1、专题 圆锥曲线一、选择题1 【2018 黑龙江佳木斯一中调研】在等腰梯形 ABCD中， /， tan2ABC， 6， 2CD，以 A、 B为顶点的椭圆经过 、 两点，则此椭圆的离心率为（ ）A. 5 B. 2 C. 1 D. 62【答案】A 2134CA， 21345CB椭圆是以 B、 为顶点，且经过 D、 两点 25a，即 a； 6cAB，即 3c 32c故选 A2 【2018 湖北八校联考】如图，已知椭圆 C的中心为原点 O, 5,0F为 C的左焦点， P为 C上一点，满足 OPF且 6，则椭圆 的方程为（ ）A. 2136xyB. 21405xyC. 249D. 2【答案】C3 【201
2、8 湖南五市十校联考】设点 P是双曲线 210,xyab与圆 22xyab在第一象限的交点， 12,F分别是双曲线的左、右焦点，且 123FP，则双曲线的离心率为（ ）A. 5 B. 0 C. 5 D. 0【答案】B【解析】点 P到原点的距离为 2POabc，又因为在 12PFA中， 12FcPO，所以12FA是直角三角形，即 1290F.由双曲线定义知 a，又因为 23，所以 123,a.在 12RtA中，由勾股定理得 223ac，解得 0.故选 A. 4 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知抛物线 C： 28xy的焦点为 F， 0Axy， 是 C上一点，且02AFy，则 x（ ）A.
3、B. C. 4 D. 【答案】D点睛：首先将抛物线化为标准方程，求得焦点和准线，利用抛物线的几何意义，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，求得点 A的 0y值，代回抛物线方程求得 0x的值。要求学生对抛物线的几何意义熟悉掌握。5 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中二模】椭圆 2124xya的左、右焦点分别为 12,F，点 P是椭圆上的一点，若 1260FP，那么 12PF的面积为（ ）A. 23 B. C. 34 D. 3【答案】D【解析】如图，设 12,PFmn有12 22 1660 ,34360.PFacnccos mnSnsi 本题选择 D 选项.点睛：椭圆上一点与两焦点构成的三角形，
4、称为椭圆的焦点三角形，与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、| PF1| PF2|2a，得到 a， c 的关系6 【2018 衡水联考】过双曲线 2(0,)xyba的右焦点 ,0Fc作其渐近线 32yx的垂线，垂足为 M，若 43OFS（ 为坐标原点） ，则双曲线21xyab（ a， 0b）的标准方程为（ ）A. 2143xyB. 2186xyC. 216xyD. 2134xy【答案】C7 【2018 河南中原名校质检】已知抛物线 24yx的焦点为 F，准线与 x轴的交点为 M， N为抛物线上的一点，且满足 32NFM，则点 F到 N的距离为（ ）A. 12 B. 1 C. D
5、. 2【答案】B【点睛】解决有关抛物线的问题，注意抛物线的定义得利用，抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离。8 【2018 华大新高考质检】已知抛物线 ，点 是抛物线 异于原点 的动点，连接并延长交抛物线 于点 ，连接 并分别延长交拋物线 于点 ，连接 ，若直线 的斜率存在且分别为 ，则 （ ）A. 4 B. 3 C. 2 D. 1【答案】C【解析】设 ，则直线 的方程为 代入抛物线 ，整理得 ，所以 ,即 ，从而 ,故 ，同理可得 ，因为 三点共线，所以 ，从而 .所以 ，.所以 .故选 C. 9 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】已知双曲线 的右顶点为 ，以 为圆心，半径为的圆与双曲线
6、的某条渐近线交于两点 ，若 ，则双曲线 的离心率的取值范围为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】双曲线 的离心率的取值范围为点睛：解决椭圆和双曲线的离心率的求值及范围问题其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程或不等式，再根据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式，建立关于 a，b，c 的方程或不等式，要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的坐标的范围等.10 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】若抛物线 24xy上的点 ,Pmn到其焦点的距离为 5，则 n（ ）A. 194 B. 2 C. 3 D. 4【答案】D【解析】抛物线 24xy的准线方程为 y1根据抛物线定义可
7、知：5=n+1,即 n=4故选：D11 【2018 宁夏银川二模联考】已知双曲线221xya（ 0a）的离心率为 2，则 a的值为（ ）A. 12 B. C. 13 D. 【答案】B【解析】因为 221ca，所以 21ea，解得 2a，故选 B.12 【2018 江西宜春六校联考】已知椭圆2(0)xyb的左顶点和上顶点分别为 A、 B，左、右焦点分别是 1F， 2，在线段 AB上有且只有一个点 P满足 12F，则椭圆的离心率的平方为（ ）A. 32 B. C. 352 D. 352【答案】D【解析】解:根据题意,作图如下:2212,PFcxyxyc2ayb,令 22fayc,则 fyb,由 0
8、f得: 2a,于是2abx,2212 0bPFcab,整理得: 22cb,又 2,2ea,4310e,25,又椭圆的离心率 0,1e,23e.13 【2018 江西宜春六校联考】已知 P， Q， R是圆 2150xy上不同三点，它们到直线 l： 390xy的距离分别为 1x， 2， 3，若 1x， 2， 3成等比数列，则公比的最大值为（ ）A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【答案】C14 【2018 陕西两校联考】已知双曲线 210,xyab离心率为 2，则其渐近线与圆2214xay的位置关系是（ ）A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 不确定【答案】C【解析】因为一条渐近线方程为 0
9、aybx，又离心率为 2ca，所以 ab，所以渐近线方程为0yx，由 2214知圆心 ,，半径 1，圆心到直线的距离 21ad，所以直线与圆相离，故选 C.15 【2018 广西南宁联考】已知椭圆 的一条弦所在的直线方程是 ，弦的中点坐标是 ，则椭圆的离心率是（ ）A. B. C. D. 【答案】C16 【2018 云南昆明一中联考】设 O为坐标原点， P是以 F为焦点的抛物线 2ypx（ 0）上任意一点， M是线段 PF上的点，且 2M，则直线 OM的斜率的最大值为（ ）A. 2 B. 3 C. D. 1【答案】A【解析】由题意可得 ,02pF，设200,()yPp，则20011,3363y
10、pOMOFOPF，可得200 02326kypyp当且仅当 02yp时取得等号，选 A.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、 “定”(不等式的另一边必须为定值)、 “等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.二、填空题17 【2018 黑龙江齐齐哈尔一中调研】过抛物线 24yx的焦点的直线 l交抛物线于 A， B两点，分别过A， B点作抛物线的切线 1l， 2，则 1l与 2的交点的横坐标为 _【答案】 1直线 1l与抛物线相切 21640ky 12ky，即 1l的方程为 12yx；同理可得 2l的方
11、程为 2yx联立 1l、 2的方程可得交点的坐标为 122,4设直线 AB的方程为 xmy，与抛物线联立方程可得 240ym 124y l与 的交点横坐标为 1故答案为点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么， “定值”是什么，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的.定点、值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.18 【2018 湖南五校联考】圆心在抛物线 上，并且和该抛物线的准线及 轴都相切的圆的标准方程为_【答案】点睛：直线与圆的位置关系常用处理方法：（）直
12、线与圆相切处理时要利用圆心与切点连线垂直，构建直角三角形，进而利用勾股定理可以建立等量关系；（）直线与圆相交，利用垂径定理也可以构建直角三角形；（）直线与圆相离时，当过圆心作直线垂线时长度最小19 【2018 河南中原名校联考】已知点 M在椭圆21369xy上， MP垂直于椭圆焦点所在的直线，垂足为 P，并且 M为线段 P的中点，则 点的轨迹方程是_.【答案】 236xy【解析】设 P（x，y） ，则 M（x， 2y） 点 M 在椭圆21369xy上，2136xy，即 P 点的轨迹方程为 x2+y2=36故填 .20 【2018 辽宁鞍山一中二模】双曲线 210,xyab与抛物线 20ypx有
13、相同的焦点F，且相交于 ,AB两点， 连线经过焦点 F，则双曲线的离心率为_【答案】 12【解析】 由 为公共焦点，可知 2pc，即 c，因为抛物线与双曲线都关于 x轴对称，所以 ,AB两点关于 x轴对称，所以直线 AB的方程为 c，代入双曲线的方程，可得2bya，即22,bca，因为 ,AB在抛物线上，所以42，又 22bca，所以 2cac，即 10e，解得 1e或 e（舍去）.点睛：本题主要考查了圆锥曲线的几何性质的求解，其中解答中涉及到双曲线的几何性质、抛物线的标准方程及其几何性质的应用，着重考查了学生的推理与运算能力，试题比较基础，属于基础题，解答中熟记圆锥曲线的几何性质及 ,abc
14、的关系式是解答的关键.21 【2018 湖南株洲两校联考】已知直线 10ykx交抛物线 24xy于 E 和 F 两点，以 EF 为直径的圆 x 轴截得的弦长为 27，则 k =_ .【答案】 1.点睛：此题考查直线和圆的位置关系，多数情况下是考虑数形结合的方法，通过圆心到直线的距离等于半径，和垂径定理来构造方程。在直线和圆的位置关系中，善于发现直线过的定点，和圆当中的垂直关系，善于发现图形特点是非常重要的。三、解答题22 【2018 黑龙江佳木斯一中调研】椭圆 E中心在原点，焦点在 y轴上， 1F、 2分别为上、下焦点，椭圆的离心率为 12， P为椭圆上一点且 120PFK（1）若 1F的面积
15、为 3，求椭圆 的标准方程；（2）若 1的延长线与椭圆 E另一交点为 A，以 为直径的圆过点 63,05M， N为椭圆上动点，求 12NF的范围【答案】 （1）2143yx（2） 128,NF试题解析：（1）由椭圆的对称性可知， P为椭圆的左、右顶点，可设 ,0Pb， 223,1 ,bca解得2,3 1,abc214yx（2）椭圆的离心率为 ， 22ac，则 2ac， 23bc， 2143yxc，以 PA为直径的圆过点 63,05M， 65Ax又 1F的延长线与椭圆 E另一交点为 ，则 、 3,0Pc、 1,Fc三点共线， 63,5Accy， 63,5Acy， Ay， Ax，又 在椭圆中，则代
16、入椭圆方程有 25410c， 2c， 216yx，设椭圆上动点 0,Nxy，则22006x， 20,， 12000,Fxy2200413xxy， 20,1， 128,N点睛：圆锥曲线的最值与范围问题的常见求法几何法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法：若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下五个方面考虑：利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；利用隐含或已知的不等关系建立不等式
17、，从而求出参数的取值范围；利用基本不等式求出参数的取值范围；利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.23 【2018 湖北八校联考】已知抛物线 2:(0)Cypx在第一象限内的点 2,Pt到焦点 F的距离为52（1）若 1,02M，过点 , P的直线 1l与抛物线相交于另一点 Q，求 PF的值；（2）若直线 l与抛物线 C相交于 ,AB两点，与圆 2:1Mxay相交于 ,DE两点， O为坐标原点，OAB，试问：是否存在实数 a，使得 DE的长为定值？若存在，求出 a的值；若不存在，请说明理由【答案】 （1） 4；（2） 时， 2， 的长为定值2,Bxy，与抛物线方程联立，运用韦达定理得 12
18、y， 12y，由 OAB，得1120tmty，将 12y， 代入可得 m的值，利用直线截圆所得弦长公式得22aDEt，故当 a时满足题意.试题解析：（1）点 ,P， 52p，解得 1，故抛物线 C的方程为： 2yx，当 时， ， 1l的方程为 45，联立 2可得， 8Qx，又 12QFx， 1PFx，124F （2）设直线 AB的方程为 tym，代入抛物线方程可得 20ytm，设 1,xy 2,，则 12t， 12y，由 O得： 1 0tty，整理得 2 22tym，将代入解得 2m，直线 :2lxty，圆心到直线 l 的距离 21adt， 221aDEt，显然当 2a时， DE， 的长为定值
19、点睛：本题主要考查了抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，直线与圆的位置关系，难度中档；抛物线上点的特征，抛物线上任意一点到焦点的距离和到准线的距离相等，即为 02px，两直线垂直即可转化为斜率也可转化为数量积为 0，直线与圆相交截得的弦长的一半，圆的半径以及圆心到直线的距离可构成直角三角形.24 【2018 黑龙江齐齐哈尔八中三模】已知椭圆 C： 21xyab（ 0a）的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x轴的直线 1l与椭圆 交于 A， B两点，且 2A，直线 2l： ykxm 34mR，与椭圆 C交于 M， N两点.（1）求椭圆 的标准方程；（2）已知点 504， ，若 R是一个与 k无关
20、的常数，求实数 m的值.【答案】 （1）21xy；（ 2）1试题解析：（1）联立 2 1xcyab， ，解得2bya，故2又 2cea， 2bc，联立三式，解得 2a， 1b， c，故椭圆 C的标准方程为21xy.（2）设 1Mxy， ， 2Nxy， ，联立方程 21 xykm， ，消元得22240kmk，21681km，2124kx， 21x， 212121212555446RMNyxxkxm22221123566kxmkkmk又 RN是一个与 无关的常数， 254，即 20， 1， 23. 4， 1.当 m时， 0，直线 2l与椭圆 C交于两点，满足题意 .25 【2018 黑龙江齐齐哈尔
21、八中二模】以边长为 83的正三角形 OAB的顶点 为坐标原点，另外两个顶点在抛物线 2:Expy上，过抛物线 E的焦点 F的直线 l过交拋物线 E于 ,PQ两点.（1）求抛物线 的方程；（2）求证： OPQ为定值；（3）求线段 的中点的轨迹方程.【答案】 （1） 24xy；（2）证明见解析；（3） 21yx(3) 设线段 PQ的中点为 ,Mxy，则,2 ,PQxy消去参数可得中点的轨迹方程为 21yx.试题解析：（1）因为正三角形和抛物线都是轴对称图形，且三角形的一个顶点扣抛物线的顶点重合，所以，三角形的顶点 ,AB关于 y轴对称，如图所示.由 23 ,yxp可得 23,2Apx， 8AB，
22、.抛物线 E的方程为 24xy.（2）易知抛物线 E： 24xy的焦点 0,1F，设直线 :1lykx，并设点 ,PQxy.由 21, 4ykx可得 2k，4, .PQx 241PQQxk， ,POyy， 413PQOxy.（3）设线段 的中点为 Mx，则 2=,2 11,PQPxky消去 k得线段 的中点为 ,Mxy的轨迹方程为 21yx.26 【2018 河南中原名校联考】设椭圆2(3)a的右焦点为 F，右顶点为 A.已知1OAF，其中 O为原点， e为椭圆的离心率.（1）求椭圆的方程及离心率 的值；（2）设过点 的直线 l与椭圆交于点 B（ 不在 x轴上） ，垂直于 l的直线与 l交于点
23、 M，与 y轴交于点H.若 BF，且 MA，求直线 l的斜率的取值范围.【答案】 （1）椭圆的方程为2143xy. 2cea;（2） 6,4圆方程联立消去 y，得 222431610kxk，因为 2 与点 B 的横坐标是此方程的两个根，用根于系数的关系得 28B，代入直线 l的方程从而得 2143Bky. 由 FH，得0BFH，设 ,Hy，求两向量的坐标。由（1）知， ,0F，得向量坐标 1,y， 294,3k. 所以2214903Hky，解得291Hky.因为直线 M与直线 l垂直，所以直线 M的斜率为 1k，由直线的斜截式得直线 M的方程为24xk.联立直线 l的方程 2ykx与直线 H的
24、方程2194kyx，设 ,My，可解得点 M 的横坐标2091Mkx，在 AO中，由大边对大角得 MOAAMO，由两点间的距离公式得 22Myx，化简得 1x，即 2091k，解不等式可得 64k，或64k.试题解析：解：（1）设 ,0Fc， 1ac， ac， 221c又 22abc， 312， ， 2，所以 ，因此 4a.所以，椭圆的方程为23xy. 12cea.（2）解：设直线 l的斜率为 0k，则直线 l的方程为 2ykx，设 ,Bxy，由方程组 21 43xyk，消去 y，得 222431610kx，解得 2x，或28643，由题意得2843Bxk，从而 243Bky.由（1）知， 1
25、,0F，设 ,Hy，有 1,HF， 2291,Fk.由 BH，得 ，所以224903ky，解得 41Hy.因此直线 MH的方程为2194kyx.设 ,M，由方程组2 194ykx，消去 y，解得 2091Mkx，在 AO中， OAAO，即 22Mx，化简得 ，即 2091k，解得 64k，或 k.所以，直线 l的斜率的取值范围为 6,4.【点睛】1、求椭圆的方程就是求 ,ab的值，从条件中找 ,abc的关系，注意 22abc的运用；2、求离心率是求 ,ac的值，或找 ,c的关系；3、在 MAO中，由大边对大角得MOAA，由点 M 是直线 H与直线 l的交点，故根据条件设两直线的方程，求交点坐标
26、，根据 O得关于直线 l的斜率为 0k的不等式求解。27 【2018 辽宁鞍山一中二模】已知过点 0,1的椭圆 2:10xyCab的左右焦点分别为12F、， B为椭圆上的任意一点，且 1223,3BF成等差数列.（1）求椭圆 C的标准方程；（2）直线 :2lykx交椭圆于 ,PQ两点，若点 A始终在以 PQ为直径的圆外，求实数 k的取值范围.【答案】 （1） 14；（ 2） 310k或 2试题解析：（1） 1223,3BF成等差数列， 12123FBF 123BF，由椭圆定义得 ca， ca；又椭圆 2:0xyCab过点 ,A， 1b； 222314b，解得 ， 3c；椭圆 C的标准方程为 2
27、xy；（2）设 1,Pxy， 2,Qxy，联立方程2 14ykx，消去 y得：2224640kk；依题意直线 :lyx恒过点 ,，此点为椭圆的左顶点， 12x， 10y，由方程的根与系数关系可得， 21264kx；可得 1212ykx 12；由，解得 2284， 24ky；由点 A在以 PQ为直径的圆外，得 PAQ为锐角，即 0PAQ；由 2,1， 2,1xy， 20；即2246104k，整理得， 043k，解得： 30或 .实数 的取值范围是 10或 2k.点睛：本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合应用问题，其中解答中涉及到椭圆的定义，直线与椭圆的位置关系等基础知识的综合应用，着重考查了学生的
28、推理与运算能力，同时考查了函数与方程思想，数形结合思想的应用，此类问题的解答中把直线方程与椭圆的方程的联立，转化为方程的根与系数的关系是解答的关键.28 【2018 黑龙江齐齐哈尔一模】如图，已知椭圆 2:10xyCab的左、右顶点分别为 12,A，上、下顶点分别为 12,B，两个焦点分别为 12,F， 127AB，四边形 12AB的面积是四边形12BF的面积的 2 倍.（1）求椭圆 C的方程；（2）过椭圆 的右焦点且垂直于 x轴的直线交椭圆 C于 ,PQ两点， ,AB是椭圆 C上位于直线 PQ两侧的两点.若 APQB，求证：直线 AB的斜率 ABk为定值.【答案】 （1）216xy；（2）见
29、解析直线 PA的方程为 32ykx，由23, 16ykx可得22348480kxkxk， 12834kx，同理直线 PB的方程为y， 可得 22834kx，2112268,3434kkxx，1212AByk12把上边式子代入即得解.试题解析：（1）因为 127,所以 27ab，由四边形 12AB的面积是四边形 12BF的面积的 2 倍，可得 abcbac. 由可得 222228784c，所以 2416ac，所以 21b.所以椭圆 C的方程为 16xy. （2）由（1）易知点 ,PQ的坐标分別为 2,3若 APQB，所以直线 ,PAB的斜率之和为 0. 设直线 A的斜率为 k，则直线 B的斜率为
30、 k， 12,xy，直线 P的方程为 32yx，由 23 ,16y可得 223484380kxkxk， 12834kx，同理直线 PB的方程为 y， 可得 22834kx，2112268,3434kkxx，1212AByk121.点睛：本题考查了直线与椭圆的位置关系，入手点为 APQB，所以直线 ,PAB的斜率之和为 0. 设直线 P的斜率为 k，则直线 PB的斜率为 k，联立直线 PA 与椭圆得出 A 点横坐标，同理得 B 点横坐标，则 AB 斜率用两点斜率公式表示即可.29 【2018 湖南株洲两校联考】已知椭圆 E: 21(0)xyab经过点 P(2,1)，且离心率为 32（）求椭圆的标
31、准方程；（）设 O 为坐标原点，在椭圆短轴上有两点 M， N 满足 O，直线 PM、PN 分别交椭圆于 A， B探求直线 AB 是否过定点，如果经过定点请求出定点的坐标，如果不经过定点，请说明理由【答案】 （1）218xy；（2）直线 AB 过定点 Q（0，2）.（）由椭圆的离心率 e=231cba，则 a2=4b2， 将 P（2，1）代入椭圆214xyb，则21b，解得： b2=2，则 a2=8， 椭圆的方程为： 28xy； （）当 M， N 分别是短轴的端点时，显然直线 AB 为 y 轴，所以若直线过定点，这个定点一点在 y 轴上， 当 M， N 不是短轴的端点时，设直线 AB 的方程为
32、y=kx+t，设 A（ x1， y1） 、 B（ x2， y2） ，由21 8xykt消去 y 得（1+4 k2） x2+8ktx+4t28=0，则=16（8 k2 t2+2）0， x1+x2= 4， x1x2= 48tk， 又直线 PA 的方程为 y1= 1（ x2） ，即 y1= 12kxt（ x2） ，因此 M 点坐标为（0， 12ktx） ，同理可知： N（ 0， 2ktx） ，由 ON，则 12t+2kxt=0，化简整理得：（24 k） x1x2（24 k+2t） （ x1+x2）+8 t=0，则（24 k）248t（24 k+2t） （ 284）+8 t=0， 当且仅当 t=2 时
33、，对任意的 k 都成立，直线 AB 过定点 Q（0，2）.30 【2018 江西宜春六校联考】已知点 1,H，点 P在 y轴上，动点 M满足 PH，且直线PM与 x轴交于 Q点， 是线段 PM的中点（）求动点 的轨迹 E的方程；（）若点 F是曲线 E的焦点，过 F的两条直线 1l， 2l关于 x轴对称，且 1l交曲线 E于 A、 C两点， 2l交曲线 于 B、 D两点， A、 在第一象限，若四边形 ABCD的面积等于 52，求直线 1l， 2的方程【答案】 （） 20xy;（） 126yx， 126yx（2）联立直线 221,1806,xkyky得结合韦达定理，即可用 k表示四边形 ABCD的
34、面积，求出k，即可求直线 1l， 2的方程试题解析：（）设 1,Mxy， 0,Py， ,0Qx， 1,PHy， ,PQxy， PH， 2，即 2，又,20xy ,xy代入 2yx，得 20xy（）由（）知 1,8F，设直线 1l： 8xky，则 21,8,xky得 2106ky，2ACky， 6ACy，依题意可知，四边形 BD是等腰梯形，32 242 4AAACAACACABCDx kS yykyy 四 边 形，由 3154k，即 310k， 250k， 250k，所以 直线 1l， 2的方程分别为 126yx， 126yx31 【2018 广西南宁联考】已知抛物线 上一点 到焦点 的距离为
35、.（l）求抛物线 的方程；（2）抛物线上一点 的纵坐标为 1，过点 的直线与抛物线 交于 两个不同的点（均与点 不重合），设直线 的斜率分别为 ，求证： 为定值.【答案】(1) ；(2)证明见解析.试题解析：（1）由抛物线的定义可知 ，则 ，由点 在抛物线上，则 ， ，则 ，由 ，则 ，抛物线的方程 .（2） 点在抛物线上，且 . ，设过点 的直线 的方程为 ，即 ，代入 得 ，设 ， ，则 ， ，所以 .32 【2018 广西柳州联考】已知抛物线 C的顶点在原点，焦点在 x轴上，且抛物线上有一点 4,Pm到焦点的距离为 5.（1）求该抛物线 C的方程；（2）已知抛物线上一点 ,4Mt，过点
36、作抛物线的两条弦 MD和 E，且 M，判断直线DE是否过定点？并说明理由.【答案】 （1） 2yx.（2） 8,试题解析：（1）由题意设抛物线方程为 2ypx，其准线方程为 px， 4,Pm到焦点的距离等于 A到其准线的距离， 52， 2p.抛物线 C的方程为 4yx.（2）由（1）可得点 ,M，可得直线 DE的斜率不为 0，设直线 DE的方程为： xmyt，联立 2 4xyt，得 240t，则 160t.设 2,DxyE，则 1212,4ymyt. 124,4,MDExyxy12211266x1121244yyyy2211112336y260tmt即 2，得： 22641tm， 61t，即
37、48tm或 ，代人式检验均满足 0，直线 DE的方程为： 48xyy或 4xy.直线过定点 8,4（定点 ,不满足题意，故舍去）.点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化33 【2018 贵州黔东南州联考】已知椭圆 2:10xyCab过点 31,2，椭圆 C的左焦点为 A，右焦点为 B，点 P是椭圆 上位于 轴上方的动点，且
38、 4APB，直线 ,APB与直线 3y分别交于 ,GH两点（1）求椭圆 C的方程及线段 GH的长度的最小值；（2） T是椭圆 上一点，当线段 的长度取得最小值时，求 TPA的面积的最大值【答案】 （1） 43；（2） 7.试题解析：（1）由 4APB，得 2a，所以 2，又椭圆过点 3,2，所以 14b，解得 1，故椭圆 C的方程为24xy，设点 0,Py，则由 GPHAB，得 03Gy，即 032GHy，则 0321y，由 01，得 04，所以线段 GH的长度取得最小值 3.（2）由（1）可知，当 的长度取得最小值时， 01y，将点 0,xy代入214y，得 0x，故此时点 ,P，则直线 AP的方程为 3，此时 2A，当平行于 的直线 l与椭圆下方相切时， TP的面积取最大值，设直线 3:lyxm，则由 23 14yxm，得 2278310xm，
