OAB， |3，则 OAB_12. 若变量 ,xy满足约束条件4,230,xy则 3xy的最大值是_13. 函数 2()2sin()fx的零点个数为_.14. 某电子商务公司对 10000 名网络购物者2014 年度的消费情况进行统计，发现消费金额（单位：万元）都在区间 0.3,9内，其频率分布直方图如图所示. （）直方图中的 a_；（）在这些购物者中，消费金额在区间 0.5,9内的购物者的人数为_. 15. 如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行
5、驶，到 A处时测得公路北侧一山顶 D 在西偏北 30的方向上，行驶 600m 后到达 B处，测得此山顶在西偏北 75的方向上，仰角为 ，则此山的高度 CD_m. 16. 如图，已知圆 C与 x轴相切于点 (1,0)T，与 y轴正半轴交于两点A，B（B 在 A 的上方） ，且 2AB. （）圆 的标准方程为_；（）圆 C在点 处的切线在 x轴上的截距为_.17. a 为实数，函数 2()|fxa在区间 0,1上的最大值记为 ()ga. 当 _时，()g的值最小.三、解答题 （本大题共 5 小题，共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）18.（本小题满分 12 分）某同学用“五点法
6、”画函数 ()sin()(0,|)2fxAx在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表： x0 232356sin()Ax0 5 0（）请将上表数据补充完整，填写在答题卡上相应位置，并直接写出函数 ()fx的解析式；（）将 ()yfx图象上所有点向左平行移动 6个单位长度，得到 yg图象，求()ygx的图象离原点 O最近的对称中心.19.（本小题满分 12 分）设等差数列 na的公差为 d，前 n 项和为 nS，等比数列 nb的公比为 q已知 1ba，2b， qd， 10S（）求数列 na， b的通项公式；（）当 1d时，记 nc，求数列 nc的前 n 项和 nT20.（本小题满分
7、13 分）九章算术中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳖臑. 在如图所示的阳马 PABCD中，侧棱 P底面 ABCD，且 PDC，点 E是 P的中点，连接 ,DEB. （）证明： DE平面 PBC. 试判断四面体 EBCD是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论） ；若不是，请说明理由；（）记阳马 A的体积为 1V，四面体 的体积为 2V，求 12的值21.（本小题满分 14 分）设函数 ()fx， g的定义域均为 R，且 ()fx是奇函数， ()gx是偶函数， ()exfxg，其中 e 为自然对数的底数. （）求 ()f，
8、 的解析式，并证明：当 0时， ()0f， ()1；（）设 0a， 1b，证明：当 x时， ()1)xagxbg.22.（本小题满分 14 分）一种画椭圆的工具如图 1 所示 O是滑槽 AB的中点，短杆 ON 可绕 O 转动，长杆 MN 通过N 处铰链与 ON 连接，MN 上的栓子 D 可沿滑槽 AB 滑动，且 1DN， 3M当栓子 D 在滑槽 AB 内作往复运动时，带动 N 绕 转动，M 处的笔尖画出的椭圆记为 C以 为原点， AB所在的直线为 x轴建立如图 2 所示的平面直角坐标系（）求椭圆 C 的方程；（）设动直线 l与两定直线 1:20lxy和 2:0lxy分别交于 ,PQ两点若直线
9、l总与椭圆 C有且只有一个公共点，试探究： OPQ的面积是否存在最小值？若存在，求出该最小值；若不存在，说明理由参考答案一、选择题（本大题共 8 个小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.A 2.B 3.C 4.A 5.A6.C 7.D 8.B 9.D 10.C二、填空题（每题 7 分，满分 36 分，将答案填在答题纸上）11.9 12.10 13.2 14.（）3；（）600015. 16.（） 22(1)()xy；（） 1217. 2106三、解答题 （本大题共 5 小题，共 65 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 18.（
10、本小题满分 12 分）解：（）根据表中已知数据，解得 5,26A.数据补全如下表：x03221237125613sin()Ax0500且函数表达式为 ()sin()6fx；（）由（）知 5i2f，因此 ()5sin2()5sin(2)66gxxx.因为 sinyx的对称中心为 (,0)k， Z. 令 26k，解得 21， .即 ()ygx图象的对称中心为 0k（， k，其中离原点 O最近的对称中心为 (,)12. 19.（本小题满分 12 分）解：（）由题意有， 即10450,2,ad190,2ad解得 或1,2ad19,故 或1,2.nab1(279),.nnbA（）由 ，知 ， ，故 ，于
11、是dna12n12nC23415791.n nT23452.n n-可得 2321113. 2n nnnT故 16nn20.（本小题满分 13 分）证明：（）因为 PD底面 ，所以 PDBC；AB由底面 为长方形，有 ，而 ，CD所以 平面 ， 平面 ，所以EE又因为 ，点 是 的中点，所以P而 ，所以 平面PBBC由 平面 ， 平面 ，可知四面体 的四个面都是直角三角形，CDPB即四面体 是一个鳖臑，其四个面的直角分别是E ,DCEDB（）由已知， P是阳马 ABC的高，所以 1133ABCVSPP；由（）知， D是鳖臑 E的高， E，所以 21136BCEVSD.在 Rt P中，因为 ，点
12、 是 PC的中点，所以 2DCE，于是 12234.6BCDPVE21.（本小题满分 14 分）解：（）由 ()fx, g的奇偶性及()xe得： f联立解得 11(),()22xxge当 时， ex， 0ex，故 0.f 0又由基本不等式，有 1()e12xxg，即 ()1.gx （）由（）得 2e(exx xf ， 211e1()(2xx xg fx， 当 0x时， (fa等价于 (fag， ()1)fxbg等价于 )1.fxbx 设函数 (hfcc，由，有 ()(1)xxfc ()().gxcf 当 0x时，（1）若 c，由，得 ()0h，故 ()hx在 0,)上为增函数，从而 ()0hx
13、，即 ()()1fxgcx，故成立（2）若 ，由，得 ()，故 ()在 ,)上为减函数，从而 ()，即 ()()fc，故成立综合，得 ()1(1)fxagxbg.22.（本小题满分 14 分）解：（）因为 |314OMN，当 ,MN在 x 轴上时，等号成立；同理 |312OMN，当 ,DO重合，即 MNx轴时，等号成立。所以椭圆 C 的中心为原点 ，长半轴长为 4，短半轴长为 2，其方程为21.64xy（） （1）当直线 l的斜率不存在时，直线 l为 4x或 ，都有 1482OPQS. （2）当直线 l的斜率存在时，设直线 1:()2lykm， 由 2,416ykxm 消去 ，可得 2(14)8460x因为直线 l总与椭圆 C有且只有一个公共点，所以 22(4)6)0kk，即 21mk. 又由 ,0yxm 可得 ,1Pk；同理可得 (,)2Qk由原点 O到直线 Q的距离为 2|d和 2|1|PQPx，可得211|2 4PQPQmSdmxkk. 将代入得，224811OPQSk当 214k时，22()()844P ；当 20时，2218OQkSk因 214k，则 204， 24，所以 28(1)84OPQSk，当且仅当 时取等号所以当 0k时， OPQS的最小值为 8综合（1） （2）可知，当直线 l与椭圆 C在四个顶点处相切时， OPQ的面积取得最小值8。
